潘鐵鵬

(江蘇省沛縣中學(xué) 江蘇 徐州 221600)

“連接體”問題在高中物理中隨處可見，常見的有“輕桿連接體”“輕繩連接體”“輕彈簧連接體”及“軟繩、軟鏈、液體類”等.以這些“模型”為基礎(chǔ)設(shè)計的題目歷來是考查的重點和難點，在歷屆高考題中屢見不鮮，且難度較大.利用功能關(guān)系如何處理此類問題？處理過程中又有哪些事項需要注意？筆者就此問題通過實例探究，歸納了題型特點，強調(diào)了注意事項，總結(jié)了解題的一般規(guī)律和方法.

1 輕桿連接體

1.1 繞某一固定軸轉(zhuǎn)動

題型特點：通過輕桿相連的物體在繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，物體的角速度相等.

【例1】一質(zhì)量不計的直角三角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B，支架兩直角邊長分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，如圖1(a)所示，開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，則

B.A球速度最大時，兩小球的總重力勢能最小

C.A球速度最大時，兩直角邊與豎直方向的夾角為45°

D.A,B兩球最大速度之比為2∶1

圖1

解析：設(shè)輕桿與豎直方向成θ角時，如圖1(b)，系統(tǒng)動能最大，由機械能守恒可得

mg2Lcosθ-2mgL(1-sinθ)=

(1)

vA=2vB

(2)

由式(1)、(2)得

由以上分析可知本題答案為選項B,C,D.

點評：此類問題一般根據(jù)機械能守恒定律或動能定理處理，處理過程中要注意因輕桿轉(zhuǎn)動造成的“連接物體”間的角速度相等這一牽連關(guān)系.

1.2 無固定轉(zhuǎn)軸 沿某一支撐物滑動

題型特點：連接體做各點角速度、速度都不同的一般性滑動.

【例2】一長為l的輕桿，兩端分別固定有質(zhì)量為m的小球A和B，豎直立在墻壁處，已知豎直墻壁與水平面均光滑,受一微小擾動后，輕桿由靜止開始下滑，當(dāng)桿與水平面成θ角時，如圖2所示，求此時A球的速度大小.

圖2

(3)

由兩球沿桿方向速度相同有

vAsinθ=vBcosθ

(4)

由式(3)、(4)可得

點評：此種情況往往要在利用功能關(guān)系的基礎(chǔ)上，對被連接物體的速度進(jìn)行分解，利用物體沿桿的速度相等來分析不同物體間速度的關(guān)系.

2 輕繩連接體

2.1 利用輕繩約束物體運動形式

題型特點：物體的運動受繩的約束，只能沿著特定的軌跡運動，有時由于繩瞬間的“繃緊”還會造成機械能的損失.

【例3】如圖3所示，一根長為l的輕繩，一端固定在O點，另一端拴一個質(zhì)量為m的小球.用外力把小球提到圖示位置，使繩伸直，與水平面成θ=30°角.從靜止釋放小球，求小球通過O點正下方C時繩中的拉力大小.

解析：以小球為研究對象，其運動過程可分為三個階段，如圖4所示.

圖3 圖4

(1)從A點到B點的自由落體運動

但我們也應(yīng)當(dāng)清醒地意識到，與發(fā)達(dá)國家相比，在綠色農(nóng)藥的新結(jié)構(gòu)、新品種、環(huán)境友好新劑型的研究開發(fā)方面，與國際先進(jìn)水平仍有較大的差距。同時，行業(yè)長期以來的粗放式發(fā)展，安全環(huán)保事故頻發(fā)，處于產(chǎn)業(yè)鏈低端，且大宗產(chǎn)品產(chǎn)能過剩，使得部分地方與民眾對農(nóng)藥生產(chǎn)持有強烈的抵觸情緒和反對態(tài)度，使行業(yè)發(fā)展蒙上陰影。但是，目前不加區(qū)別的一刀切式強令停工停產(chǎn)，迫使農(nóng)藥制造有加速向印度等國轉(zhuǎn)移的趨勢。一旦失去了包括農(nóng)藥工業(yè)在內(nèi)的中國制造業(yè)優(yōu)勢，可能再也回不來了。中國改革開放以來巨大的進(jìn)步和發(fā)展證明：“化工及農(nóng)藥生產(chǎn)解決了我們的衣食住行，改善并將繼續(xù)改善我們美好的生活”。

