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        淺談小波閾值去噪方法

        2013-01-01 00:00:00姚堯
        創(chuàng)新科技 2013年4期

        隨著DSP(Digital Signal Processing)技術(shù)的高速發(fā)展,人們開始把圖像也視為一種重要的信息源。但由于實際中發(fā)送設(shè)備、傳輸信道、接收設(shè)備的特性不理想,導(dǎo)致在接收端獲取的圖像摻雜有噪聲,噪聲的存在使圖像質(zhì)量下降。因此,對于圖像去噪算法的研究已經(jīng)成為學(xué)術(shù)熱點。

        1984年,法國科學(xué)家Morlet在分析地震波時發(fā)現(xiàn),傳統(tǒng)的傅里葉變換難以達到局部分析的要求,從而提出了小波的概念。小波變換以其良好的時頻局部化性能和多分辨率性能克服了Fourier分析中存在的問題,被視為信號處理領(lǐng)域的重大突破,特別適合非平穩(wěn)、非線性信號的處理。

        目前,經(jīng)典的小波去噪方法大致有三類,分別是模極大值去噪算法、相關(guān)性去噪算法和小波閾值去噪算法。本文將重點討論小波閾值去噪方法,并圍繞其基本原理、閾值及閾值函數(shù)的選取以及去噪指標(biāo)展開討論。

        小波變換理論

        1.連續(xù)小波變換

        首先定義母小波,我們把滿足

        (1)式中的函數(shù)稱為母小波或者基小波。也就是說,ψ(t)在(-∞,+∞)的區(qū)間上對時間t的積分為零。

        小波就是由母小波通過平移和伸縮變換而產(chǎn)生的如下函數(shù)族:

        (2)式中的a稱為尺度因子,即可通過調(diào)整a值實現(xiàn)對母小波的伸縮變換;b稱為平移因子,即可通過調(diào)整b值實現(xiàn)對母小波的平移變換。

        當(dāng){ψa,b}是由(2)式給出的小波函數(shù)f(t)∈L2(R)時,對于任意函數(shù),它的連續(xù)小波變換(CWT)定義式為

        從上式可以看出,t,a和b的連續(xù)性給計算帶來了困難,同時也使連續(xù)小波變換是高冗余的。而下面介紹的離散小波變換正好克服了連續(xù)小波變換的冗余性。

        2.離散小波變換

        可以通過對尺度因子a和平移因子b進行離散化處理,從而實現(xiàn)由連續(xù)小波變換轉(zhuǎn)變到離散小波變換??闪?/p>

        把(4)式代入(2)式,就可以得到離散小波函數(shù)

        離散小波變換可以寫為:

        小波的離散化處理解釋了為什么小波克服了傳統(tǒng)的Fourier分析中的不足,因為傳統(tǒng)的Fourier分析無法提供局部時間域上的函數(shù)特征,而小波變換可以通過選擇合適的放大倍數(shù)a0m,在一個特定的位置研究函數(shù)的特征,然后再平移到其他位置繼續(xù)研究。這就形象地闡述了小波的美稱“數(shù)學(xué)顯微鏡”的由來。

        小波閾值去噪的基本原理

        假設(shè)在接收端得到的信號可以表示為如下形式:

        s(t)=f(t)+n(t)(8)

        其中,f(t)為原始信號,n(t)為噪聲信號,s(t)為摻雜有噪聲的實際信號。

        所謂去噪就是設(shè)法把原始信號f(t)與噪聲信號n(t)區(qū)別開,繼而將噪聲信號n(t)最大程度地去除,提高實際信號的信噪比,從而恢復(fù)出原始信號f(t),使得s(t)=f(t)。大量實際工程表明,原始信號通常以低頻信號或平穩(wěn)信號的形式出現(xiàn),而噪聲信號則以高頻信號的形式出現(xiàn),它們的不同之處就為小波去噪提供了思路。下面以三尺度分解為例進行說明,如下圖所示:

        經(jīng)過三級分解,噪聲信號被逐層分解到cd1,cd2,cd3中,即含有噪聲的信號被分離地越來越純凈。這時候人們可以通過選取合適的閾值T,對信號的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)分別處理,即把大于該閾值T的部分當(dāng)做是原始信號進行保留,而小于該閾值T的部分當(dāng)做是噪聲,將其置為零。然后對處理完的小波系數(shù)再進行反變換,即可重構(gòu)出一幅經(jīng)去噪的圖像。

        小波閾值去噪的實現(xiàn)可以概括為三步,用下面的方框圖表示為:

        閾值和閾值函數(shù)

