【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 讀懂學(xué)生 有效探究

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）01A-0063-02

以操作支撐起學(xué)生對(duì)圓的面積公式的探索，已成為教師處理《圓的面積》一課教學(xué)的共識(shí)。其基本教學(xué)流程為：教師提供等分的圓，學(xué)生在教師指令下剪一剪，拼一拼，接著在教師引導(dǎo)下推導(dǎo)出圓的面積公式。誠(chéng)然，操作為學(xué)生推導(dǎo)公式積累了豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，但由于操作過(guò)程缺乏學(xué)生自主思考的支撐，這使得本課的探究更多地停留在了公式演繹推理的層面上。

如何創(chuàng)造一個(gè)更加開(kāi)放的平臺(tái)，從而使圓的面積轉(zhuǎn)化本身成為學(xué)生自主探究的過(guò)程，讓學(xué)生在操作活動(dòng)中不斷試驗(yàn)、反思、提升，從而經(jīng)歷平衡—不平衡—平衡的認(rèn)知過(guò)程，體悟極限與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，成為筆者研究這節(jié)課的重點(diǎn)。

【試教片段】

1.喚醒經(jīng)驗(yàn)，嘗試探究

師：回憶一下，我們以前是怎樣推導(dǎo)出平面圖形的面積公式的，請(qǐng)你舉例說(shuō)明。

（生舉例說(shuō)明，師課件演示）

師：是啊，我們通過(guò)轉(zhuǎn)化，將未知圖形的面積轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積，從而推導(dǎo)出未知圖形的面積公式。圓是否也能夠轉(zhuǎn)化為我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的圖形呢？

（有學(xué)生認(rèn)同，有學(xué)生反對(duì)）

師：請(qǐng)拿出圓形紙片，小組討論后動(dòng)手試一試。

（課堂觀察：大多數(shù)學(xué)生拿到圓形紙片討論無(wú)果，有4個(gè)同學(xué)在其中畫(huà)出一個(gè)正方形）

師：這位同學(xué)把圓轉(zhuǎn)化成正方形，可以嗎？

生：不可以，因?yàn)閳A比正方形還多出4個(gè)小部分來(lái)。

2.提供學(xué)具，再次探究

師：失敗乃成功之母。如果有困難，小組也可以打開(kāi)老師為你提供的材料袋，看能不能給你們帶來(lái)一些靈感。（材料：16等分、32等分的圓，剪刀）

（課堂觀察：小組討論很熱烈，其中有1個(gè)小組發(fā)生嚴(yán)重爭(zhēng)執(zhí)：生Z提出要用剪刀將圓按等分線(xiàn)剪開(kāi)，其他同學(xué)不同意，提出質(zhì)疑：“萬(wàn)一剪壞了怎么辦？”最終只有2個(gè)小組剪拼出平行四邊形）

3.組織交流，推導(dǎo)公式

……

【教學(xué)思考】教師為學(xué)生提供原生態(tài)的探究空間，期望學(xué)具能成為撬動(dòng)學(xué)生思維的支點(diǎn)，喚醒學(xué)生原有的平面圖形面積公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，把轉(zhuǎn)化的思想、剪拼的方法正向遷移到本課，使操作能得到自然的伸展。但本課的教學(xué)現(xiàn)實(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于教師的預(yù)期，學(xué)生拿到學(xué)具遲遲不敢動(dòng)手剪拼，僅僅是因?yàn)槿狈μ骄康挠職鈫幔?/p>

1.讀懂學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，直面現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)缺失

與以往的平面圖形的轉(zhuǎn)化不同，學(xué)生必須運(yùn)用極限逼近的數(shù)學(xué)思想、割圓為方的數(shù)學(xué)方法才能實(shí)現(xiàn)對(duì)圓的面積轉(zhuǎn)化。而這些經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅是空白，更是已有認(rèn)知世界里的質(zhì)變性顛覆。學(xué)生拿到等分好的圓，卻看不到剪圓能給他的研究帶來(lái)些什么，所以學(xué)生不敢剪也是正常的。由于極限逼近經(jīng)驗(yàn)的缺失，僅靠提供的學(xué)具難以開(kāi)啟學(xué)生的思維，這是教師所必須直面的教學(xué)現(xiàn)實(shí)。

