鄭永陽

（南昌市城市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院，江西南昌 330038）

0 引言

在地震工程中經(jīng)常會(huì)碰到非穩(wěn)態(tài)的信號(hào)，傳統(tǒng)的傅里葉分析不能在非穩(wěn)態(tài)過程分析中保留時(shí)間信息，也不能描述出時(shí)域及頻域局部性的譜進(jìn)化的特征。因?yàn)閷⑿盘?hào)在整個(gè)時(shí)域中平均化了，所以譜分析不能描述非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的局部瞬時(shí)特征。例如：一個(gè)線性系統(tǒng)受到一個(gè)單位幅度白噪音作用和一個(gè)沖擊作用有著相同譜特征的反映，盡管兩種作用在時(shí)域上完全不同。利用傅里葉變換不能同時(shí)獲得高分辨率的時(shí)域和頻域信息，如果能夠使時(shí)間和頻率分辨率可以在時(shí)-頻平面上變化從而達(dá)到代表這個(gè)過程的多分辨率效果，那么這個(gè)缺點(diǎn)就得到抑制。相應(yīng)地，時(shí)-頻窗口能夠自動(dòng)變窄以獲得信號(hào)的高頻內(nèi)容，以及變寬以獲得低頻內(nèi)容。如果這個(gè)分析通過由有相對(duì)恒定帶寬的頻通濾波器組成的濾波器組來進(jìn)行的話，就變成了可能。傅里葉方法是利用有限個(gè)正弦函數(shù)及余弦函數(shù)作為基函數(shù)來分解信號(hào)，而小波變換是利用一組局部化的正交基函數(shù)。在傅里葉變換代表式中，因?yàn)閷⒆V信息平均化了，一個(gè)持續(xù)時(shí)間較短而頻率較高的內(nèi)容將埋沒，而利用小波變換將通過多分辨率分析一個(gè)過程的方法保留局部瞬時(shí)信號(hào)特征，這是利用有限個(gè)正弦波基函數(shù)無法做到的。

利用小波變換分析數(shù)學(xué)信號(hào)，首先要產(chǎn)生一個(gè)母小波函數(shù)，然后將信號(hào)分解為由該母小波函數(shù)經(jīng)過放大和移動(dòng)的一組有限長(zhǎng)度的基函數(shù)組，即在時(shí)間或空間上不同尺度和位置的小波。這個(gè)過程與傅里葉分析很相似，即母小波相當(dāng)于正弦波，而在傅里葉分解中基函數(shù)為正弦函數(shù)變換的不同幅值、相位和頻率的正弦波。

1 小波分析應(yīng)用

目前研究主要是利用小波進(jìn)行非穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)的分析和模擬，利用小波分析的多尺度分解過程能夠揭露隱藏在原時(shí)間歷程中的信息，通過多種技術(shù)，利用小波系數(shù)得出有用的信號(hào)信息。小波系數(shù)同樣給出了量表圖。量表圖可以在時(shí)間-尺度域中得出信號(hào)能量，它有助于定義出隨時(shí)間變化的能量流量、譜演變，以及利用時(shí)域或頻域方法都不能很好地應(yīng)用于信號(hào)的重建和模擬。通過改變小波系數(shù)低于一個(gè)特定的閾值可以減少獲得信號(hào)的噪音。在這里將提供一些方法來說明在地震工程的中小波分析應(yīng)用。

小波變換是通過一系列的小波方程代表被分析的信號(hào)的好壞的一個(gè)過程。用方程代表信號(hào)的好壞程度可通過小波系數(shù)看出。系數(shù)組的結(jié)果由兩個(gè)獨(dú)立的變量聯(lián)系在一起，即膨脹系數(shù)和變換系數(shù)。變換系數(shù)代表了時(shí)間，而尺度反映了頻率的內(nèi)容，大的尺度對(duì)應(yīng)低的頻率。

2 小波濾波器組信號(hào)分解

離散小波變換是一種方便而有效的監(jiān)測(cè)隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的方法。傅里葉系數(shù)不含時(shí)間信息，而這些描述局部化的基函數(shù)的小波系數(shù)能夠反映出時(shí)間信息。過濾掉時(shí)間系列的倍頻器組及其小波域值和小波系數(shù)均能提供對(duì)瞬時(shí)信號(hào)的唯一分解。小波系數(shù)在特殊的倍頻程可能同樣被用于監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的行為，在小波域中發(fā)生的大幅度系數(shù)可能被用于識(shí)別一些孤立的沖擊事件，例如一個(gè)構(gòu)筑物受到?jīng)_擊荷載。

3 功率譜密度計(jì)算

通過計(jì)算每個(gè)倍頻程的小波系數(shù)的平方和來得到譜密度。在緊支撐的離散小波轉(zhuǎn)換中，對(duì)于一個(gè)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)長(zhǎng)度為2M的信號(hào)的譜的小波計(jì)算是由一個(gè)長(zhǎng)度為M的向量組成的。這個(gè)頻率帶的采樣率是以Δt的時(shí)間間隔得出的，并且對(duì)于第i個(gè)層次上來說，譜的計(jì)算公式為：

