劉 隆, 謝偉平

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 武漢 湖北 430070)

隨著我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展，城市交通量逐漸增大，道路不斷拓寬，為了保證交通順暢和行人安全，在車輛和行人密集的城市區(qū)域和主干道大多設(shè)置人行天橋或地下通道取代傳統(tǒng)的人行斑馬線。因建造成本和日常維護(hù)費(fèi)用相對較低，人行橋的應(yīng)用更為廣泛。此外，跨河兩岸區(qū)域的人流連接，以及巨型空間建筑不同功能區(qū)的人流連接也采用人行天橋(或室內(nèi)人行通道)的連接方式，例如跨英國泰晤士河的千禧橋和四川綿陽安昌河人行景觀橋。隨著現(xiàn)代人行橋向輕質(zhì)、大跨、纖柔方向發(fā)展，行人活動引起的結(jié)構(gòu)振動越來越顯著，這種振動往往不足以引起結(jié)構(gòu)的安全性問題，但是常常會給橋上的行人帶來不舒適感甚至出現(xiàn)恐慌心理。對于人行橋來說，橋的振動響應(yīng)幅度除了與橋的振動方向(主要是豎向和側(cè)向)和振動頻率有關(guān)外、還與人的活動狀態(tài)、持續(xù)時(shí)間等有關(guān)[1,2]。由人們活動引起的動力荷載顯著作用的頻率區(qū)間通常大約在1.5～2.5 Hz之間[3]。我國僅在GJJ 69-95《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》中通過規(guī)定人行橋的1階豎向頻率必須大于3 Hz這一條件來避免人行橋共振問題，而對于橋梁結(jié)構(gòu)振動特性與行人舒適度之間的關(guān)系沒有任何涉及[1]。因此僅僅通過限制人行橋豎向振動頻率來保證行人舒適性顯然是不完善的。

自從倫敦的千禧橋發(fā)生人致大幅度側(cè)向振動后，人行橋側(cè)向振動的問題受到了國際工程界的廣泛關(guān)注。目前工程界普遍認(rèn)為，由行人引起的人行橋的側(cè)向振動是由人的蛇形運(yùn)動和橋產(chǎn)生共振而出現(xiàn)的。行人上橋后，最先是同時(shí)產(chǎn)生側(cè)向和豎向的振動，橋一旦起振，更多的行人就會和橋的振動同步，進(jìn)一步增加了橋的振動，進(jìn)而引起橋的劇烈的側(cè)向振動。人行橋的這種側(cè)向振動產(chǎn)生的機(jī)理不同于一般的共振問題，直到最近還有新的實(shí)驗(yàn)成果出現(xiàn)，所以具有其自身的復(fù)雜性，國內(nèi)目前在進(jìn)行的為數(shù)不多的特殊的或者結(jié)構(gòu)新穎的人行橋設(shè)計(jì)時(shí)，通常委托高?；蛳嚓P(guān)科研院所對此進(jìn)行專門的立項(xiàng)研究。因此，由行人引起的人行橋側(cè)向振動以及振動控制問題是我國工程界目前亟待解決的熱點(diǎn)問題之一。

