摘 要:近年來隨著房地產(chǎn)行業(yè)競爭的日益加劇,基于房地產(chǎn)企業(yè)核心競爭力的戰(zhàn)略投資越來越引起房地產(chǎn)企業(yè)的重視。在一些資產(chǎn)雄厚的企業(yè)中,一家房地產(chǎn)公司可以同時(shí)對幾個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資,這就需要企業(yè)充分考慮內(nèi)部資金的合理分配,項(xiàng)目的投資順序等系列投資決策問題,以使企業(yè)獲得的綜合效益最大。引用期權(quán)博弈理論對房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部的項(xiàng)目投資決策進(jìn)行研究,在深入剖析房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目所具有的期權(quán)特性的基礎(chǔ)上,建立房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部雙項(xiàng)目投資期權(quán)博弈模型。此外,我們還將利用變分法對模型的最優(yōu)解進(jìn)行討論,從而為房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部多項(xiàng)目投資提供最優(yōu)化策略建議。
關(guān)鍵詞:房地產(chǎn)投資;戰(zhàn)略投資;期權(quán)博弈;變分法;最優(yōu)策略
中圖分類號:F127 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1673-291X(2012)35-0060-04
1 問題提出
近年來房地產(chǎn)項(xiàng)目投資決策已經(jīng)成為眾多房地產(chǎn)開發(fā)商所關(guān)注的熱點(diǎn)。目前,我國房地產(chǎn)投資在評估新的項(xiàng)目的時(shí)候,主要有兩類投資決策方法。第一類是傳統(tǒng)的投資方法,目前使用比較廣泛。它主要是采用傳統(tǒng)的貼現(xiàn)現(xiàn)金流法來評估整個(gè)項(xiàng)目的價(jià)值,但因?yàn)檫@種方法是一種比較靜態(tài)而且剛性的評價(jià)方法,忽略了未來收益的不確定性和項(xiàng)目實(shí)施過程中的管理彈性價(jià)值,以及投資時(shí)機(jī)的選擇,因此,在許多情況下,缺少對投資項(xiàng)目價(jià)值的客觀真實(shí)評價(jià),從而導(dǎo)致決策的失誤,錯(cuò)過合適的投資機(jī)會(huì)。第二類是1991年Smets[1]提出的期權(quán)博弈理論投資方法,在1993年,Smit和Ankum[2]建立了第一個(gè)離散型的期權(quán)博弈模型。此這種方法將Hayes和Abernathy[3],Hayes和Garvin[4], Stewart Myers[5]提出的實(shí)物期權(quán)理論與博弈論結(jié)合起來,他們通過把期權(quán)定價(jià)結(jié)合到各種博弈模型中,確立了間斷時(shí)間期權(quán)博弈的標(biāo)準(zhǔn)分析模式。Williams(1993)[6]和Grenadier(1996) [7]是最早結(jié)合實(shí)物期權(quán)和博弈論來分析房地產(chǎn)開發(fā)實(shí)際問題的論文。Williams(1993)開發(fā)了一種投資時(shí)機(jī)的均衡模型,該模型考慮了開發(fā)商期權(quán)執(zhí)行對已開發(fā)和未開發(fā)房地產(chǎn)新供給的內(nèi)生影響。Grenadier首次將期權(quán)博弈模型應(yīng)用到房地產(chǎn)市場中,考察了投資期權(quán)的策略執(zhí)行問題。期權(quán)博弈評價(jià)的基本思想是在項(xiàng)目價(jià)值可行性判別這一目標(biāo)下,全面考慮影響項(xiàng)目價(jià)值的因素,確定出不確定性環(huán)境中的項(xiàng)目價(jià)值函數(shù)、基于主體策略互動(dòng)的項(xiàng)目均衡價(jià)值組合,并最終判別項(xiàng)目可行性的條件和最優(yōu)化的組合。這種方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是正視了投資項(xiàng)目中存在的不確定性,并將管理彈性價(jià)值和戰(zhàn)略價(jià)值也作為影響投資的因素加以考慮,因而更加科學(xué)。
