楊宏印， 楊秀華， 陳志軍， 張海龍， 黃 雯

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074；2.湖北工程學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)

高速鐵路和公路的發(fā)展給人們的生活和工作帶來了極大的方便和快捷，同時也產(chǎn)生了一些工程技術(shù)問題。作為鐵路領(lǐng)域重要的技術(shù)難題，車-橋耦合相互作用一直是土木工程中人們關(guān)注和研究的熱點[1],而有限元法是最為廣泛采用的方法之一[2，3]。文獻[4，5]提出了各種不同的車-橋相互作用單元，但都忽略了軌道結(jié)構(gòu)的影響，而軌道結(jié)構(gòu)能對系統(tǒng)產(chǎn)生很大的影響[6]，利用彈性系統(tǒng)動力學(xué)總勢能不變值原理[7，8],文獻[9]推導(dǎo)了車-線-橋耦合動力分析時變矩陣方程，對比分析了單軸和四軸車輛模型的影響。采用相同長度的軌道和橋梁單元，根據(jù)車輛、軌道和橋梁單元垂向運動方程及輪軌約束條件，文獻[10]提出了車-軌道-橋耦合單元，分析了不同軌道結(jié)構(gòu)的影響。考慮雙層線路模型，文獻[11]推導(dǎo)了不等長度的軌道-橋梁耦合單元，并研究了采用較長橋梁單元對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。以上這些分析模型都基于車輪密貼假設(shè)，即車輪始終與下部結(jié)構(gòu)保持接觸，而實際輪軌相互作用是一個高速移動接觸-碰撞-滑移的非線性過程，在不平順或車輛速度非常高的情況下，車輪瞬時脫離是存在的[1]。

本文針對單層線路模型，考慮到軌道直接承受和傳遞輪軌激勵，且其剛度和質(zhì)量遠小于橋梁，故采用較短的軌道單元，提出了任意長度組合的軌道-橋梁耦合單元。然后采用Hertz彈性接觸，允許輪軌脫離發(fā)生，結(jié)合車輛方程推導(dǎo)了車-線-橋耦合系統(tǒng)的動力方程，給出了系統(tǒng)方程組裝和求解思路，并采用MATLAB語言編制了相應(yīng)計算程序。再結(jié)合我國現(xiàn)有鐵路線路進行分析，討論了所提耦合單元的準確性和有效性。最后針對不同軌道單元長度進行車-線-橋耦合響應(yīng)對比分析，給出了軌道單元長度的合理取值范圍，并分析了軌道隨機不平順對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，得到了一些有益的結(jié)論。

1 任意長度組合的軌道-橋梁耦合單元推導(dǎo)

圖1為車-線-橋耦合系統(tǒng)模型，采用10D車輛模型，通過Hertz彈簧模擬輪軌接觸?？紤]連續(xù)彈性支承梁軌道模型，采用平面梁單元模擬軌道和橋梁，并根據(jù)計算要求細分軌道單元，得到任意長度組合的軌道-橋梁耦合單元，如圖2所示。

圖1 車-線-橋耦合系統(tǒng)模型

圖2 任意長度組合軌道-橋梁耦合單元

橋梁結(jié)構(gòu)采用Rayleigh阻尼，其單元動力方程可表示為：

(1)

式中，[M]、[C]和[K]分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{q}為節(jié)點坐標；[N]為Hermite插值形函數(shù)。

軌道傳給橋梁的分布力可表示為：

(2)

式中，krb和crb分別為連續(xù)彈性支承剛度和阻尼；ymr和yb分別為x處軌道和橋梁位移，可通過各自節(jié)點坐標插值得到。

由圖2可見，橋梁單元上共有N個軌道單元，不失一般性，僅對單個軌道單元的影響進行推導(dǎo)。將式(2)代入式(1)，并沿第m(=1,2,…，N)個軌道單元積分，整理可得：

(3)

(4)

式(3)即為圖2所示單個軌道單元下橋梁單元動力方程，這里只需令l1=lN=lr及N=1便得到等單元長度下相應(yīng)動力方程。

同理可得圖2所示無車輪作用下第m個軌道單元動力方程：

(5)

由式(3)和式(5)便可得到圖2所示任意長度的軌道-橋梁耦合單元動力方程，具體表達式為：

(6)

由式(6)及形成矩陣的“對號入座”法則[13]，便可組裝得到軌道-橋梁結(jié)構(gòu)動力方程：

(7)

2 車-線-橋耦合系統(tǒng)分析

由上節(jié)得到的軌道-橋梁結(jié)構(gòu)動力方程，考慮輪軌Hertz接觸模型，再結(jié)合車輛動力方程[12]，便可得到車-線-橋耦合系統(tǒng)動力方程：