對(duì)應(yīng)于Si的頻率帶Di為：

在兩個(gè)過程的同譜計(jì)算中，同樣可以用兩個(gè)過程的系數(shù)積代替小波系數(shù)平方和而得到。

在離散小波轉(zhuǎn)換譜計(jì)算中能量非常接近實(shí)際信號(hào)的能量，但相對(duì)快速傅里葉轉(zhuǎn)換方法，特別是在高頻率范圍內(nèi)缺少分辨率的適應(yīng)能力。而當(dāng)可以將連續(xù)小波變換用于更高的分辨率時(shí)，這個(gè)離散小波的問題將通過使用一個(gè)基于原母小波的稍微擴(kuò)大的原型小波而克服。具體做法是用：2i+p/Pψ·[2i+p/P（n-j2i）]代替2iψ（2in-j），P是倍頻程計(jì)算的期望值，而p=0,1...P-1。于是離散小波變換將運(yùn)行P次，從p為0到P-1.利用這個(gè)網(wǎng)格，它比倍頻程網(wǎng)格更稠密，就等同于ai,j系數(shù)的超采樣。

另一個(gè)選項(xiàng)是對(duì)倍頻程帶通數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)縮放技術(shù)的應(yīng)用，高通濾過程被循序地轉(zhuǎn)換成低頻率，而進(jìn)一步的離散小波變換可以在這些縮放的數(shù)據(jù)上基于較低的倍頻程分辨出更多的細(xì)節(jié)。這個(gè)方法類似于另一種被稱作小波包分析的技術(shù)。離散小波轉(zhuǎn)換是由一系列高通濾和低通濾組成的，在這個(gè)系列中每一個(gè)低通濾是由前一次的濾波得到的，而高通濾得到小波系數(shù)。小波包分析漸近地過濾之前的低通濾結(jié)果，同時(shí)還要過濾利用離散小波轉(zhuǎn)換遺留下來的高通濾數(shù)據(jù)，而不是利用高通濾結(jié)果去得到系數(shù)。通過離散小波轉(zhuǎn)換得到的倍頻帶數(shù)據(jù)被小波包進(jìn)一步分成了子倍頻程。

4 場(chǎng)地振動(dòng)分析

地震記錄的時(shí)間相關(guān)頻率內(nèi)容提供了振動(dòng)的非穩(wěn)態(tài)譜特征值，即頻率相關(guān)的場(chǎng)地振動(dòng)時(shí)間、超過一定閾值的時(shí)間、間隔時(shí)間、波形持續(xù)時(shí)間，以及計(jì)算信號(hào)燈的能量。研究者利用一種多重過濾的方法來對(duì)非穩(wěn)態(tài)的場(chǎng)地振動(dòng)記錄進(jìn)行時(shí)-頻分析，就像前面所說的一樣，由于傅里葉變換有固定的時(shí)-頻關(guān)系，因此它也有缺點(diǎn)。利用小波分析將提高分辨率，因而使得基于小波的方法將成為地震記錄的時(shí)-頻分析的一個(gè)可選擇工具。通過小波分析可能使得對(duì)地震事件更深的理解。因?yàn)槔米兓念l率來分析一個(gè)較寬領(lǐng)域記錄顯得更為方便。

能夠同時(shí)保留時(shí)間和頻率信息使得小波分析成為非穩(wěn)態(tài)信號(hào)模擬的有用工具。這個(gè)可以通過母非穩(wěn)態(tài)信號(hào)、目標(biāo)譜函數(shù)和調(diào)制器函數(shù)來分析每個(gè)倍頻程?？紤]一個(gè)母非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，例如一個(gè)地震記錄，一個(gè)信號(hào)的全過程可以被模擬，而它的平均值非常類似那些母過程。

5 降噪

信號(hào)中小細(xì)節(jié)在小波轉(zhuǎn)換中表現(xiàn)為小幅值系數(shù)，這些低能量過程可能扭曲真實(shí)的信號(hào)。如果它們確定是由噪音產(chǎn)生的，可通過在小波域中消除一個(gè)幅值以下的系數(shù)來實(shí)現(xiàn)降噪。然后通過逆小波轉(zhuǎn)換還原一個(gè)“干凈的”或降噪的信號(hào)，一個(gè)在原始信號(hào)中沒有噪音的信號(hào)。

對(duì)于定性分析，閾值迭代增長(zhǎng)將使信號(hào)清除到一個(gè)想要的水平，但所有的噪音降低方法都有一個(gè)同樣的問題，即消除噪音和刪除重要的低能量信息之間所做的權(quán)衡不可避免。

6 結(jié)論

由于傳統(tǒng)分析工具的限制，量化和模擬非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的過程顯得難于處理。例如地震記錄中的非穩(wěn)態(tài)過程的分析和模擬通過離散小波轉(zhuǎn)換和連續(xù)小波轉(zhuǎn)換將它們分解為局部化基函數(shù)。隨著許多專業(yè)的越來越多的研究者發(fā)現(xiàn)他們專業(yè)有用的應(yīng)用，小波轉(zhuǎn)換越來越廣受歡迎。本文簡(jiǎn)要地介紹小波轉(zhuǎn)換，并給出了在地震分析中應(yīng)用。

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[2]劉明才.小波分析及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[3]程正興.小波分析與應(yīng)用實(shí)例[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2005.