房地產(chǎn)投資是整個(gè)房地產(chǎn)發(fā)展的重要?jiǎng)恿鸵?。由于房地產(chǎn)業(yè)具有投資資金大,開發(fā)周期長,不確定性大等特點(diǎn),而期權(quán)博弈理論正是為適應(yīng)這種類型的項(xiàng)目投資而迅速發(fā)展起來的,它綜合考慮了市場的不確定性,不完全信息,競爭者的反應(yīng)等因素,并根據(jù)這些因素設(shè)置相應(yīng)的變量,建立一個(gè)包含有博弈論思想的模型,為投資決策者提供了更加科學(xué)的理論基礎(chǔ)。然而,房地產(chǎn)企業(yè)除了面臨與競爭對手之間的項(xiàng)目決策,他們更多的會(huì)面臨對企業(yè)內(nèi)部多個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資的問題。當(dāng)企業(yè)資金充足時(shí),需要考慮各項(xiàng)目的投資額,從而實(shí)現(xiàn)最小的投入獲得最大的收益;當(dāng)企業(yè)資金不足時(shí),多個(gè)項(xiàng)目便不能同時(shí)投入市場,需要求出各個(gè)項(xiàng)目投入市場的最佳時(shí)間,制定有限資金的合理分配方案,以使企業(yè)獲利最大。
另外,我們知道房地產(chǎn)項(xiàng)目投資決策問題總體上屬于系統(tǒng)控制和動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題,對于此類問題我們常用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法進(jìn)行研究。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是解決多階段決策以及一大類線性、非線性規(guī)劃問題的有效方法,對于某些離散性的控制問題,它是有效的方法,但對于連續(xù)型的控制問題,動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法使用起來并不方便。而房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目資金安排的控制則恰屬于系統(tǒng)控制中的連續(xù)型控制問題,解決這種連續(xù)型的最優(yōu)控制問題的可行方法之一是變分法,它是解決一大類泛函極值的有效方法。變分法是研究泛函極值的一種方法,在力學(xué)、物理學(xué)、光學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息論與自動(dòng)控制論等諸多方面有廣泛應(yīng)用。泛函是指一個(gè)因變量,其值取決于一個(gè)或多個(gè)函數(shù),這一個(gè)或多個(gè)函數(shù)是泛函的“自變量”,而泛函就是這些函數(shù)的“函數(shù)”,這些“自變量”往往是一元或多元函數(shù)。變分問題就是求泛函極值問題,它有很多種,但最后的求解都可以歸結(jié)為解歐拉方程的邊值問題。極值原理的應(yīng)用又使變分法在此類最優(yōu)控制問題上的研究更具有可行性。
對于房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目的資金分配問題,陳偉和于福海[8]曾應(yīng)用變分法將生產(chǎn)性和營銷性的資金投入比例問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,并求出最優(yōu)解,從而得到使開發(fā)商獲得最大收益的決策方案。本文引入期權(quán)博弈理論來研究房地產(chǎn)企業(yè)多項(xiàng)目戰(zhàn)略投資最佳時(shí)間組合和不同項(xiàng)目資金分配的問題,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再利用變分法求解,從而為房地產(chǎn)企業(yè)項(xiàng)目投資提供最優(yōu)策略建議。
2 模型描述
在期權(quán)博弈理論的投資戰(zhàn)略中,假設(shè)房地產(chǎn)投資的風(fēng)險(xiǎn)是中性的,使用無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)率,企業(yè)的逆需求函數(shù)為:
P(t)=Y(t)D(NA,NB)
這里Y(t)是符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)(取值永遠(yuǎn)不小于)的隨機(jī)需求沖擊因子(反映著市場需求的隨機(jī)變化性)。
dY(t)=αY(t)dt+δY(t)dz
上式中:α——飄移項(xiàng);
δ——資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)率;
dz——維納增量;
如果經(jīng)營成本為0,則P(t)可被解釋為利潤流。根據(jù)期權(quán)博弈理論,在相應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)是否進(jìn)行投資,還存在著一個(gè)投資臨界值,當(dāng)Y小于投資臨界值YF時(shí),說明市場需求狀況不佳,企業(yè)不進(jìn)行投資;當(dāng)Y大于YF時(shí),企業(yè)會(huì)進(jìn)行投資。