據(jù)機械能守恒定律有

(5)

(6)

(3)小球由B點到C點的曲線運動，機械能守恒,有

(7)

在C點由牛頓第二定律得

(8)

聯(lián)立式(5)～(8)解得

點評：處理這種問題時,要注意系統(tǒng)的機械能是否守恒，是整個過程守恒，還是某一過程守恒.“突變點、臨界點”的尋找和判定往往是正確解決問題的關(guān)鍵.

2.2 不同運動物體間依靠輕繩相互牽連

題型特點：物體間的相對運動關(guān)系靠輕繩牽連，不同于輕桿的地方在于它只能“拉”而不能“推”.

【例4】如圖5所示，輕質(zhì)長繩水平地跨在相距為2l的兩個小定滑輪A,B上，質(zhì)量為m的物塊懸掛在繩上的O點，O與A,B兩滑輪的距離相等.在輕繩兩端C,D分別施加豎直向下的恒力F=mg.先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態(tài)，靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C,D兩端的拉力F不變.求物塊下落過程中的最大速度vm和最大距離Hm.

圖5

解析：物體所受合外力為零時，加速度為零,此時物體有最大速度vm，設(shè)此時物塊下降距離是h.

又因繩中拉力F恒為mg，所以,此時懸點所受的三個拉力的方向成夾角2θ=120°.

由圖6可知

當(dāng)物塊下落h時，C端上升距離

克服C端恒力F做功

由動能定理得

解得最大速度

圖6

物塊下落最大距離Hm時，系統(tǒng)速度為零，由機械能守恒可得

所以

點評：處理該類問題時要注意牽連物沿繩方向速度相等，及由于物體運動造成的繩長變化和物體運動距離之間的幾何牽連關(guān)系.

3 輕質(zhì)彈簧連接體

題型特點：物體間依靠輕質(zhì)彈簧連接，注意彈簧彈性勢能的變化、代換關(guān)系.

【例5】如圖7所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為κ，A，B都處于靜止?fàn)顟B(tài).一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤.開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向.現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰能使B離開地面但不繼續(xù)上升.若將C換成另一個質(zhì)量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時D的速度大小是多少？已知重力加速度為g.

圖7

解析：開始時，A,B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x1有

κx1=m1g

(9)

掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設(shè)B剛要離地時彈簧伸長量為x2，有

κx2=m2g

(10)

B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到最低點.由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增加量為

ΔEp=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)

(11)

C換成D后，當(dāng)B剛離地時,彈簧彈性勢能的增量與前一次相同，設(shè)此時A,D的速度大小為v，由能量關(guān)系得

(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔEp

(12)

由式(9)～(12)得

點評：(1)彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)κ和彈簧長度變化量有關(guān)，同一彈簧長度變化量相同時，儲存的彈性勢能大小相等.

4 軟繩 軟鏈 液體類

題型特點：因為“軟”，物體在運動過程中不存在因碰撞導(dǎo)致的機械能損失.

【例6】如圖8所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面(斜面體固定不動).AB,BC間用一小段光滑圓弧軌道相連.一條長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜止放在ABC面上，其一端D至B的距離為L-a.現(xiàn)自由釋放鏈條，則鏈條的D端滑到B點時，鏈條的速率為多大？

圖8

圖9

解析：鏈條機械能守恒.水平面上鏈條長度減少，斜面上的長度增加.設(shè)鏈條質(zhì)量為m.初、末狀態(tài)重力勢能的變化，可等效認(rèn)為是由于L-a段的重心直接下降高度h引起的，如圖9，且有

并且該部分的質(zhì)量為

重力勢能的減少量為

(13)

軟鏈動能增量為

(14)

由機械能守恒得

ΔEp減=ΔEk增

(15)

由式(13)～(15)得

解得

點評：本題利用“等效平移法”計算出了鏈條重力勢能的減少量，也可以通過確定鏈條初、末狀態(tài)重心的位置計算重力勢能的減少.