文欽若

(河北大學(xué) 河北 保定 071002)

1 電磁場的矢勢與標勢

(1)

(2)

其中A稱為電磁場的矢勢，而φ稱為電磁場的標勢.由數(shù)學(xué)公式·(×A)=0可知，式(2)中的第一式是由·B=0得到的.將B=×A代入式(1)中的第三式得

在數(shù)學(xué)中可證，一種矢量場為有勢場的充分必要條件是這種矢量場的旋度為零[1]，所以可令

這就是式(2)中的第二式.如果B不隨時間t變化，則式(2)中的第二式化為E=-φ，這時常將φ稱為電勢.當(dāng)B不隨時間t變化時，根據(jù)式(1)中的第三式或根據(jù)×(φ)=0可得×E=0，所以,當(dāng)B不隨t變化時的電場稱為無旋電場.顯然，靜電場是無旋電場.

2 等效描寫

如果a中的元素與b中的元素彼此對應(yīng)，且已知a便可求出b，已知b便可求出a，便稱a與b等效.在式(2)中，已知A，φ便可求出B，E，但已知B，E卻不能求出唯一的A，φ，所以A，φ與B，E并不是完全等效的.為了使A，φ與B，E等效，在式(2)中便只能由A，φ求B，E，而由B，E求A，φ便應(yīng)尋找其他合理的方法.下面將討論這個問題.

2.1 B場產(chǎn)生A場

(3)

(4)

其中l(wèi)為σ的邊界線.式(4)類似于安培環(huán)路定理.因此，類似于電流密度產(chǎn)生磁場強度的規(guī)律，可認為A場是由B場產(chǎn)生的.仿照畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律，可認為體積元dV內(nèi)的B在距此體積元r處產(chǎn)生的dA由下式給出

(5)

式(5)對全空間積分后可求出確定的A.

2.2 E′場產(chǎn)生的φ場

根據(jù)式(5)求出A后，便可求出

則式(2)的第二式化為

(6)

可見，E′為無旋電場強度.假設(shè)體積元dV內(nèi)的E′在距此體積元r處產(chǎn)生的dφ由下式給出

(7)

式(7)對全空間積分后可求出確定的φ.對于靜電場，E′=E，對于點電荷q的電場，由式(7)可得

(8)

式(8)與通常所見到的點電荷的電勢是相同的，只是在通常所見到的點電荷的電勢中可以含一個與位置無關(guān)的常量項(電勢零點)而已.通過電勢的疊加原理便可以由式(8)求出任意帶電體系的電勢φ.

3 對電磁場的兩種觀點

3.1 第一種觀點

通常認為B與E是描寫電磁場最基本的物理量，引入A與φ只是為了對某些問題的討論比較方便，而其實質(zhì)并無變化.或者說，用A與φ描寫電磁場只是改變了描述方式而已，而真正起作用的仍舊是B場與E場.在這種觀點中，只用到式(2)而不考慮式(5)與式(7).由于已知B，E時，從式(2)不能求出唯一的A，φ，則說明B，E所對應(yīng)的A，φ具有一定的任意性.在物理學(xué)中,總是將某種任意性下的不變性與某種對稱性聯(lián)系起來，例如，當(dāng)一個物理體系繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角度后，若物理體系的狀態(tài)保持不變，便稱這個物理體系具有軸對稱性.當(dāng)由不同的A，φ可以求出相同的B，E時，便稱電磁場具有規(guī)范對稱性.在電磁學(xué)中，上述觀點并未發(fā)現(xiàn)存在任何問題.但自從A-B(Aharonov-Borm)效應(yīng)[2]與A-C(Aharonov-Casher)效應(yīng)被實驗驗證后，這種觀點存在的問題便顯露出來.另一方面，在×H=i中從來不將H場與i場視為對同一種場的不同描述方式，那么在×A=B中為什么要將A場與B場視為對同一種場的不同描述方式呢？

3.2 第二種觀點

這種觀點與式(5)和式(7)有關(guān).這種觀點認為，B場與E場只是電磁場的一部分.B場與E場具有兩個明顯的特點，即攜帶能量與可以屏蔽，這兩個特點都已被實驗證實，所以，可將B場與E場稱為電磁場的有能部分.電磁場的另一個部分是A場與φ場，A場與φ場也具有兩個特點，即不攜帶能量與不可以屏蔽，所以，可將A場與φ場稱為電磁場的無能部分.下面分別對A場與φ場的兩個特點予以說明.

(1)根據(jù)式(5)可求出密繞長螺線管外A不為零(設(shè)螺線管內(nèi)的B≠0)，但是由A求得螺線管外的B=0，所以，推知密繞長螺線管外的A場不攜帶能量.根據(jù)式(7)可求出在帶電導(dǎo)體球殼內(nèi)部的φ不為零但為常量，則導(dǎo)體球殼內(nèi)部的E=0，所以，帶電導(dǎo)體球殼內(nèi)部的φ場不攜帶能量.在B與E以及A與φ都不為零的區(qū)域內(nèi)，只要認為電磁場的全部能量都由B場與E場攜帶，則A場與φ場便不攜帶能量.

(2)在式(5)與式(7)中不含磁導(dǎo)率與介電常數(shù)，所以，可認為由B與E所產(chǎn)生的A場與φ場與介質(zhì)無關(guān)，從而使得A場與φ場都是不可屏蔽的.A場與φ場不攜帶能量也應(yīng)是導(dǎo)致A場與φ場不可屏蔽的原因.如果在密繞長螺線管外填入不同的介質(zhì)或不均勻的介質(zhì)，應(yīng)不會影響螺線管外A的值；在帶電導(dǎo)體球殼內(nèi)填入不同的介質(zhì)或不均勻的介質(zhì)也不應(yīng)影響導(dǎo)體球殼內(nèi)φ的值.

在上面的討論中，認為A場是由B場產(chǎn)生的，φ場是由E′場產(chǎn)生的，嚴格說來，“產(chǎn)生”一詞并不確切，這是因為A場與B場應(yīng)該是同時存在的場，φ場與E′場也應(yīng)該是同時存在的場之故.通常認為，質(zhì)點的引力場應(yīng)該是同時存在的，所以，質(zhì)點與它的引力場之間的關(guān)系應(yīng)該是一種結(jié)構(gòu)關(guān)系而不是產(chǎn)生與被產(chǎn)生的關(guān)系.由于習(xí)慣原因，在此文中仍沿用“產(chǎn)生”一詞.

參考文獻

1 (俄)斯米爾諾夫.高等數(shù)學(xué)教材(第二卷第二分冊).孫念增譯.北京：人民教育出版社，1956.110

2 Y.Aharonov And Bohm.Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory.The Physical Review Second Series,Vol 115 No 3,August 1,1959