2.讀懂學(xué)生的幾何直覺(jué)，挖掘內(nèi)隱的思想雛形

無(wú)論是在試教還是在學(xué)情調(diào)查中，都有不少學(xué)生想到了在圓內(nèi)畫(huà)正方形來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。可見(jiàn)，在圓的面積轉(zhuǎn)化的自主探究中，對(duì)學(xué)生而言嘗試畫(huà)正方形是一個(gè)自然而真實(shí)的過(guò)程。學(xué)生為什么想到畫(huà)正方形？這個(gè)問(wèn)題一直困擾著筆者，回訪(fǎng)學(xué)生他們也回答不出。畫(huà)正方形這種幾何直覺(jué)所成就的價(jià)值，是不是只在于成為學(xué)生探究道路上的一次失敗的經(jīng)歷？

在學(xué)生以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，他們所熟悉的平面圖形只有長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形，而在這些圖形之中與圓最接近的就是正方形，學(xué)生能想到在圓中畫(huà)出正方形，這不正是逼近思想雛形的樸素運(yùn)用嗎？

3.讀懂學(xué)生的操作細(xì)節(jié)，提供有效的探究支撐

如何使學(xué)生直覺(jué)所內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想雛形外顯化，曾是擺在筆者面前的一個(gè)教學(xué)技術(shù)上的難題。在分析學(xué)生課堂留下的書(shū)面材料時(shí)，筆者無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了圓內(nèi)的折痕，這讓筆者茅塞頓開(kāi)——我們往往只關(guān)注學(xué)生操作的結(jié)果即在圓內(nèi)畫(huà)出正方形，而忽視了其背后的思維過(guò)程：對(duì)折兩次形成了兩條垂直的直徑，再連接圓上的四個(gè)點(diǎn)便形成了正方形。

捕捉學(xué)生對(duì)折的操作細(xì)節(jié)并以此為突破口，鼓勵(lì)學(xué)生沿著“對(duì)折畫(huà)正方形”這個(gè)方向繼續(xù)研究，學(xué)生自然生成“不斷對(duì)折畫(huà)正多邊形”的研究思路，在操作中形成了逼近思想的有效體悟。基于以上三點(diǎn)思考，筆者對(duì)教學(xué)做了如下改進(jìn)。

【改進(jìn)后的教學(xué)片段】

1.喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試面積轉(zhuǎn)化

師：回憶一下，我們以前是怎樣推導(dǎo)出平面圖形的面積公式的，請(qǐng)你舉例說(shuō)明。

師：圓是否也能轉(zhuǎn)化成我們以前學(xué)過(guò)的圖形呢？請(qǐng)你拿出圓形紙片，自己來(lái)試一試。（生操作，師巡視）

師：我們來(lái)交流一種很有意思的方法。

生：我把圓轉(zhuǎn)化成了一個(gè)正方形和其他4小塊。

師：他把圓分成了1個(gè)正方形和4個(gè)小弓形，你覺(jué)得他這樣的轉(zhuǎn)化怎么樣？

生：雖然他把圓轉(zhuǎn)化成了正方形，但不完全是正方形，因?yàn)槎喑隽?個(gè)其他的圖形，還是沒(méi)有辦法推導(dǎo)出公式，所以我認(rèn)為他的轉(zhuǎn)化是沒(méi)有意義的。

2.經(jīng)歷操作過(guò)程，體悟逼近思想

師：他的這種方法有沒(méi)有可取之處呢？（生搖頭）

師：先別忙下結(jié)論。再請(qǐng)這位同學(xué)來(lái)向我們展示一下，他是如何在圓里畫(huà)出最大的正方形的。（生邊展示邊講解）

師：剛剛他把圓對(duì)折兩次，畫(huà)出了一個(gè)正方形。我們沿著他的這個(gè)研究方向深入下去，繼續(xù)對(duì)折后再畫(huà)一畫(huà)，看會(huì)不會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

