潘國富，鮑志雄，金永新

（廣州中海達衛(wèi)星導航技術股份有限公司，廣州 511400）

1 引言

在衛(wèi)星定位測量工作中，通常使用7參數(shù)模型完成WGS84坐標到地方坐標系的轉換。7參數(shù)模型的幾何意義是通過旋轉、縮放、平移獲得一個局部橢球來擬合當?shù)刈鴺讼迪碌淖鴺讼到y(tǒng)。由于我國使用的1954北京坐標系和1980西安坐標系都是參心坐標系，高程與平面分開定義，高程方向定義的等重力面具有不規(guī)則特征，所以在某些不平坦區(qū)域會存在較大角度的旋轉情況。在此特定區(qū)域，簡化的7參數(shù)公式將不能有效表達這種轉換關系。目前國內大部分測繪工作中主要采用適合小區(qū)域轉換的7參數(shù)模型簡化公式，另有部分廠家或機構提供了完整公式模型，因此有必要研究7參數(shù)的完整公式求解方法，并對完整及簡化兩種公式的轉換精度及適用性進行研究。

本文將介紹7參數(shù)的完整公式及其參數(shù)求解方法，并結合實際工程經(jīng)驗，對比了兩種模型的優(yōu)劣點及其適用性。

2 7參數(shù)轉換的完整公式

關于7參數(shù)的完整公式，國內學者已經(jīng)有很多研究成果［1］。7參數(shù)模型在國內又稱為布爾莎模型或者3維赫爾默特變換，該模型是定義在空間直角坐標系（左手坐標系）下，用于表示兩個XYZ坐標系之間通過旋轉（沿坐標軸方向觀察順時針旋轉為正）、縮放和平移完成的轉換關系。為表述方便，以從WGS－84坐標轉換到1954北京坐標系坐標為例，一般通過GPS測量得到 WGS－84系統(tǒng)下（B，L，H）坐標后進行轉換獲得（X，Y，Z）坐標，同時把1954北京坐標系坐標下的（x，y，h）坐標進行投影反算獲得（B，L，h），并將水準高h視為局部橢球高進行轉換獲得地方坐標系下的（X，Y，Z）坐標，由此根據(jù)7參數(shù)模型列方程組

式（1）中，R為旋轉矩陣，根據(jù)轉換模型的幾何意義，其由X，Y，Z三個方向軸上的旋轉陣組成，可表達如下

設饒X軸旋轉角為α，饒Y軸旋轉角為β，饒Z軸旋轉角為γ，則

對于7參數(shù)模型的簡化公式，是將旋轉量認為是很小的微小量。根據(jù)微分近似原理，上面的R陣可以簡化成為線性方程組后按照一般的最小二乘方法進行求解。

2.1 完整公式的一階展開

對于具備大角度旋轉的情況，不可通過近似獲得線性方程組，因此必須保持完整公式求解非線性方程組。為了通過迭代法求解非線性方程組，根據(jù)高斯牛頓法的原理，需推導出模型方程的偏導函數(shù)［2－5］。將7參數(shù)待求參數(shù)向量寫為

式（3）中K為1＋m，則式（1）可以看成

f（X）在X0處展開到一階項

其中

式（6）中

2.2 基于高斯牛頓法的非線性方程組求解算法

迭代法求解非線性方程組的算法可描述為：先隨機地在近似值X0處展開，再按照一定的方法向最優(yōu)值逼近。這種方法的關鍵在于，第一要避免陷入局部最小值；第二保證收斂而不發(fā)散；第三要提高其收斂速度。因此，這種逼近過程中引入了一個改正值的步長系數(shù)值的概念，即

式（7）中的λ就是每次迭代中對X向量的改正值的步長系數(shù)值。具體計算步驟：將初始值X0代入式（5）中，通過最小二乘法求出dX，然后把這個改正值乘以步長系數(shù)后改正到X0上，作為新的X0再次進行迭代，直到收斂。計算改正值的步長系數(shù)值比較關鍵，一種有效的步長計算公式可采用：