(8)

式(8)中，Kcr、Krv、Kvr、Fcr和Fcv為與輪軌接觸有關(guān)的項，是時變的，而其他項均是時不變的。如圖3，在求解時可先由式(7)和文獻[12]組裝時不變部分，作為初始方程，然后在每個積分步根據(jù)時間疊加時變部分便可得到系統(tǒng)動力方程，采用Newmark-β方法直接積分求解，不需迭代。

圖3 車-線-橋耦合系統(tǒng)組裝和計算流程

編制了相應(yīng)MATLAB計算程序，對圖1所示5輛車作用下3跨簡支箱梁橋耦合系統(tǒng)進行動力分析。參照我國現(xiàn)有鐵路線路，橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：跨距L=32 m；彈性模量Eb=34.5 GPa；慣性矩Ib=11.1 m4；單位長質(zhì)量mb=43628 kg/m；阻尼比ζ=0.02。橋梁一階頻率為4.6 Hz，理論共振車速為108 m/s，文中考慮v=100 m/s接近共振車速。Hertz彈簧剛度采用2.8×109N/m[15]，車輛和軌道模型參照文獻[9]，考慮美國6級軌道隨機不平順[1]，其模擬樣本如圖4。

圖4 豎向軌道不平順樣本

2.1 不同長度組合的軌道-橋梁耦合單元對比分析

為驗證圖2所示耦合單元的計算精度和效率，對比分析如下3種單元長度組合：

組合1：軌道單元采用0.8 m，橋梁單元采用4 m；

組合2：軌道和橋梁單元長度均采用0.8 m；

組合3：軌道和橋梁單元長度均采用4 m。

圖5～8為不考慮軌道不平順時動力響應(yīng)時程結(jié)果。圖5和6分別為中跨跨中橋梁位移和加速度時程，可以看到每輛車依次通過所激發(fā)的周期性響應(yīng)，各種組合下豎向位移響應(yīng)均一樣。而對橋梁加速度響應(yīng)而言，組合1和2所得結(jié)果完全一致，說明采用較長的橋梁單元同時將軌道單元細劃，對橋梁響應(yīng)影響很??；而組合3和1之間存在顯著的不同，前者最大值(0.46 m/s2)明顯大于后者(0.35 m/s2)，說明軌道單元長度對橋梁響應(yīng)影響很大。圖7為跨中軌道相對于橋梁位移時程圖，可見車輛定距和軸距所產(chǎn)生的連續(xù)周期性激擾導(dǎo)致了軌道支點處的周期性強迫振動，組合1和2所得結(jié)果相同；而組合3所得結(jié)果明顯不同于組合1，說明當采用較長的橋梁單元時，為得到正確的結(jié)果，應(yīng)對軌道單元進行細分。圖8為中間車輛過橋時車體加速度對比圖，亦可見組合1和2所得結(jié)果符合一致，而組合3所得結(jié)果與組合1有明顯不同。

圖5 橋梁跨中位移對比

圖6 橋梁跨中加速度對比

圖7 軌道相對位移對比

圖8 車體加速度對比

表1列出了部分動力響應(yīng)最大值，計算中發(fā)現(xiàn)軌道隨機不平順激勵下，組合3中輪軌出現(xiàn)持續(xù)脫離，計算不穩(wěn)定，故未列相應(yīng)結(jié)果。由表1可見，光滑和不平順激勵下組合1和2所得結(jié)果均非常一致。而光滑時，組合3所得結(jié)果與組合1有顯著區(qū)別，前者最大輪軌接觸力為后者的1.26倍，但軌道最大加速度卻為后者的35.7%。這是由于轉(zhuǎn)向架固定軸距只有2.5 m，而組合3軌道單元過大(4 m)，會同時承受2個車輪作用，使動力響應(yīng)結(jié)果不準確。同時可以發(fā)現(xiàn)軌道不平順的影響非常大，可使車體最大加速度增加4.5倍，在進行行車舒適性分析時不可忽略。

表1 動力響應(yīng)最大值對比

由前面分析可知，相較于組合3，組合1和2均具有較高的計算精度；組合1和2的總自由度分別為446和658，前者計算時間僅為后者的一半，故前者在模型建立和計算方面具有更高的效率。因此，合理長度組合的軌道-橋梁耦合單元是準確和有效的。

2.2 軌道單元長度的影響

軌道結(jié)構(gòu)直接承受和傳遞輪軌激勵，其單元長度可對系統(tǒng)分析結(jié)果產(chǎn)生重要的影響。應(yīng)用所提出的耦合單元，橋梁單元長度均采用4 m，對表2所示7種典型軌道單元長度進行對比分析，以研究車-線-橋耦合有限元分析中軌道單元的合適長度。而軌道不平順激勵下，工況7輪軌持續(xù)脫離，計算不穩(wěn)定，故未列相應(yīng)結(jié)果。

