趙琳琳

（德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023）

矩陣的Jordan標準形是線性代數(shù)的中心結(jié)果之一，不僅在矩陣理論與計算中起著十分重要的作用，而且在控制理論、系統(tǒng)分析、力學(xué)等領(lǐng)域中也是一個非常重要的工具.由于Jordan標準形涉及到相似、Jordan塊，計算又用到初等因子，這使得大多學(xué)生感到晦澀難懂不易理解.在當(dāng)今大學(xué)提倡研究型教學(xué)的形勢下，教師在講授Jordan標準形的同時，讓學(xué)生接觸一些它的性質(zhì)和應(yīng)用，可加深學(xué)生對Jordan標準形這一經(jīng)典理論的理解，為后繼研究學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).結(jié)合教學(xué)與科研工作體會，本文從為什么研究矩陣特征Jordan標準形、怎么研究及其應(yīng)用等方面給出了矩陣Jordan標準形研究性教學(xué)的幾點體會.

1 為什么研究矩陣Jordan標準形

我們知道，相似矩陣有相同的跡、行列式、特征多項式和特征值，但反之不一定成立.另外，兩個看上去很不相同的矩陣仍可以相似，從而引出這樣一個問題：在什么情況下兩個矩陣相似？一個比較自然的想法是：設(shè)想有某個具有指定形式的“簡單”矩陣的集合，然后看這兩個已知矩陣是否可以通過相似化成這些“簡單”形式中的一個.如果可以，它們就相似，因為相似關(guān)系具有傳遞和對稱性.那么什么樣的“簡單”形式能符合這個要求呢？最容易想到的就是對角矩陣，但它不一定總能實現(xiàn)；其次是上三角矩陣，但是上三角矩陣有m(n+1)/2個元素需考察，數(shù)目太大.如果對每一個矩陣來求一個盡可能接近對角矩陣的上三角形式，而且還可以用相似變換得到，問題就解決了，所得結(jié)果就是Jordan標準形.在一般的教材中，大多是直接給出Jordan標準形的結(jié)論，很少介紹為什么要研究Jordan標準形.若在教學(xué)中加入這些細節(jié)，可以使學(xué)生知其然也知其所以然，也能使學(xué)生較容易接受，對培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力和學(xué)習(xí)興趣有很好的作用?.

2 怎么研究矩陣Jordan標準形

Jordan標準形定理的內(nèi)容是：每一個復(fù)方陣A都相似于一個Jordan矩陣

是一個ni階的Jordan塊，n1+n2+…+nk=n.Jordan矩陣J稱為矩陣A的Jordan標準形，它在不計對角Jordan塊的順序時是唯一的.

由于標準形定理涉及到Jordan塊及Jordan矩陣，教學(xué)中我們可以從Jordan塊的性質(zhì)、Jordan矩陣的結(jié)構(gòu)以及標準形的計算等方面來學(xué)習(xí)矩陣的Jordan標準形.

2.1 Jordan矩陣的結(jié)構(gòu)性質(zhì)

Jordan矩陣J是一個“近乎對角”的有確定結(jié)構(gòu)的矩陣，由這一結(jié)構(gòu)可以較容易看出該矩陣以及與其相似的任意矩陣的某些性質(zhì)，列舉如下[2,3]：

（1）Jordan塊的個數(shù)k是J的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)，J可對角化當(dāng)且僅當(dāng)k=n.

（2）對 ni階的 Jordan塊 Jni(λi)，有

且(Jni-λiI)k=0圳k≥ni.

（3）Jordan矩陣給出了矩陣A特征子空間的精細結(jié)構(gòu)，即相應(yīng)于一個已知特征值的Jordan塊的個數(shù)是相應(yīng)的特征空間的維數(shù).

（4）Jordan矩陣J的所有子塊 Jni(λi),i=1,2,…,k的階數(shù)可以通過分析某些冪的秩來確定.如果λ1是n階矩陣J的特征值，則取冪(J-λ1I),(J-λ1I)2,…,最終(J-λ1I)k的秩將停止下降，使(J-λ1I)k的秩達到它的極小值的那個最小的k值就是相應(yīng)于λ1的最大子塊的階.例如：如果

經(jīng)計算得，rank(J-2I)=5，rank(J-2I)2=3，rank(J-2I)3=2,rank(J-2I)4=2.這組數(shù)足以確定相應(yīng)于λ1=2的Jordan子塊的分塊結(jié)構(gòu).由rank(J-2I)3=rank(J-2I)4=2，可得相應(yīng)于λ1的最大子塊的階是3，rank(J-2I)2-rank(J-2I)3=1是3階子塊的個數(shù)，因而只有一個3階子塊，rank(J-2I)-rank(J-2I)3=3是3階子塊個數(shù)的2倍加上2階子塊的個數(shù)，因而有一個2階子塊，一階子塊的個數(shù)等于 8-rank(J-2I)3-3×1-2×1=1.對 λ2，λ3，等等可作同樣的分析，因而可確定出所有的子塊.