（在操作中，學(xué)生的思維被激活，興奮地舉起了手，迫不及待地要表達(dá)）

生1：我們把圓對(duì)折了3次，畫(huà)出了一個(gè)正八邊形，再對(duì)折4次畫(huà)出一個(gè)正十六邊形，發(fā)現(xiàn)畫(huà)出來(lái)的圖形越來(lái)越像圓了。

生2：我們組認(rèn)為，一直對(duì)折到折不動(dòng)，這個(gè)正χ邊形肯定會(huì)與圓重合的。

（學(xué)生邊匯報(bào)，教師邊完善板書(shū)，如下圖）

師：正多邊形越來(lái)越接近圓了，真是了不起的發(fā)現(xiàn)。（用課件演示，64等份、128等份……給學(xué)生帶來(lái)了更真實(shí)的感知上的震撼）

接下來(lái)我們換一個(gè)角度（師從上往下指著第二豎列的板書(shū)），來(lái)看看我們剛才的研究，說(shuō)不定你又會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn)。

生1：我還發(fā)現(xiàn)，每次不斷地對(duì)折，折出來(lái)的圖形越來(lái)越像三角形。

生2：圓原來(lái)還可以轉(zhuǎn)化為很多個(gè)小三角形呀！

師：是啊，圓還可以轉(zhuǎn)化成若干個(gè)近似的小三角形。（出示學(xué)具：16等份的圓片）近似的小三角形與原來(lái)的圓有怎樣的聯(lián)系呢？

（生交流，師引導(dǎo)小結(jié)三角形的底、高與圓的聯(lián)系）

3.進(jìn)行二次轉(zhuǎn)化，自主推導(dǎo)公式

師：小組討論，試著推導(dǎo)出圓的面積公式。

方法1：轉(zhuǎn)化為16個(gè)近似的小三角形

（正16邊形）

（這種方法推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，有一個(gè)推理能力較強(qiáng)的小組在教師的共同參與下，推導(dǎo)成功。）

師：如果你覺(jué)得有困難，你還可以動(dòng)手剪一剪、拼一拼，看有沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)。

方法2：轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形

（師引導(dǎo)學(xué)生交流平行四邊形底、高與圓的關(guān)系后，學(xué)生嘗試推導(dǎo)）

方法3：轉(zhuǎn)化為近似的梯形

（大多數(shù)小組都采用了方法2，有一組采用了方法3但在推導(dǎo)過(guò)程中失敗了，教師請(qǐng)學(xué)生課后繼續(xù)推導(dǎo)）

改進(jìn)后的教學(xué)案例中，教師善于捕捉課堂細(xì)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生自主生成圓面積轉(zhuǎn)化的研究思路。學(xué)生在經(jīng)歷直觀操作經(jīng)驗(yàn)不斷疊加的過(guò)程中，形成了正多邊形不斷逼近圓的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)極限逼近全新思想境界的原生性頓悟。在此基礎(chǔ)上教師又借助多媒體演示，使學(xué)生的頓悟再次得到了真切的驗(yàn)證，進(jìn)一步加深了極限逼近思想的體驗(yàn)，順利經(jīng)歷了接下來(lái)的面積二次轉(zhuǎn)化、公式推導(dǎo)探究的體驗(yàn)。

一次次的磨課經(jīng)歷使筆者清醒地認(rèn)識(shí)到，如果不能讀懂學(xué)生，一切教學(xué)理念與教學(xué)設(shè)計(jì)都將成為空中樓閣?；貧w數(shù)學(xué)教學(xué)的原點(diǎn)——讀懂學(xué)生，真正用心去解讀學(xué)生，才能使“節(jié)外生枝”轉(zhuǎn)化為珍貴的教學(xué)資源，從而促使學(xué)生形成自主探究的精神。

（責(zé)編 黎雪娟）