表2 軌道單元長度

圖9為中跨跨中處橋梁和軌道最大位移對比圖，可見前6個工況下結(jié)果基本一致，說明軌道單元長度對橋梁和軌道位移響應(yīng)影響較??；橋梁最大位移均小于軌道，為后者的65%左右。同時可見考慮軌道不平順會使最大位移響應(yīng)減小，可使橋梁減小到原來的95%，而軌道減小到原來的91%，說明軌道不平順激起高頻的振動。圖10為中間車輛前輪最大接觸力對比圖，可見相同軌道狀態(tài)下前5個工況下響應(yīng)相差不大；軌道不平順影響很大，可使其結(jié)果增大到1.4倍，在列車脫軌和輪軌損傷分析中不可忽略；而光滑下工況7和不平順下工況6所得結(jié)果明顯偏大，使這兩種工況變得不合理。圖11為軌道光滑時不同軌道單元長度下中間車輛前輪接觸力時程，可見輪對進入計算區(qū)域時，存在一個明顯的沖擊效應(yīng)；工況5(1 m)經(jīng)較短過渡區(qū)域，很快穩(wěn)定到靜軸載附近，而工況7(2 m)整個過橋過程均振蕩劇烈。圖12為不平順對中間車輛車體加速度影響圖，可見不平順能明顯增大其響應(yīng)。

圖9 橋梁和軌道最大位移對比

圖10 最大接觸力對比

圖11 不同軌道單元長度接觸力對比

圖12 不平順對車體加速度影響

表3列出了部分響應(yīng)最大值及各工況計算時間，各工況軌道加速度結(jié)果離散性很大，要得到其準確值需進一步分析。盡管工況7計算時間最短，但動力響應(yīng)和其他工況有明顯差異，精度較差；工況1軌道劃分最精細，但計算精度并沒有明顯提高，而計算時間卻明顯呈指數(shù)增加趨勢；軌道不平順下，雖然工況6最大接觸力明顯大于工況1～5(見圖10)，但橋梁和車體最大加速度等響應(yīng)最大值并沒有太大區(qū)別，說明應(yīng)將列車、軌道和橋梁作為一個大系統(tǒng)來進行綜合分析評價。同時可見軌道不平順可使橋梁最大加速度增加近2倍。

表3 動力響應(yīng)最大值和計算時間

因此，綜合考慮計算精度和效率，軌道單元的合適長度范圍為0.5～1 m，且列車最小軸距間單元數(shù)不應(yīng)少于2個?？紤]到我國一般線路軌枕間距為0.568 m或0.545 m，新建時速200 km/h以上高速鐵路為0.6 m[14]，建議實際分析時取軌枕間距為軌道單元長度。

3 結(jié) 論

針對車-線-橋耦合有限元分析建模復(fù)雜和計算量大的問題，提出了任意長度組合的軌道-橋梁耦合單元，并推導(dǎo)了其動力方程；然后采用Hertz接觸模型，結(jié)合車輛方程推導(dǎo)了車-線-橋耦合系統(tǒng)的動力方程，并給出了系統(tǒng)方程組裝和求解思路；再結(jié)合我國現(xiàn)有鐵路線路進行分析，討論了所提耦合單元的精度和效率；最后對多種軌道單元長度進行對比分析，并考慮軌道不平順的影響，研究了其合適取值范圍，得到了如下結(jié)論：

(1)軌道單元長度能對系統(tǒng)動力響應(yīng)產(chǎn)生很大影響，甚至?xí)褂嬎銦o法進行；合理長度組合的軌道-橋梁耦合單元能達到很好的計算精度和效率。

(2)軌道不平順對系統(tǒng)影響很大，可使車體加速度和輪軌接觸力分別增大4.5倍和40%，在行車舒適性和列車脫軌等分析時不可忽略；同時可激起高頻的振動，使軌道和橋梁最大位移響應(yīng)變小。

(3)車-線-橋耦合有限元分析能直接求得各單元動力響應(yīng)且不需迭代，綜合考慮我國一般線路軌枕間距以及計算精度和效率，軌道單元長度的合適取值范圍為0.5～1 m，且列車最小軸距間軌道單元數(shù)不應(yīng)少于2個。

(4)所提軌道-橋梁耦合單元可方便應(yīng)用于連續(xù)梁橋等復(fù)雜橋梁，可按較大的橋梁節(jié)段長度作為橋梁單元長度，而采用較短的軌道單元，以方便建模和計算。

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