【摘 要】露天礦復雜地質(zhì)體中的各種地質(zhì)信息，包括地表地形、地下水位、地層斷面、節(jié)理、風化帶分布等，都可以通過野外勘探實測或檢測儀器獲得，但一般都是散亂數(shù)據(jù)，而且數(shù)量有限。利用這些稀疏、有限、不規(guī)則的數(shù)據(jù)建立三維地質(zhì)模型難以描述礦山地質(zhì)體的實際情況，以此模型進行的空間分析難以達到理想的效果。為了利用這些原始數(shù)據(jù)建立比較理想的地質(zhì)模型，必須分析原始數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和規(guī)律性，結(jié)合地質(zhì)學原理和相關(guān)的地質(zhì)條件選擇合適的插值方法來處理原始數(shù)據(jù)。

【關(guān)鍵詞】地質(zhì)空間；三維建模；插值技術(shù)

0.引言

本文分析多種面向地質(zhì)建模的空間插值方法后，根據(jù)數(shù)學地質(zhì)理論、礦床的賦存條件及原始采樣數(shù)據(jù)的分布特點，分析研究參數(shù)優(yōu)化選擇的有效方法，研究關(guān)鍵參數(shù)選取的方法，為進一步精確構(gòu)建地質(zhì)模型提供了數(shù)據(jù)保障。

1.空間插值的概念與分類

空間數(shù)據(jù)的插值可描述為：給定一組已知空間離散點數(shù)據(jù)，從這些數(shù)據(jù)中找到一個函數(shù)關(guān)系式，使該關(guān)系式最好地逼近這些已知的空間數(shù)據(jù)，并根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式推求出區(qū)域范圍內(nèi)其他任意點的值?？臻g插值方法很多，分類標準不一。如按照擬插入點的區(qū)間范圍可以分為內(nèi)插和外推；按原始數(shù)據(jù)空間分布完整性可以分為整體插值和局部插值。整體插值利用所有樣本點進行全區(qū)特征擬合，而局部插值則僅利用相近的數(shù)據(jù)點對未知點進行估值，根據(jù)內(nèi)插點的分布范圍又可分為分塊插值和逐點插值。

2.整體插值法

整體插值的擬合模型是由研究區(qū)域所有采樣點的觀測值建立的。整體插值主要通過多項式函數(shù)來實現(xiàn)的，其特點是不能反映插值區(qū)域的局部特性，因此該方法不直接用于空間插值，而是用來檢測不同于總趨勢的最大偏離部分。從數(shù)據(jù)中去除一些不符合總體趨勢的宏觀地物特征后，可用剩余殘差來進行局部插值。

2.1趨勢面法

多元回歸插值法是一種常用的整體插值方法，一般用于確定數(shù)據(jù)的大規(guī)模的趨勢，因此也被稱為“趨勢面擬合”。其原理是用函數(shù)代表的面來擬合現(xiàn)象特征的趨勢變化。它的理論假設(shè)是地理坐標（X，Y）是獨立變量，屬性值Z也是獨立變量且是正態(tài)分布的，同樣回歸誤差也是與位置無關(guān)的獨立變量。

用一個簡單的示例來說明，地理或環(huán)境調(diào)查中特征值Z沿一個斷面在X1，X2，…，Xn處采樣，若Z值隨X值增加而線性增大，則該特征值的長期變化可以用回歸方程：Z(x)=b0+b1x+ε進行計算（其中b0，b1為回歸系數(shù)，ε為獨立于 的正態(tài)分布殘差。）。

然而許多情況下，不是以線性函數(shù)，而是以更為復雜的方式變化，則需用二次多項式Z(x)=b0+b1x+b2x2+ε或更高次的多項式進行擬合。對于二維的情況，X，Y坐標的多元回歸分析得到的曲面多項式，形式如下：

一次趨勢面的數(shù)學模型：Z=b0+b1x+b2y+ε

二次趨勢面的數(shù)學模型：Z=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2

三次趨勢面的數(shù)學模型：Z=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2+b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3

計算是一個標準的多元回歸問題，大多數(shù)情況下可采用低次多項式進行擬合，一般次數(shù)為2或3就可以。次數(shù)高的多項式可以很好地逼近觀測點，但計算復雜，而且其內(nèi)插效果使整體分離，降低整體趨勢；當多項式次數(shù)過高時，非觀測點部分的估值會產(chǎn)生大幅震蕩。