近些年來，不同國家的研究人員也分別從數(shù)學(xué)和實(shí)用的角度提出了分析橋梁側(cè)振的相關(guān)模型，如最早的Bachmann[4]將人行荷載用傅里葉級數(shù)來表示，他的研究指出人行橋的側(cè)向頻率應(yīng)該大于3.4 Hz。Ji[5]把人體近似地看作線性單自由度系統(tǒng)，但進(jìn)一步的研究表明，這一單自由度人體系統(tǒng)依賴頻率的變化，并不能總是通過同樣的質(zhì)量，剛度和阻尼參數(shù)來表示[6]。Strogats[7]使用了較為精細(xì)的數(shù)學(xué)模型來描述橋的側(cè)向振動，但這樣的模型工程實(shí)際應(yīng)用上存在較大的困難。Nakamura[8]則以實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)改進(jìn)了單自由度模型。由于行人與橋?qū)嶋H作用的復(fù)雜性，上述各種模型即使是非常精細(xì)的純數(shù)學(xué)模型也難免要包含假設(shè)方程項(xiàng)。因此，Nakamura以實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)提煉出的單自由度模型更便于實(shí)際工程應(yīng)用。但是Nakamura的方程中包含較多的參數(shù)，除了反應(yīng)橋梁結(jié)構(gòu)特性的質(zhì)量，阻尼和剛度外還涉及人群的同步狀況和橋上人群的飽和度，橋梁頻率對人橋同步的作用等等。這些參數(shù)都必須通過大量的實(shí)驗(yàn)、計(jì)算和觀察得到，甚至某些參數(shù)現(xiàn)在還無法明確給出，比如描述橋梁結(jié)構(gòu)頻率對同步影響大小的函數(shù)就是因?yàn)閷?shí)測數(shù)據(jù)不足而無法確定。當(dāng)梁以一種特殊的側(cè)向模態(tài)振動時(shí)，Nakamura[8]認(rèn)為人行引起橋的側(cè)向振動可以用一個(gè)單自由度振動模型來描述：

(1)

其中，

(2)

本文將從非線性動力學(xué)角度分析Nakamura模型中時(shí)間滯后對人群對橋梁結(jié)構(gòu)動力作用的影響，并分析時(shí)滯是如何影響橋梁動力學(xué)行為的，進(jìn)而提出通過改變橋面結(jié)構(gòu)的方式減弱人致人行橋的振動的思路。

1 特征值分析

(3)

其中，

觀察得知原點(diǎn)是方程(3)唯一的平衡點(diǎn)，將方程(3)在原點(diǎn)處線性化，其特征方程為

λ2+cBλ+kB-εk3λe-λτ=0

(4)

令τ=0，原方程(3)退化為常微分方程。此時(shí)特征方程變?yōu)?/p>

λ2+cBλ+kB-εk3λ=0

(5)

當(dāng)cB-εk3=0時(shí)，(5)式有一對純虛根

當(dāng)cB-εk3>0時(shí)，(5)式的兩根的實(shí)部都小于0，此時(shí)橋面的側(cè)向振動能很快停下來。而當(dāng)cB-εk3<0時(shí)，(5)式的兩根的實(shí)部都大于0，橋的晃動會逐漸增大。令W=cB-εk3，將(5)式的兩邊對W求導(dǎo)，有

滿足穿越條件。

根據(jù)Hopf分岔定理，在W=0附近系統(tǒng)將發(fā)生Hopf分岔，由于原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn)，從而會產(chǎn)生出一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。橋是否出現(xiàn)持續(xù)的側(cè)向周期振動只與阻尼、人群的同步情況以及用于描述橋的結(jié)構(gòu)頻率對行人同步的影響函數(shù)G(fB)有關(guān)，而與橋的剛度無關(guān)。阻尼越大，橋產(chǎn)生側(cè)向振動越困難。

下面考察方程(4)來研究時(shí)滯τ的影響。將λ=iω(ω>0)代入方程(4)，分離實(shí)部和虛部，有

-ω2-ωsin(ωτ)εk3+kB=0

(6)

ω(cB-cos(ωτ)εk3)=0

(7)

將上兩式兩邊同時(shí)平方消去時(shí)滯τ，得到

(8)

解得

其中，

設(shè)ω=ω1,2為方程(8)的兩個(gè)正實(shí)根，根據(jù)方程組(6)和(7)有

(9)

則

其中，j=0,1,2,…。

根據(jù)根的分布理論，可能出現(xiàn)一對根來回穿越的情況，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也來回切換。時(shí)滯τ就有可能會影響到橋的側(cè)向振動的發(fā)生。

2 時(shí)滯影響分析

為了分析時(shí)滯τ對橋側(cè)向振動的影響，可利用中心流形定理和規(guī)范性理論[9]對橋側(cè)向振動的穩(wěn)態(tài)振幅受時(shí)滯τ的影響規(guī)律加以研究?？梢郧蟮胘=0，在特征值穿越時(shí)，時(shí)滯特征值τ附近，動力系統(tǒng)(3)的定性行為如圖1所示。

