許建明

(浙江師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院 浙江 金華 321004)

1 運(yùn)用補(bǔ)償法計(jì)算拋體運(yùn)動(dòng)軌跡

如圖1所示，傳統(tǒng)方法求解一般拋體運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)主要是將阻力直接分解到兩個(gè)互相垂直的方向，然后利用牛頓第二定律積分.但對(duì)于空氣阻力與速度不是線性關(guān)系時(shí)，積分較繁瑣.運(yùn)用補(bǔ)償法，可以大大簡(jiǎn)化積分運(yùn)算.

圖1 傳統(tǒng)求解圖

圖2 補(bǔ)償法求解圖示

如圖2所示，處于原點(diǎn)O,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)初速度為v0與x軸正向的夾角為θ，空氣阻力f=-kv0,與速度方向相反.如果在豎直方向同時(shí)補(bǔ)上大小相等，方向相反的速度v′不會(huì)影響物體的運(yùn)動(dòng)，且滿足

kv′=mg

(1)

(1)考慮向下的速度-v′會(huì)使物體受到一向上的空氣阻力kv′，由于kv′=mg,因此，物體向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移為

(2)

(2)將向上的速度v′與初速度v0矢量合成為v，與x軸正向的夾角為α，空氣阻力變?yōu)?kv與x軸負(fù)向的夾角為α，將v和阻力分解到坐標(biāo)軸，列出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

vx0=vcosα=v0cosθ

(3)

vy0=vsinα=v0sinθ+v′

(4)

(5)

(6)

對(duì)式(5)積分

可得

(7)

(8)

同理,可得此種情況下y方向的位移

(9)

將兩種情況疊加可得物體運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程為

(10)

y=y1+y2=

(11)

物體在空氣中受到的阻力與物體本身的形狀、空氣密度、特別是和物體的速率有關(guān)，大體來說,物體速率低于200 m/s可認(rèn)為阻力f∝v2[1].文中討論的阻力為f=-kv，對(duì)于更高次的f=-kvβ(β>1)一般采用內(nèi)稟方程解物體運(yùn)動(dòng)微分方程的方法求解[2]，在此不再贅述.

根據(jù)此方法的方程為

mg=kv′β

(12)

(13)

(14)

圖3是空氣阻力與速度的一次方成正比時(shí)，不同速度物體運(yùn)動(dòng)軌跡的大致形狀.由圖3可知，在一定的速度范圍內(nèi)，速率越大拋體飛得更高更遠(yuǎn)，且有空氣阻力時(shí)其軌跡不是拋物線，過最高點(diǎn)后更陡.

圖3 β=1時(shí)不同初速度軌跡

2 利用MATLAB求解最佳拋射角

根據(jù)式(10)和式(11)并利用MATLAB求解初速度一定時(shí)的最佳拋射角.以我國優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員在鉛球比賽中的投擲情況作為初值條件，在2006年全國田徑大獎(jiǎng)賽肇慶站男子鉛球比賽中，推出最好成績(jī) 17.02 m時(shí)，鉛球的出手速度v0=12.40 m/s，出手角度為40.6°,出手高度為h0=2.47 m[3]，且鉛球的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為7.257 kg，球體阻力系數(shù)k約為0.5[4].

將拋射角θ(0°≤θ≤90°)等分為10份[5]，畫出相應(yīng)的軌跡曲線如圖4所示.

圖4 不同拋射角軌跡圖

由圖4可知,隨著拋射角的增大拋程也增大，但超過40°后,拋程隨拋射角增大而減小，因此，最佳拋射角應(yīng)該在30°～50°之間.下一步是每隔一定的步長(zhǎng)d計(jì)算其拋高(鉛球最高位置y)和拋程(鉛球最遠(yuǎn)處x).

在圖5中，曲線Ⅰ表示每隔d=1°時(shí)計(jì)算拋程.由圖可知從30°～45°之間都是光滑的，但45°～46°卻有很大的下降，并且之后下降速率不變.這是由于超過45°后阻力在豎直方向的分量比水平方向的要大，豎直方向起著主導(dǎo)作用.

圖5 拋程隨角度變化關(guān)系圖

另外兩條折線好像已經(jīng)重合，分別是每隔0.1°和0.01°計(jì)算拋程.發(fā)現(xiàn)兩條線基本上是以d=1°的曲線為中心振動(dòng)上升，整體趨勢(shì)與曲線Ⅰ相同，都是過45°后抖動(dòng)更為劇烈.

不同拋角對(duì)應(yīng)的拋程和拋高如表1所示.

表1 不同拋射角對(duì)應(yīng)的拋程和拋高

由表1可知當(dāng)拋射角為41°時(shí)拋程最大為16.58 m，這與實(shí)際拋角40.6°的拋程17.02 m相差很小.

圖6 最佳拋射角運(yùn)動(dòng)軌跡

最后,模擬出鉛球以最佳拋射角出手時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6所示.

3 總結(jié)

本文用補(bǔ)償法給出了有空氣阻力時(shí),拋體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，這種方法還可以運(yùn)用到解決帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，也為中學(xué)解答這類物理問題提供了另外一條思路.最后利用MATLAB直觀、精確、快速地解決了最佳拋角問題，為解決類似問題提供了新的途徑.

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué).北京：高等教育出版社，2010.41

2 周衍柏.理論力學(xué).北京：高等教育出版社，2009.24～25

3 王倩,等.對(duì)兩名不同水平男子鉛球選手投擲技術(shù)的生物力學(xué)分析. 北京體育大學(xué)學(xué)報(bào)，2007, 30(3)：404

4 郝成紅.考慮拋體空氣阻力的拋體射程.大學(xué)物理，2008,27(12)：21～22

5 尤明慶.關(guān)于鉛球最佳出手角的討論.力學(xué)與實(shí)踐，2013,35(1)：68