式（8）中，P函數(shù)為目標函數(shù)，可以定義為殘差平方和即可。

3 算例分析

3.1 大旋轉角的數(shù)據(jù)解算情況對比

作者對比了參考文獻［6］中的模擬算例，得到了一致的結果，為了進一步驗證算法的可靠性，作者也做了一組模擬數(shù)據(jù)：假設一組點在XYZ方向分別存在1 000m，2 000m及3 000m的平移，同時分別存在40°，50°及60°的旋轉角以及10mm／km的尺度縮放，利用這套參數(shù)使用完整公式算出假設的坐標點對，所得數(shù)據(jù)列于表1。

對于表1中的數(shù)據(jù)，分別用7參數(shù)簡化公式和完整公式進行求解，將所求得參數(shù)再代入進行轉換獲得當?shù)刈鴺?，為了便于理解將結果投影到平面坐標系下進行殘差統(tǒng)計，所求參數(shù)結果及相應的殘差信息表2及表3所示。

表1 大角度樣本數(shù)據(jù)

表2 大角度數(shù)據(jù)完整公式與簡化公式結果對比

表3 大角度數(shù)據(jù)完整公式與簡化公式殘差對比

從表2、表3可以看出：因本例數(shù)據(jù)存在較大的旋轉角，簡化模型已經(jīng)難以有效的表達轉換關系，導致在解算中無法正確收斂，造成了殘差過大的現(xiàn)象，而完整公式還能有效的求出轉換參數(shù)，獲得較高的轉換精度。

3.2 小旋轉角的數(shù)據(jù)解算情況對比

實際工程中，遇到最多的數(shù)據(jù)還是只有較小角度旋轉量的情況。作者通過大量實際數(shù)據(jù)實驗表明在小角度情況下，完整公式與簡化公式都能夠準確求出參數(shù)，實現(xiàn)高精度轉換，舉例見表4、表5及表6。

從表6殘差來看：兩種公式的轉換精度沒有明顯差異，都能滿足高精度轉換。從表5中的參數(shù)結果可以看到同一組數(shù)據(jù)求出的簡化模型的7參數(shù)與完整公式的7參數(shù)結果縮放系數(shù)差異較大，因此在實踐中，這兩種公式所求出的參數(shù)是不能通用的，這是在實踐中要注意的。

表4 小角度樣本數(shù)據(jù)

表5 小角度數(shù)據(jù)完整公式與簡化公式結果對比

表6 小角度數(shù)據(jù)完整公式與簡化公式殘差對比

4 結 語

（1）使用高斯牛頓法能有效求解7參數(shù)模型完整公式的非線性方程組；

（2）在存在大旋轉角的情況下，簡化公式不能滿足使用而完整公式仍然可以使用；

（3）在旋轉角較小的情況下，使用完整公式與簡化公式具備相同的的轉換精度，未見明顯優(yōu)勢；

（4）兩種公式所求得的參數(shù)不能交換使用，即參數(shù)不通用；

（5）本算法已運用到廣州中海達衛(wèi)星導航技術股份有限公司的坐標轉換軟件中投入市場使用多年，經(jīng)過全國市場檢驗該算法實用可行，能夠滿足國內外測量領域高精度三維坐標轉換的需求。

［1］ 羅長林.基于改進的高斯牛頓法的非線性三維直角坐標轉換方法研究［J］.大地測量與地球動力學，2007，27（1）：50－54.

［2］ 王新洲.非線性模型參數(shù)估計理論與運用［M］.武漢：武漢大學出版社，2002.

［3］ 楊 錚，黨亞民，成英燕.GPS／GLONASS定位系統(tǒng)融合的坐標轉換研究［J］.測繪科學，2008，33（2）：45－47.

［4］ 鮑建寬，李永利，李秀海.大地坐標轉換模型及其應用［J］.測繪工程，2013，22（3）：56－60.

［5］ 劉慶元，包 海，王 虎，等.GPS、GLONASS、GALILEO三大系統(tǒng)間時間系統(tǒng)以及坐標系統(tǒng)的轉換［J］.測繪科學，2008，33（5）：13－15.

［6］ 曾文憲，陶本藻.三維坐標轉換的非線性模型［J］.武漢大學學報：信息科學版，2003，28（5）：566－568.