摘要：本文主要介紹了幾種常用的齒輪剛度計算方法，并通過實例對齒輪剛度進行了計算。

關(guān)鍵詞：齒輪；剛度；計算齒輪是機械中重要的零部件，它應(yīng)用廣泛，特別是在傳統(tǒng)的機械行業(yè)里面。齒輪傳動由于具有傳動平穩(wěn)，噪聲小，壽命長等優(yōu)點，在機械傳動中也得到了廣泛的應(yīng)用。然而對齒輪進行動態(tài)性能分析時，齒輪的剛度的時變特性也是不容忽視的。因此需要對齒輪的剛度進行分析計算。

齒輪剛度計算首先要計算輪齒變形，計算輪齒變形的方法一般有3種，分別是材料力學(xué)，數(shù)學(xué)彈性力學(xué)和有限元法。

在所有計算方法中，最早使用的是材料力學(xué)方法?；痉椒ㄊ窍葘⑤嘄X簡化為彈性基礎(chǔ)上的變截面懸臂梁，即輪齒任意嚙合點處的方向力的作用下產(chǎn)生的法向彈性變形。這主要是由三部分組成：1）齒部的彎曲剪切變形，2）由齒根彈性引起的附加變形，3）嚙合點處的接觸變形。主要就非常簡便而且利于計算，只是需要先對輪齒模型進行簡化，不同的輪齒模型需要有不同的方式進行計算。比較常見的方法有Weber-Banaschek法，石川法和數(shù)值方法等。

Weber-Banaschek方法的依據(jù)是輪齒在法向力Fn作用下，沿嚙合線方向發(fā)生了變形，這時法向力所做的功應(yīng)與變形能相等。石川法是把齒輪簡化為梯形和矩形模型進行計算。

數(shù)學(xué)彈性力學(xué)方法的基本思想就是把齒輪輪齒的受載變形問題簡化為一個半無限體的受載變形，利用保角映射函數(shù)把輪齒的曲線邊界C映射為直邊邊界場。這樣可以應(yīng)用彈性力學(xué)中平面問題的復(fù)變函數(shù)解答求解集中力作用下的半無限體的位移場，再由此確定受載輪齒的位移場。

康焱用有限元方法計算了漸開線直齒內(nèi)齒輪的輪齒剛度，其最后得到的漸開線直齒內(nèi)齒輪的載荷作用點的輪齒剛度的計算公式為[2-3]：

C=（E/A）（λx+1）B（x+1）C×10-9（3）

式中：

A=0.0011Z2-0.1381Z+12.8587

B=-0.0056Z+1.0483

C=-0.0002Z+0.0376

計算出輪齒任意嚙合點k處的法向彈性變形δk以后，單個輪齒的嚙合剛度即可求出kk=Fkδk，應(yīng)該說明的是輪齒在不同的嚙合點嚙合時δk是不同的，因此輪齒的嚙合剛度也是嚙合點位置的函數(shù)。

一對輪齒i嚙合時，在嚙合力的作用下，主從動輪齒都會發(fā)生彈性變形。若將單個輪齒視為一個彈簧，則相嚙合的一對輪齒可視為一對串聯(lián)的彈簧。設(shè)k1，k2分別為主、從動齒輪在嚙合點處法線方向的嚙合剛度，則一對輪齒的綜合嚙合剛度kvi為

kvi=k1k2k1+k2，由于k1，k2是嚙合點位置的函數(shù)，因此齒對i的綜合嚙合剛度kvi也是齒對嚙合剛度的函數(shù)，具有時變性。圖1嚙合剛度K（X）曲線

A為嚙入點、B為嚙出點、C為節(jié)點，重合度為ε。

由于在一般情況下，直齒輪的重合度1≤ε≤2，因此在一對齒嚙合和兩對齒嚙合的交替，一對齒是一組串聯(lián)的彈簧，兩對齒就是兩組這樣串聯(lián)的彈簧并聯(lián)，則kv=kv1+kv2。

斜齒輪嚙合剛度計算與直齒輪嚙合剛度的計算不同，由于在斜齒輪傳動中輪齒嚙合的接觸線是傾斜的，接觸線上的載荷分布是非均勻的，因此斜齒輪輪齒不能簡化為二維平面問題，必須作為三維問題進行分析，因而其彈性變形的計算就更為復(fù)雜。梅澤清彥得出求斜齒輪剛度計算公式[4]：

k=[（-0.166×bH+0.08]×（β0-5）+44.5]×exp[0.322×（β0-5）+（0.23×bH-23.26）×x3]（4）

有限元法是現(xiàn)在計算斜齒輪輪齒最有效的方法。它主要有3類，一種是使用有限元法求在給定載荷作用下的輪齒變形，第二種是通過對大量計算結(jié)果的回歸分析得到變形計算公式，第三種是采用接觸問題有限元法，考慮多對輪齒的同時嚙合及輪齒的接觸變形，進行輪齒的嚙合接觸分析。

一般在進行齒輪剛度計算時，可以采用簡化的方法來進行計算[5]。圖2輪齒剛度曲線

CQ=20.80-49.5/z1-38.8/z2+40（x1/z1+x2/z2）+60∑x/∑z（5）

CA=CE=13.83-31.5/z1-20.5/z2+40（x1/z1+x2/z2）+45∑x/∑z（6）

CD=CB=20.86-53.7/z1-44.7/z2+25（x1/z1+x2/z2）+45∑x/∑z（7）

式中：CACBCDCE分別代表圖中ABDE點的嚙合剛度，z1z2x1x2分別代表齒輪1，2的齒數(shù)和變位系數(shù)，∑x、∑z分別為兩齒輪變位系數(shù)之和與齒數(shù)之和。CAD代表平均雙對齒嚙合剛度，Cr代表整個嚙合過程的綜合嚙合剛度，其計算式如下。

CAD=CA+CD=CB+CE=0.5（CA+CD+CB+CE）（8）

Cr=CAD（εα-1）+0.5（CD+CQ）（2-εα）（9）

利用上述公式進行計算得（變位系數(shù)均為0），通過上述公式，可以計算出齒輪對的嚙合剛度。（作者單位：鄭州華信學(xué)院機電工程學(xué)院）

參考文獻

[1]王建軍，張永忠，魏任之.齒輪輪齒彈性變形的計算方法評述[J].機械科學(xué)與技術(shù)，1996，15（11）.

[2]康焱，石照耀，林家春，姚文席. 漸開線直齒內(nèi)齒輪的輪齒變形撓度解析[J].機械傳動，2008，32（1）：5-7，64.

[3]康焱，石照耀，林家春，姚文席. 漸開線直齒內(nèi)齒輪的輪齒剛度簡化計算[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2007，33（12）：1246-1251.

[4]Umezawa K，Suzuki T，Sato T.Vibrations of power trans- mission helical gears（approximate equation of tooth stiff- ness）[J].Bulletin of JSME，1986，29（251）：1605-1611.

[5]張偉社，馮守衛(wèi).直齒輪輪齒剛度的簡化計算.現(xiàn)代制造工程，2004（3）：72-74.