下面我們將以房地產(chǎn)企業(yè)對兩個(gè)項(xiàng)目投資為例,多個(gè)項(xiàng)目的投資可以類比實(shí)施 。假設(shè)一家房地產(chǎn)公司在同一時(shí)間拍下兩個(gè)項(xiàng)目A和B。根據(jù)期權(quán)博弈公式可知D(NA,NB)是確定的市場需求參數(shù),它取決于公司對兩個(gè)項(xiàng)目的投資情況NK,其中k∈{A,B}:當(dāng)NK=1時(shí),對K 進(jìn)行投資,當(dāng)NK=0時(shí),對K 不進(jìn)行投資,即D(NA,NB)的可能值為:
(1)D(0,0)表示項(xiàng)目A和項(xiàng)目B均不投資;
(2)D(1,0)表示項(xiàng)目A先進(jìn)行投資并成為領(lǐng)導(dǎo)者,項(xiàng)目B暫不投資并成為跟隨者;
(3)D(0,1)表示項(xiàng)目B先進(jìn)行投資并成為領(lǐng)導(dǎo)者,項(xiàng)目A暫不投資并成為跟隨者;
(4)D(1,1)表示項(xiàng)目A和項(xiàng)目B同時(shí)進(jìn)行投資。
對于第(1)種情況, 我們擬設(shè)定成品房收益率高于地皮增值收益率,且企業(yè)沒有出現(xiàn)資金鏈斷裂等極端狀態(tài),則(1)種情況發(fā)生的可能性很小,基本符合當(dāng)前房地產(chǎn)市場的項(xiàng)目投資開發(fā)的實(shí)際。此外,2012年6月1日國土資源部第53號令規(guī)定:土地未動(dòng)土開發(fā)滿一年,按照土地出讓或者劃撥價(jià)款的20%征繳土地閑置費(fèi);土地未動(dòng)土開發(fā)滿兩年,無償收回國有建設(shè)用地使用權(quán)。這就更加減少了房地產(chǎn)企業(yè)土地招牌掛成功后的土地閑置率。
對于第(2)和第(3)種情況,我們可以把它們看成是同一種方案:在企業(yè)資金有限的情況下,兩個(gè)項(xiàng)目針對自己所要投入市場的情況,分先后順序進(jìn)入各自的市場。這就需要企業(yè)先對市場進(jìn)行考察,并求出兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)入各自市場的最佳時(shí)間,先進(jìn)入市場的稱為領(lǐng)導(dǎo)者,另一個(gè)稱為跟隨者。下面將對以上兩種情況進(jìn)行分析。
D(1,0)表示此時(shí)的A為領(lǐng)導(dǎo)者,B為跟隨者。此種情況下,可以看成起初項(xiàng)目將公司的資金壟斷,只用來滿足對自己的投資,當(dāng)投資到一定時(shí)期時(shí),由于對樓盤的營銷活動(dòng)等因素,會(huì)有業(yè)主前來購房,這樣就會(huì)有一定的資金回流,未來收益又將作用于企業(yè)投資戰(zhàn)略決策,即將公司內(nèi)現(xiàn)存的部分資金投入到對項(xiàng)目B的建設(shè)中,接下來是項(xiàng)目A和項(xiàng)目B以不同的進(jìn)度同時(shí)進(jìn)行開發(fā)。項(xiàng)目A處于壟斷階段時(shí),其利潤流為YD(1,0),當(dāng)在t=t1處時(shí),利潤跌至YD(1,1)。在此問題中,我們重在解決跟隨者進(jìn)行項(xiàng)目投資的時(shí)間,從而實(shí)現(xiàn)兩個(gè)項(xiàng)目的總收益最大化。
對于第(4)種情況,需要我們同時(shí)對兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資。這就需要我們確定每個(gè)項(xiàng)目的投資額分配,該投資額的確定,與兩個(gè)項(xiàng)目總效用的折現(xiàn)率控制。
3 模型建立與最優(yōu)解討論
基于期權(quán)博弈對上述房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部雙項(xiàng)目投資的四種情況深入分析,我們將分D(1,0)(或D(0,1))和D(1,1)兩類建立房地產(chǎn)企業(yè)對內(nèi)部項(xiàng)目投資的期權(quán)博弈模型,同時(shí),我們還利用變分法對模型的最優(yōu)解進(jìn)行討論。
(1)D(1,0)(或D(0,1))投資模型
利用資產(chǎn)組合復(fù)制方法,確定領(lǐng)導(dǎo)者的壟斷價(jià)值為M(Y),則領(lǐng)導(dǎo)者的價(jià)值L(Y)可以表示為:
L(Y)=M(Y)-I (I為投資沉沒成本)
其中M(Y)滿足以下貝爾曼偏微分方程[9-10]:
該方程的解是由一個(gè)齊次解
根據(jù)上述貝爾曼偏微分方程,初始條件:M(0)=0,價(jià)值匹配條件:M(Y)=V(YF)-I,平滑粘貼條件:MY(YF)=VY(YF),求解得:
因此,當(dāng)Y 當(dāng)YYF時(shí), 領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行投資的最佳時(shí)間為: D(0,1)表示此時(shí)的為領(lǐng)導(dǎo)者,A為跟隨者。項(xiàng)目B處于壟斷階段時(shí),其利潤流為YD(0,1),當(dāng)在t=t1處時(shí),利潤跌至YD(1,1)。利用資產(chǎn)組合復(fù)制方法,確定跟隨者的項(xiàng)目期權(quán)價(jià)值F(Y)滿足貝爾曼偏微分方程: 求得跟隨者的項(xiàng)目價(jià)值為: 其中, 投資閾值: 因此,跟隨者的價(jià)值可以表示為: 當(dāng)Y 當(dāng)YYF時(shí) 跟隨者進(jìn)行投資的最佳時(shí)間為: 接下來討論資金的分配問題:首先,開發(fā)商手中有固定資金l(t),設(shè)先開發(fā)的項(xiàng)目設(shè)為i(i=1,2),且兩項(xiàng)目的產(chǎn)品是相同的。對第二個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資的時(shí)刻設(shè)為Tj(j=F,L)?,F(xiàn)在將資金的一部分li(t)安排到項(xiàng)目i的投資中,在此期間會(huì)用這部分資金對項(xiàng)目i進(jìn)行工程建設(shè)和項(xiàng)目營銷,通過開展各種營銷活動(dòng),提高樓盤的知名度及銷售業(yè)績,加快資金周轉(zhuǎn)及投入資金的回收,假設(shè)Tj時(shí)刻回收回來的資金為Ic(t),然后將開發(fā)商起初剩余的資金l(t)-li(t)和lc(t)都安排到第二個(gè)項(xiàng)目的投資中,后面將用ω(t)代替ω(t)=l(t)-li(t)+lc(t) 。設(shè)第一個(gè)項(xiàng)目的工程完成量函數(shù)為c1(t)=f(li(t)),工程完成量的效用為u(c1)。效用[11]是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中的概念,類似于商品或服務(wù)的使用價(jià)值,是商品或服務(wù)為消費(fèi)者帶來的某種滿足,在本文中,效用可理解為項(xiàng)目的資金投入為房地產(chǎn)商帶來的直接利益。設(shè)第二個(gè)項(xiàng)目完成量函數(shù)為c2(t)=g(ω(t)),工程完成量的效用為u (cB)。開發(fā)商在t時(shí)間段內(nèi)創(chuàng)造或回收價(jià)值的速度[8]為 V(c1,c2)=u(c1(t))+u(c2(t)) 將t時(shí)間段項(xiàng)目創(chuàng)造的總價(jià)值換算為獲準(zhǔn)預(yù)售時(shí)刻的現(xiàn)值,則為 e-rtV(c1,c2),0 r為折現(xiàn)率。則在[0,T]內(nèi),開發(fā)商獲得的全部效用折現(xiàn)后就是 綜上,可得到如下的數(shù)學(xué)模型: 設(shè)拉格朗日乘子為 歐拉方程是: 解方程得: (2)D(1,1)投資模型 針對第(4)種情況:假設(shè)在t時(shí)間段內(nèi),開發(fā)商共有資金l(t),其中l(wèi)A(t)安排到項(xiàng)目A,lB(t)安排到項(xiàng)目B。設(shè)項(xiàng)目A的完成量函數(shù)為 cA(t)=f(lA(t)) 項(xiàng)目完成量的效用為u(cA)。由于兩個(gè)項(xiàng)目是由同一家公司投資的,所以在對外宣傳上會(huì)有相互影響,因此不妨設(shè)項(xiàng)目的完成量與項(xiàng)目的完成量成正比,即af(lA(t)),則項(xiàng)目B的完成量函數(shù)為cB(t)=af(lA(t)),項(xiàng)目完成量的效用為u(cB),開發(fā)商在t時(shí)間段內(nèi)創(chuàng)造或回收價(jià)值的速度為 V(cA,cB)=u(cA(t))+u(cB(t)) 將t時(shí)間段項(xiàng)目創(chuàng)造的總價(jià)值換算為獲準(zhǔn)預(yù)售時(shí)刻的現(xiàn)值,則為 e-rtV(cA,cB),0 r為折現(xiàn)率。則在[0,T]內(nèi),開發(fā)商獲得的全部效用折現(xiàn)后就是 綜上,可得到如下的數(shù)學(xué)模型: 設(shè)拉格朗日乘子為 則拉格朗日函數(shù)為 歐拉方程是: 解方程得: 在實(shí)際應(yīng)用中,將相關(guān)數(shù)據(jù)分別代入以上兩個(gè)歐拉方程的最終解并進(jìn)行比較,便可得出哪一種決策方案是在給定的條件下最優(yōu)的。 4 結(jié)論 本文基于期權(quán)博弈理論及變分法原理,分析了企業(yè)內(nèi)部同時(shí)拿下兩塊地皮后,如何在有限的資金條件下,引用期權(quán)博弈理論做出合理的投資決策,應(yīng)用變分法將決策轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,最后得到使房地產(chǎn)商獲得最大收益的最優(yōu)解。此種分析方法也可適用于多個(gè)項(xiàng)目,因此,其觀點(diǎn)結(jié)論對于當(dāng)前房地產(chǎn)開發(fā)商投資實(shí)踐活動(dòng)具有一定的理論指導(dǎo)和實(shí)際意義。