        前面已經(jīng)提到過,小波閾值去噪方法的關(guān)鍵有兩點:閾值和閾值函數(shù)的選取。小波變換的去相關(guān)性使得原始信號的小波系數(shù)幅值大且個數(shù)少,噪聲信號的小波系數(shù)幅值小且分布于整個區(qū)間。因此人們將要求大于閾值的系數(shù)保留,小于閾值的系數(shù)置為零。為什么閾值的選取在小波去噪中顯得尤為重要呢?設(shè)想若人們選取的閾值過大,那么原始信號的部分小波系數(shù)也將化為零,這樣雖然去噪徹底,但同時也造成了原始圖像信息的丟失;若選取的閾值過小,那么噪聲信號的小波系數(shù)又將被保留,導(dǎo)致圖像去噪不夠徹底。所以無論是閾值選取的過大或者過小都會影響重構(gòu)圖像的質(zhì)量。

        下面介紹幾種經(jīng)典的閾值估計方法:

        1.Visushrink閾值(通用閾值)

        式中,σn是噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差,N為信號長度。

        2.最大最小閾值

        3.基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)

        T=3σ~4σ(11)

        但是傳統(tǒng)的閾值選取方法有一定的局限性,因為對于不同尺度來說,小波系數(shù)會隨著尺度的變化而發(fā)生改變,閾值不應(yīng)當(dāng)是一成不變的。為此,趙瑞珍和文鴻雁分別提出了改進的小波閾值算法,使得閾值在不同的尺度之下可以得到不同的值。

        在小波閾值去噪方法中,閾值函數(shù)的選取最能體現(xiàn)出我們對大于閾值T和小于閾值T的小波系數(shù)進行的不同處理方法。如果閾值函數(shù)設(shè)計巧妙,我們就可以高效去噪,從而最大程度地恢復(fù)出原始信號。

        不妨設(shè)是原始小波系數(shù),是閾值化后的小波系數(shù),代表示性函數(shù)。

        最為經(jīng)典的兩種閾值函數(shù)是由Donoho于1995年提出的,分別是:

        1.硬閾值函數(shù)(見圖3)

        2.軟閾值函數(shù)(見圖4)

        使用硬閾值函數(shù)可以很好的保留圖像的邊緣特征,而使用軟閾值函數(shù)處理起來要相對光滑一些。但是,以上兩種傳統(tǒng)的閾值函數(shù)都存在缺陷。由圖(3)可知,使用硬閾值函數(shù)在閾值-T和+T處是不連續(xù)的,這使得重構(gòu)的圖像會出現(xiàn)截斷效應(yīng)(偽吉布斯效應(yīng))、振鈴等視覺失真。而使用軟閾值函數(shù)使得處理后的小波系數(shù)與原始信號的小波系數(shù)之間總存在著一定的偏差,也就是說這種恒定的偏差會直接影響到與原始信號的近似程度,從而影響重構(gòu)圖像的質(zhì)量。另外,傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)導(dǎo)數(shù)不連續(xù),然而在實際的應(yīng)用中經(jīng)常要對一階甚至是高階導(dǎo)數(shù)進行運算處理,所以其具有一定的局限性。

        去噪評估指標(biāo)

        我們對于一幅圖像去噪效果最直觀的檢驗方法就是使用肉眼觀察,這種方法可以快速判斷圖像的清晰程度和一些細節(jié)信息保留的完整性。但是往往我們認為數(shù)字會更加一目了然,更加具有說服力。本文中我們將介紹三項評估指標(biāo),可以作為我們分析一種去噪方法效果優(yōu)劣的依據(jù),這三種方法結(jié)合了主觀檢驗和客觀檢驗的優(yōu)勢,可以從定性和定量兩個角度對去噪圖像進行全面評估。

        (1)均方根誤差MSE(Mean Square Error)

        上式對應(yīng)一幅量級為256,大小為m×n的圖像的均方差,其中f是原始圖像,f 是經(jīng)去噪后的圖像。MSE反映了去噪后圖像f 所含的噪音能量。因此,若MSE的數(shù)值越小,那么說明去噪效果就越好。

        (2)峰值信噪比PSNR(Peak signal-Noise Ratio)

        由上式可以看出,當(dāng)MSE的數(shù)值越小時,PSNR的數(shù)值越大,那么說明去噪效果越好,與(14)得到的結(jié)論一致。

        (3)結(jié)構(gòu)相似度SSIM

        該理論于2002年被王舟等人提出,是一項符合人眼視覺系統(tǒng)的客觀評判標(biāo)準(zhǔn),其定義如下:

        式中,σx、σy、σxy分別為原始圖像和去噪后圖像灰度的方差和協(xié)方差; [x]、 [y]分別為原始和去噪后圖像的平均灰度。SSIM的值越大說明去噪效果越好。

        結(jié)語

        小波變換的低熵性、多分辨率特性、去相關(guān)性、選基靈活性使得其在圖像去噪領(lǐng)域中備受關(guān)注。但是由于傳統(tǒng)閾值函數(shù)和閾值函數(shù)的選取存在缺陷,致使圖像去噪效果不盡如人意。因此在今后的研究中,筆者將重點研究閾值的和閾值函數(shù)的選取方法,使得去噪后的圖像在最大程度上逼近原始圖像。

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