圖1 j=0時(shí)τ的分岔示意

3 數(shù)值分析

使用文獻(xiàn)[10]中橋梁參數(shù)做數(shù)值模擬，在(3)式中取MB=106132 kg，KB=179758 kg/s2，CB=8736 kg/s，k1=0.04，k2=0.2，k3=20，MPg=206550 N，則W=0.0823-0.3114G(fB)。當(dāng)G(fB)=0.2643時(shí)，W=0。如果人對橋的反饋中不考慮時(shí)滯，則G(fB)>0.2643時(shí)橋發(fā)生側(cè)向振動。分別取G(fB)=0.2和G(fB)=0.5。

G(fB)=0.2時(shí)，(8)式?jīng)]有正實(shí)數(shù)解。因此τ的存在不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不管時(shí)滯有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定。如圖2，3所示，數(shù)值結(jié)果說明了分析的正確。

圖2 G(fB)=0.2，τ=0，橋梁側(cè)向振動時(shí)程

圖3 G(fB)=0.2，τ=1，橋梁側(cè)向振動時(shí)程

當(dāng)G(fB)=0.5時(shí)，考慮(3)式中τ>0，則存在τ:0≤τ≤τ0，使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)τ≥τ0時(shí)系統(tǒng)重新穩(wěn)定下來。此時(shí)根據(jù)式(7)，有

ω1=4.182, ω2=4.0499,

則：τ1j=0.2424+1.5j，τ2j=0.2503+1.55j，

其中，j=0,1,2,…。

根據(jù)根的穿越理論，此時(shí)有一對根從右半平面穿過虛軸，使得系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)從不穩(wěn)定到穩(wěn)定。由于原點(diǎn)是系統(tǒng)(3)的唯一平衡點(diǎn)，因此時(shí)滯τ>0的存在使得產(chǎn)生周期解消失。上述分析過程如圖4，5所示。

圖4 G(fB)=0.5，τ=0，橋梁側(cè)向振動時(shí)程

圖5 G(fB)=0.5，τ=0.3，橋梁側(cè)向振動時(shí)程

4 結(jié) 論

本文對Nakamura的單自由度橋梁側(cè)向振動模型進(jìn)行了全面的非線性分析。模型認(rèn)為同步人群對橋側(cè)向振動的作用相當(dāng)于對于橋施加一個(gè)速度反饋。但實(shí)際上，人群對橋的作用不可能是瞬時(shí)產(chǎn)生的，而是存在一個(gè)時(shí)間滯后，本文考慮一個(gè)帶時(shí)滯的作用力模型。當(dāng)時(shí)間滯后不存在時(shí)，同步人群的比例越高，人群飽和度越大越容易導(dǎo)致人與橋的共振。橋梁的阻尼是唯一限制橋振動的因素。這些參量與橋側(cè)向振動之間的關(guān)系可由式W=cB-εk3的符號來判斷。當(dāng)阻尼相對較大時(shí)橋的側(cè)振容易停下來，甚至很難擺起。阻尼過小，或者同步人群增多或者人群飽和度加大，橋?qū)⒈患て鸪掷m(xù)的側(cè)向振動。研究發(fā)現(xiàn)時(shí)滯的出現(xiàn)可以使得橋的減振減小。當(dāng)阻尼較大時(shí)，時(shí)滯使得橋更快趨向平衡位置；當(dāng)阻尼較小，時(shí)滯可以使原來已經(jīng)出現(xiàn)的側(cè)向擺動停下來。

由此可以看出，時(shí)滯的作用對橋的側(cè)向振動影響非常明顯。一般來說，影響時(shí)滯的因素有兩個(gè)，一個(gè)是內(nèi)在的因素，人的反應(yīng)時(shí)間，這是不可控的；另一個(gè)是外在的因素，人與橋面的接觸材料的特性和厚度，接觸材料越柔軟、越厚則滯后越大，這是可以調(diào)節(jié)的。因此可以考慮通過設(shè)計(jì)橋面材料來控制橋梁側(cè)向振動。詳細(xì)的情況尚需進(jìn)一步的理論和實(shí)驗(yàn)研究。

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