在教學(xué)過程中，讓學(xué)生適當(dāng)?shù)亓私馍鲜鲆恍┯嘘P(guān)Jordan矩陣的性質(zhì)，有助與加深他們對Jordan矩陣這一概念的理解，為下面的Jordan標準形的學(xué)習(xí)和計算提供感性的認識和必要的基礎(chǔ).

2.2 Jordan標準形的計算

Jordan標準形是線性代數(shù)的經(jīng)典結(jié)論之一，從而有必要讓學(xué)生了解Jordan標準形的一些求解方法.對于給定的 階矩陣A，怎樣求A的Jordan標準形？教材[1]利用的是矩陣的初等因子.例如：給定矩陣

經(jīng)計算得A的初等因子是λ-1，(λ-1)2，那么A的Jordan標準形是

除此之外，根據(jù)Jordan矩陣的性質(zhì)（4），還可以通過以下步驟來確定：

第一步，求出它的所有不同特征值；

第二步，對 A的每個不同的特征值 λi，作(A-λiI)k，其中k=1,2,…,n，然后分析這些矩陣的秩所組成的序列，得到相應(yīng)于λi的所有Jordan塊的階數(shù)與個數(shù).

解 經(jīng)計算得矩陣A的特征值為1，且

從而rank(A-I)=1.由(A-I)2=0說明相應(yīng)于1的最大子塊的階是2，(A-I)的秩就是2階子塊的個數(shù)，因而只有一個2階子塊.因此可得A的Jordan標準形是

2.3 Jordan標準形的組合刻畫

由Jordan標準形定理可得：兩個矩陣相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有一個共同的Jordan標準形.用S(A)表示與A相似的所有矩陣的集合，符號覬(A)表示矩陣A的非對角位置的非零元的個數(shù).如果不計較置換相似，矩陣的Jordan標準形J(A)是S(A)中非對角位置零元素的個數(shù)達到最大的唯一的形式[4]，這就是Jordan標準形的組合刻畫.

3 矩陣Jordan標準形的應(yīng)用

有了矩陣的Jordan標準形，我們可以很容易地了解矩陣是否可逆，是否可對角化，也能較輕松地得到它的行列式因子、初等因子等.除此外，Jordan標準形在線性微分方程組的求解以及矩陣分解中應(yīng)用廣泛，參見文獻[2]和[3]，然而在教材中很少涉及，作為教師的我們可適當(dāng)?shù)丶舆M一些Jordan標準形的如下幾點應(yīng)用：

3.1 利用Jordan標準形證明Hamilton-Cayley定理

Hamilton-Cayley定理 設(shè)A為n階復(fù)矩陣，f(λ)是A的特征多項式，則f(A)=0.

證明[3]設(shè)A的特征值為λ1,λ2,…,λn且存在可逆矩陣P，使得PAP-1=J，這里J為A的Jordan標準形，可得

3.2 Jordan標準形在矩陣分解中的應(yīng)用

命題1[5]復(fù)數(shù)域上任何n階方陣，都可以寫成兩個對稱矩陣的乘積.

命題2[5]設(shè)A為n階復(fù)矩陣，那么A可寫一可對角化矩陣與一冪零矩陣的和.

3.3 Jordan標準形在線性微分方程組求解中的應(yīng)用

例[2]解下列微分方程組

解 首先把微分方程組改寫成矩陣形式：

然后對微分方程組施行一個非奇異線性變換，即：x=Py，其中

于是，就有

從而其一般解分別為

再由x=Py，得原微分方程的一般解為

由此可見，Jordan標準形在求解某些線性微分方程組時，可以較大的簡化求解步驟，這樣就在一定程度上擴大了線性微分方程組的應(yīng)用領(lǐng)域，反過來也促使人們致力于矩陣Jordan標準形的研究與發(fā)展.

〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社2011.

〔2〕R.A.Horn,C.R.Johnson.Matrixanalysis[M].CambridgeUniversityPress,1985.

〔3〕李桂榮,孫杰,劉耀斌.Jordan標準形矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用[J].德州學(xué)院學(xué)報,2003,19（4）：20-24.

〔4〕詹興致.矩陣論[M].北京：高等教育出版社,2008.

〔5〕張賢達.矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.