【內(nèi)容摘要】平面中任一向量可用任意兩個不共線向量來線性表示,但中間過程有時僅通過平行四邊形法則和三角形法則很難達(dá)到目標(biāo)。應(yīng)用平面向量非坐標(biāo)系下定比分點公式、坐標(biāo)法、向量內(nèi)積法等方法來處理平面向量唯一分解可事半功輩。
【關(guān)鍵詞】平面向量基本定理 定比分點公式法 坐標(biāo)法 內(nèi)積法
作為一種數(shù)學(xué)工具,在中學(xué)數(shù)學(xué)中向量的優(yōu)勢更多在體現(xiàn)在溝通幾何與代數(shù),并將幾何及其它的一些問題通過代數(shù)運算來研究,這樣的一個思辨的過程變?yōu)榱艘环N程序化的操作過程。向量的基本定理實際上是建立向量坐標(biāo)的一個邏輯基礎(chǔ),它是前面向量運算的延伸,又是后面平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),它是搭建向量幾何運算和代數(shù)運算的橋梁,在向量知識體系中處于核心地位。
平面向量基本定理告訴我們:平面上的任一向量可以由這個平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量表示。也就是說,平面上的任意兩個不共線的向量都可以表示這個平面上的任意向量。平面向量坐標(biāo)的實質(zhì)是將平面向量分解到分別與x軸、y軸正向同向兩單位向量,但其中過程是學(xué)生學(xué)習(xí)難點,有時僅通過平行四邊行法則和三角形法則無法輕易達(dá)到目標(biāo),這里介紹定比分點公式法、坐標(biāo)法和向量內(nèi)積法三種方法,來處理平面向量的唯一分解。
一、非坐標(biāo)系下定比分點公式法
向量的定比分點公式在我們印象中僅是坐標(biāo)形式,其實在一般非坐標(biāo)系下一樣可利用它來處理向量唯一分解問題:設(shè)P分有向線段 所成的比為λ,即 ,若O為平面內(nèi)的任一點(O點未必是原點),則:
稱為定比分點公式的向量形式。應(yīng)用定比分點公式向量形式可以簡化直接得出向量的唯一分解形式。
【例1】如圖,在△ABC中∠B = ,∠C= ,∠A的平分線交BC 于點D,設(shè) ,則
______。
分析:常規(guī)解法是根據(jù)角平分線性質(zhì)先計算出 ,再由三角形法則 可以計算出λ、μ,過程這里省略,只介紹非坐標(biāo)系下定比分點公式法。
解:由內(nèi)角平分線性質(zhì)得
即
大家可以應(yīng)用此法來證明內(nèi)角平分線定理。
二、坐標(biāo)法
平面向量唯一分解問題若從幾何角度很難找到線性關(guān)系,可以先建立直角坐標(biāo)系,將一般分解轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的正交分解。引入坐標(biāo)系后,結(jié)合三角函數(shù)知識,找到點的坐標(biāo),再通過向量坐標(biāo)運算可輕易找到向量之間的線性關(guān)系。這種方法可以說是向量分解的通法,是萬能法。方法關(guān)鍵是在坐標(biāo)系中找點的坐標(biāo)。
【例2】如下圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是邊BC上一點,DC=2BD,求
的值。
解法一:根據(jù)向量的加減法法則有:
此時
解法二:坐標(biāo)法
以AC所在直線為了x軸,A為原點建立直角坐標(biāo)系,如圖:
則A(0,0),B(2cos120°,2sin120°)即 , ,
。
三、內(nèi)積法
有時平面向量唯一分解從幾何上有困難時,可考慮從代數(shù)角度入手,設(shè) ,運算
的內(nèi)積,結(jié)合方程思想,通過方程組解出λ、μ的值,從而達(dá)到向量唯一分解目標(biāo)。
【例3】在鈍角△ABC中,AC=2,AB=1,其面積為 ,O是△ABC的外心,設(shè)
,求s,t的值。
內(nèi)積法:由三角形面積:
得
∴A=60°或A=120°
但當(dāng)A=60°時,BC= ,△ABC為直角三角形(舍去)
當(dāng)A=120°時,BC=
此時△ABC外接圓的半徑
由余弦定理知,
又 ,兩邊同時分別點乘 有:
為所求。
學(xué)生若能突破平面向量的唯一分解,向量這個工具才能發(fā)揮其最大功效。還記得一個調(diào)研試題:
在△ABC中, ,
BC=2,O為△ABC的外心,
若
求m,n值。當(dāng)時學(xué)生普遍得分率極低,明明一個很簡單問題而失分就是因為用常規(guī)解法分解向量難度很大,根本聯(lián)系不到用坐標(biāo)法或內(nèi)積法來處理向量的唯一分解,了解了以上這三種方法之后相信此題不再是難題,大家可以不妨一試。
(作者單位:江西省南昌市第二中學(xué))