摘 要:由方程的性質(zhì)和邊界條件求解薛定諤方程，計算出粒子穿過矩形復(fù)數(shù)勢阱的相時，發(fā)現(xiàn)相時的大小與勢阱本身的性質(zhì)(勢阱寬度、勢阱的虛部和實部)有關(guān)，還與入射粒子的能量有關(guān)。然后分析系統(tǒng)中的相關(guān)因素對相時的影響。發(fā)現(xiàn)負延遲現(xiàn)象和“Hartman effect”也在矩形復(fù)數(shù)勢阱的隧穿中存在。

關(guān)鍵詞:量子隧穿 矩形復(fù)數(shù)勢 相時

中圖分類號:O431.2文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2012)03(a)-0013-02

隧穿時間作為一研究課題，從提出到現(xiàn)在已有80多年的歷史了，但至今仍沒有一個統(tǒng)一的定論，無論是從理論研究還是實際的應(yīng)用都取得了突飛猛進的發(fā)展和前所未有的收獲，并且出現(xiàn)了許多研究隧穿時間的方法，例如有隧穿駐留時間、拉莫時間、復(fù)時間、相時等等。在量子理論中時間僅僅作為參數(shù)，而非作為可觀測量出現(xiàn)。也就是說，作為量子機制的時間算符是不存在的，沒有直接的方法計算遂穿時間。因此一系列的方法被提出，用以解決這個問題。本文主要研究粒子在勢阱中的相時問題，相時或群延遲，與經(jīng)典物理中波動力學(xué)的群延遲概念相仿，在量子力學(xué)機制中粒子運動可以用幾率波或波包描述，而相時就是幾率波的相移對能量或波數(shù)求導(dǎo)得到的。近年來，隨著半導(dǎo)體制造技術(shù)的發(fā)展，又引起人們極大的研究興趣。隧穿中粒子的幾率往往是不守恒的，需引進復(fù)數(shù)勢阱來研究粒子的隧穿問題。關(guān)于復(fù)數(shù)勢阱的隧穿時間，F(xiàn)abio Raciti和Giovanni Salesi曾為研究在吸收現(xiàn)象中的隧穿時間和Hartman-Fletcher效應(yīng)，而引進矩形復(fù)數(shù)勢阱，但他們并沒有深入研究影響相時的因素對其作用。鑒于前人的工作，本論文首先計算出矩形復(fù)數(shù)勢阱的相時，然后用Matlab和Origin數(shù)學(xué)軟件進行可視化數(shù)值分析，使研究內(nèi)容更加直觀清晰。

1 相時的計算

假設(shè)具有一定能量的一束粒子沿x軸正方向射向如下的矩形勢阱，

(1)

和均是大于0的實數(shù)。不同的入射能量對應(yīng)不同的解，分兩種情況進行討論。

1.1 入射能量大于勢阱的能量()

系統(tǒng)的薛定諤方程的解的波函數(shù)可設(shè)為:

(2)

其中;，且實部和虛部分別為:

由波函數(shù)的性質(zhì)和邊界條件可解得為:

(3)

其中，，若令，為粒子穿過矩形復(fù)數(shù)勢阱的相位移。

(4)

根據(jù)相時的定義，可求得粒子穿過矩形復(fù)數(shù)勢阱的相時為:

(5)

1.2 入射能量小于勢阱的能量()

同理可求得粒子穿過矩形復(fù)數(shù)勢阱的相時與(5)式相同，但此時的待定系數(shù)D為:

(6)

從計算結(jié)果(5)、(6)可知，相時與粒子的入射能量、勢阱的寬度、勢阱的實部和虛部都有關(guān)。我們分情況討論每個因素對相時的影響。

2 數(shù)值分析

相時與入射粒子的能量和勢阱寬度的關(guān)系如圖1-3，數(shù)值分析可知當勢阱去相同寬度是，圖1和圖2的曲線銜接的非常好，所以我們得到圖3，當實部和虛部均為定值，隨著入射能量的增加相時的取值在能量較小的情況下區(qū)分比較明顯且負延遲現(xiàn)象也明顯，即所謂的超光速現(xiàn)象。隨著入射能量的增加相時會先增大后減小，最后趨于0。在a增大到一定程度時，相時不再變化，即所謂的“Hartman effect”。

相時與入射粒子的能量和勢阱實部的關(guān)系見圖4。在能量的區(qū)域內(nèi)，無論實部取何值，在入射能量較小的情況下，總會有負延遲的現(xiàn)象;而且隨著實部的增大，即粒子在勢阱中的散射越明顯，負延遲越顯著。粒子從負延遲到正常的隧穿所需要的能量也就越大。每一條曲線都有一個最大值，這個最大值隨著實部的增大而增大。因為當勢阱的實部增大時相當于粒子在勢阱中的散射越明顯，在能量較小時，投射現(xiàn)象較強，而在能量較大時，反射現(xiàn)象較強，所以它所需要粒子入射能量和相時都會隨著增大。由最大值而衰減為零，是因為當能量達到一定程度時，相應(yīng)的隧穿時間定會減小。

相時與入射粒子的能量和勢阱虛部的關(guān)系如圖5，隨著入射能量的增大，相時先增大后減小，且當粒子的入射能量較小時，總會出現(xiàn)非常明顯的負延遲現(xiàn)象。同時還可以看出當勢阱的虛部較大時，即粒子在勢阱中的吸收越強烈，這種負延遲現(xiàn)象越顯著。而且當虛部較小時，相時有一個先增大后減小的趨勢，最后總體達到一個穩(wěn)定值。也就是說隨著入射能量的增加，不論虛部取何值相時最終達到一個穩(wěn)定的值。

考慮兩種比較特殊的情況:(1)令勢阱的實部為0見圖6。當只有虛部時，即粒子在穿過復(fù)數(shù)勢阱時只發(fā)生吸收現(xiàn)象，且此時能量的取值大于0的區(qū)域，是沒有限制的。則相時隨著入射能量()的增加先增大后減小且最終趨于一個穩(wěn)定值0。同時還發(fā)現(xiàn)，當粒子的入射能量較小時，對應(yīng)的相時是負數(shù)，即負延遲現(xiàn)象。對于入射能量的情況是沒有意義的。(2)當勢阱虛部為0時，相時與入射能量的關(guān)系見圖7。相時隨著能量的增大，先出現(xiàn)負延遲現(xiàn)象，然后出現(xiàn)增大達到最值后有一個跌宕衰減的趨勢，最后相時將變成一個常數(shù)，最后趨于0。

3 結(jié)語

通過一系列的作圖分析，我們發(fā)現(xiàn)在能量所有取值范圍內(nèi)，矩形復(fù)數(shù)勢阱的相時都會隨著入射能量的增加出現(xiàn)一種先增大后減小最后趨于0的變化趨勢，且當粒子的入射能量較小時，總會出現(xiàn)負延遲的現(xiàn)象。另外，隨著勢阱寬度的增加，將出現(xiàn) \"Hartman effect\"。經(jīng)研究我們還發(fā)現(xiàn)，當勢阱的實部增大時，即粒子在勢阱中的散射越明顯，負延遲越顯著。而當勢阱的虛部較大時，即粒子在勢阱中的吸收現(xiàn)象越明顯，這種負延遲現(xiàn)象也越顯著。當虛部較小時，相時有一個先增大后減小的趨勢，最后總體達到一個穩(wěn)定值。

參考文獻

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①作者簡介:曲曉英(1980-)，女，講師，主要從事量子系統(tǒng)的介觀輸運方面的方面的研究。