趨勢面法反映總體擬合情況，有著總體的趨勢，但是并不能很好地反映出局部特征，尤其是在邊界上的擬合情況偏差較大。因此，趨勢面法主要用于在使用某種局部插值方法之前，模擬大范圍內(nèi)的宏觀變化趨勢，而不直接用其進行空間插值。

2.2加權(quán)最小二乘擬合法

加權(quán)最小二乘擬合法是在趨勢面分析基礎(chǔ)上引入“距離權(quán)”的概念，從而使估值更為合理。具體方法如下。

已知樣本點(X1，Y1，Z1)，(X2，Y2，Z2)，…，(Xn，Yn，Zn)，估值誤差平方和為：

Q=(f(xi，yi)-Zi)

對每個樣本點考慮一個距離權(quán)系數(shù)，通常為w(di)=，其中di=，ε為一個很小的正數(shù)。使總估值偏差和Q最小，則

Qmin=(f(xi，yi)-Zi)w(di) 令

=0

=0 i=1，2，3，...，n

通過最小二乘方程建立法方程，求得方程系數(shù)矩陣，再將插入點（X，Y）帶入趨勢面數(shù)學模型，可求得待估點高程值Z。

加權(quán)最小二乘擬合法不僅可以反映總體趨勢，還可以反映局部的變化特征，但反映出的局部變化不是十分明顯。通常這種方法在礦體連續(xù)的情況下（即沒有斷層的情況），也可以用來加密邊界點。如果出現(xiàn)斷層情況，在邊界處擬合會出現(xiàn)下凹問題。

3.分塊插值法

由于實際的估值區(qū)域復雜多變，不可能用一個多項式進行擬合，因此一般不用整體函數(shù)法進行內(nèi)插，而是采用局部分塊內(nèi)插拼接的方法。所謂分塊內(nèi)插是把參考空間分成若干分塊，對各分塊使用不同的函數(shù)。分塊的大小根據(jù)地貌復雜程度和參考點的分布密度決定。一般相鄰分塊間要求有適當寬度的重疊，以保證相鄰分塊間能平滑、連續(xù)的拼接。分塊內(nèi)插的特點是可以提供內(nèi)插區(qū)域的局部特性，且不受其他區(qū)域的內(nèi)插影響。典型的局部內(nèi)插又分為線性內(nèi)插、多項式內(nèi)插、雙線性內(nèi)插、樣條函數(shù)內(nèi)插和多面函數(shù)內(nèi)插等。

4.逐點插值法

逐點插值法是以待插點為中心，定義一個局部函數(shù)去擬合周圍的數(shù)據(jù)點，數(shù)據(jù)點的范圍隨待插點位置的變化而移動，因此又稱移動曲面法。

逐點內(nèi)插方法只使用鄰近的數(shù)據(jù)點來估計未知點的值，包括幾個步驟：

（1）定義一個鄰域或搜索范圍。

（2）搜索落在此鄰域范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點。

（3）選擇能夠表達有限點的空間變化的數(shù)學函數(shù)。

（4）為落在規(guī)則格網(wǎng)單元上的數(shù)據(jù)點賦值。

（5）重復這個步驟直到格網(wǎng)上的所有點賦值完畢。

逐點插值法的關(guān)鍵參數(shù)選取包括：所選擇的插值函數(shù)，鄰域的大小、形狀和方向，數(shù)據(jù)點的個數(shù)，數(shù)據(jù)點的分布方式（規(guī)則或不規(guī)則）。

5.結(jié)論

本文重點探討了適合于地質(zhì)空間建模的三大類插值算法：整體內(nèi)插法、分塊內(nèi)插法、逐點插入法，分析其主要插值方法的優(yōu)點、缺點、適用條件。只有在熟悉插值方法的適用條件、所要模擬地質(zhì)體的特征及掌握地質(zhì)規(guī)律的基礎(chǔ)上，對實測數(shù)據(jù)樣本點進行充分分析，才能得到建模區(qū)特定條件下特定對象的理想插值效果。分析內(nèi)插模型誤差精度來源，對插值后的模型進行精度評定。反復試驗比較，選取插值后誤差最小的內(nèi)插方法，才能得到較為理想的內(nèi)插效果。 [科]