黃友欽 岳啟哲 傅繼陽 林俊宏

(結(jié)構(gòu)安全與健康監(jiān)測廣州市重點實驗室和廣東省高校工程中心，廣州510006)

1 引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計是指通過建立數(shù)學模型來調(diào)整設計變量，在滿足約束條件的情況下使目標函數(shù)達到最優(yōu)的設計方法［1，2］。對風敏感結(jié)構(gòu)進行抗風優(yōu)化設計，可使結(jié)構(gòu)的受力性能得到較好協(xié)調(diào)，從而降低工程造價［3，4］。然而，目前結(jié)構(gòu)抗風優(yōu)化研究主要集中于高層建筑［5，6］。Chan等結(jié)合虛功原理，通用有限元程序，在高層建筑結(jié)構(gòu)的頂部位移和層間位移滿足規(guī)范限值的條件下，運用最優(yōu)準則法對靜力風荷載作用下各桿件的截面尺寸進行優(yōu)化［5，6］。

與高層建筑相比，大跨空間結(jié)構(gòu)的風場具有三維相關性，且風振模態(tài)間相互耦合，但關于此類結(jié)構(gòu)的抗風優(yōu)化研究目前很少進行。吳玖榮等通過SAP2000的API函數(shù)和拉格朗日乘子法最優(yōu)準則討論了單榀變截面門式剛架的抗風優(yōu)化方法［7］。

一般來說，設計變量取得越多，優(yōu)化結(jié)果越接近于最優(yōu)解，而準則法的優(yōu)點就在于設計變量的增加并不增加優(yōu)化復雜性，因此適用于復雜屋蓋結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計［8］。本文以一實際雙層柱面網(wǎng)殼為研究對象，細致研究應力比法在抗風優(yōu)化設計中的應用。首先介紹雙層柱面網(wǎng)殼的結(jié)構(gòu)形式和等效靜力風荷載的獲得，然后闡述應力比法抗風優(yōu)化設計原理和優(yōu)化數(shù)學模型，最后對優(yōu)化結(jié)果進行詳細討論并分析桿件截面積下限的影響。

2 工程背景

2.1 結(jié)構(gòu)簡介

位于某發(fā)電廠的雙層柱面網(wǎng)殼干煤棚的縱向長度為140 m，跨度為103 m，高度為40 m，沿縱向邊緣剛性支承(圖1)。該結(jié)構(gòu)為正放四角錐柱面網(wǎng)殼，桿件總數(shù)為10 080，節(jié)點總數(shù)為2 592。桿件的彈性模量和密度分別為206 GPa和7 850 kg/m3。

圖1 雙層柱面網(wǎng)殼干煤棚Fig.1 Double-layer cylindrical reticulated shell

2.2 等效靜力風荷載

通過剛性模型風洞試驗獲得實際網(wǎng)殼上的風壓時程，風洞試驗在同濟大學TJ-2風洞中完成［9，10］。根據(jù)結(jié)構(gòu)對稱性而確定90°～180°的7個典型風向角(間隔15°)進行試驗(圖2)。圖3給出了90°時迎風面和屋蓋頂部測點的風壓功率譜，風壓能量主要集中在折減頻率小于0.1的范圍內(nèi)，頂部測點的風壓在低頻部分的能量大于迎風面測點。

通過GLF(Gust Loading Factor)法來計算網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)上的等效靜力風荷載，基于豎向位移峰值等效的靜力風荷載可表示為

圖2 試驗風向角定義Fig.2 Definition of wind direction in testing

圖3 典型測點的風壓自譜Fig.3 Auto-power spectrum of typical taps

基于風壓時程，通過頻域CQC法計算得到結(jié)構(gòu)響應的各項統(tǒng)計值，得到以跨中節(jié)點1 101的豎向位移為目標的陣風荷載因子為1.68，位于90°風向角，相應等效靜力風荷載為p^=1.68。圖4給出了節(jié)點1 101的豎向位移自功率譜，可以看出背景和共振響應在頻譜上明顯分離，由于節(jié)點位于屋蓋頂部，最高譜峰與豎向振動振型(第5階振型)吻合。

圖4 節(jié)點1 101的豎向位移自譜Fig.4 Auto-power spectrum of vertical displacement at node 1 101

3 應力比法抗風優(yōu)化原理

應力比法的優(yōu)化思想是對一個既定的結(jié)構(gòu)形狀和拓撲，通過調(diào)整構(gòu)件的截面尺寸，使盡可能多構(gòu)件的應力達到容許應力，從而使結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化［11］。

基于應力比法的大跨屋蓋結(jié)構(gòu)抗風優(yōu)化步驟可闡述為:

(1)假定各桿件的初始設計截面。一般可用結(jié)構(gòu)初始設計方案的截面積作為優(yōu)化設計的初始截面，即:

式中，A表示桿件截面積矩陣;n表示桿件總數(shù)。

合約規(guī)劃的數(shù)量與合約范圍的界定密不可分，范圍模糊，后續(xù)就會對招投標、定標簽約甚至是項目實施帶來諸多不良影響。劃分既不能數(shù)量太多，造成管理難度太大，又不能整成一個大包，使其相關風險因素增多，編制時間過長，影響后續(xù)實施。

(2)計算首次優(yōu)化的應力比。計算等效靜力風荷載下各桿件的應力值，設定零桿件不參與優(yōu)化過程，將最大應力作為約束容許應力。屋蓋結(jié)構(gòu)上的荷載通常包括風荷載、活荷載、雪荷載等，本文僅針對風荷載進行抗風優(yōu)化，將初始設計對應的最大風致應力作為容許應力，而不以材料的實際屈服應力作為容許應力，以此大致考慮未計入其他荷載造成的影響。由下式計算首次迭代中的應力比矩陣:

式中，β(0)i表示首次優(yōu)化中桿件i的應力比;σ(0)i表示首次優(yōu)化中桿件i的應力絕對值;［σ］表示桿件的約束容許應力，為初始設計方案對應的桿件最大風致應力。

從而，首次迭代中桿件的截面積按下式進行更新得到新的截面積:

式中，A(1)i表示桿件i更新后的截面積。

(3)反復計算應力比和更新截面積直至收斂。在更新后的截面積下，結(jié)構(gòu)風荷載保持不變，得到新的桿件應力值，再計算應力比來更新截面積。反復進行迭代計算，直至前后兩次計算中所有桿件的截面積接近(滿足容差要求)為止。

第k+1次優(yōu)化中桿件的應力比和更新后的截面積分別為

優(yōu)化計算的收斂容差為

式中，δ表示設定的容差值，這里取δ=0.001。

計算收斂后結(jié)構(gòu)總重按下式計算:

式中，ρi和li分別為桿件i的密度和長度;A*i表示收斂時桿件i的截面積。

同時，對于受壓桿件，當其長度一定時，若截面積過小，則可能引起穩(wěn)定問題，因此本文將同時考慮不設與設定桿件截面積下限兩種情況。設置截面積下限時，將初始截面積的最小值作為截面積下限值，即幾何約束條件為

基于應力比法的雙層柱面網(wǎng)殼抗風優(yōu)化設計流程如圖5表示?；贛ATLAB數(shù)值平臺編制相應的優(yōu)化計算程序，包括結(jié)構(gòu)響應有限元計算和優(yōu)化算法。

4 結(jié)果與討論

首次迭代中得到該網(wǎng)殼的零桿數(shù)為278，初始總重為603.7 t。圖6給出了不設截面積下限時首次迭代中各桿件的應力比和更新后的截面積，圖中虛線表示初始設計截面積。由于容許應力即為首次迭代中最大應力，因此最大應力比為1.0。容易看出，不同桿件間應力比差別較大，由于網(wǎng)殼中風致應力分布十分不均，導致按最大應力進行滿應力化后大部分桿件的截面積遠小于初始截面積。對于雙層網(wǎng)殼這種超靜定結(jié)構(gòu)來說，這種截面積劇減將導致較大的應力比。

圖5 應力比法抗風優(yōu)化計算流程Fig.5 Process of wind resistant optimization

第2次迭代中桿件的最大應力比為6.2(圖7)，但較大應力比基本存在于小截面桿，而大截面積桿件的應力比接近于1.0，因此更新后的桿件截面積分布與圖6接近。

圖6 第1次迭代中桿件的應力比和更新后截的面積Fig.6 Stress ratio and updated area in the 1st iteration

圖7 第2次迭代中桿件的應力比Fig.7 Stress ratio in the 2nd iteration

經(jīng)過184次迭代運算后(計算用時約20 min)，最大應力比不再減小，圖8給出了各次迭代中最大應力比?？梢钥闯觯畲髴Ρ瓤傮w呈減小趨勢，但仍存在少量桿件的應力比超過1.0的情況(圖9)。

表1對比了第1次迭代和停止迭代時應力比、截面積和結(jié)構(gòu)總重的結(jié)果?？梢钥闯?，優(yōu)化使結(jié)構(gòu)總重降低了約84%，桿件的最大截面積比初始最大值減小約30%，但最大應力比大于1.0，即存在超應力桿件。

圖8 最大應力比隨迭代次數(shù)的變化Fig.8 Maximum stress ratio v.s.iteration time

圖9 第184次迭代時桿件的應力比Fig.9 Stress ratio in the 184th iteration

表1 部分優(yōu)化結(jié)果Table 1 Some optimization results

設定截面積下限后每次迭代中截面積均得到修正。優(yōu)化次數(shù)k=42時最大應力比等于1.0(圖10)，即網(wǎng)殼中不存在超應力桿件，因此認為達到優(yōu)化目標。

由表1給出的優(yōu)化結(jié)果可以看出，設定截面積下限后結(jié)構(gòu)總重下降約50%，降低幅度小于不設下限的情況，但由于保證了桿件截面積在正常范圍內(nèi)，在結(jié)構(gòu)設計中建議設定合理的截面積下限值。

圖10 設定下限時第42次迭代時桿件的應力比Fig.10 Stress ratio in the 42th iteration with area limit

5 結(jié)論

本文以雙層柱面網(wǎng)殼為例建立了應力比法抗風優(yōu)化設計框架，通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn):

(1)雙層網(wǎng)殼的風致應力分布不均和應力比法完全追求滿應力解的特點使首次迭代計算中產(chǎn)生過小截面積，導致之后迭代計算中這類小截面桿中出現(xiàn)較大應力比。

(2)最大應力比雖隨迭代次數(shù)不斷下降，但仍大于1.0，結(jié)構(gòu)中存在超應力桿件。通過優(yōu)化使結(jié)構(gòu)總重降低了約83%。而設定截面積下限后最大應力比可下降至1.0，結(jié)構(gòu)中不再有超應力桿件，結(jié)構(gòu)總重減小約50%。

(3)采用基于等效靜力風荷載的應力比法對空間桁架結(jié)構(gòu)進行抗風優(yōu)化可使結(jié)構(gòu)總重顯著降低，且具有物理意義明確、計算簡單有效等優(yōu)點，容易推廣至實際工程設計中。

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