〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；數(shù)學思想；數(shù)列；應(yīng)用

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）01—0079—01

1.歸納思想

歸納思想是數(shù)列學習過程中的重要思想方法之一，教師要重視學生觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納等學習過程的體驗，強調(diào)歸納思想的具體運用.

例1 寫出數(shù)列13+2，13+6，13+12，13+20，13+30……的一個通項公式，并驗證2563是否為該數(shù)列中的一項.

解：數(shù)列每項由兩個數(shù)的和組成，第1個數(shù)都是13，第2個數(shù)分別為2，6，12，20，30，……，都是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6…….

∴該數(shù)列的通項公式為an=13+n（n+1）（n∈N+）.

令13+n（n+1）=2563，即n2+n-2550=0，解得n=50或n=-51（舍去）.

∴2563是該數(shù)列中的項且為第50項.

方法點撥：解這類問題就是要觀察各項與對應(yīng)序號之間的聯(lián)系，利用我們熟知的一些基本數(shù)列進行合理地聯(lián)想.

2.方程思想

方程思想主要是解決數(shù)列中有關(guān)數(shù)量關(guān)系探究方面的問題，特別是等差數(shù)列a1，an，n，Sn，d或等比數(shù)列a1，an，n，Sn，q中“知三求二”問題都是利用了方程思想.

例2 已知等差數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求數(shù)列的通項公式.

解：∵a1+a7=2a4=a2+a6， ∴a1+a4+a7=3a4=15， ∴a4=5.

∵a2+a6=10且a2a6=9.

∴a2和a6是方程x2-10x+9=0的兩根，

解得a2=1，a6=9或a2=9，a6=1.

若a2=1，a6=9，則d=2.∴an=2n-3.

同理可得：若a2=9，a6=1時，d=-2，∴an=13-2n.

綜上所述，an=2n-3或an=13-2n.

方法點撥：解此類問題的一般思路是根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，若m+n=p+q，則am+ an=ap+aq .特例若m+n=2p則am+ an=2ap，m、n、p、q∈N+，通過列方程和方程組求解.

3.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列概念的引入及其簡單表示方面有具體應(yīng)用，等差數(shù)列、等比數(shù)列中有關(guān)問題的研究，很多都是借助（函數(shù)）圖象的背景來研究的.

例3 等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，a5=10，S3=3，求證：數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1+4d=10，3a1+3d=3，解得a1=-2，d=3.

方法點撥：解此類題實際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律.由于等差數(shù)列中Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，可以用二次函數(shù)的方法處理.具體方法就是將Sn寫成Sn=na1+■，根據(jù)二次函數(shù)的圖象，若a1＞0， d＜0，則Sn必有最大值；若a1＜0， d＞0，則Sn必有最小值.最后利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值.

4.函數(shù)思想

數(shù)列與函數(shù)有著密切的關(guān)系，因而，我們可以利用函數(shù)的思想來解決數(shù)列問題.

例4 已知數(shù)列{an}的首項a1=21，前n項和Sn=an2+bn，等比數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2n+1+a，則Sn的最大值為 .

解：由等比數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2n+1+a，易得它的公比不是1.

∵Tn=2×2n+a，∴a=-2，∴Sn=-2n2+bn，

∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

又∵a1=21，Sn=-2n2+bn，故b=21-（-2）=23，

∴Sn=-2n2+23n=-2（n-■）2+■.當n=6時，Sn取得最大值66.

方法點撥：在求Sn的最大值時，也可結(jié)合二次函數(shù)y=-2x2+23x的圖象，在對稱軸x=■的附近有兩個正整數(shù)5和6.因為6離對稱軸較近，所以當n=6時，Sn取得最大值.將n=6代入Sn=-2n2+23n即可求出Sn的最大值.

編輯：謝穎麗