編者按：本文根據(jù)每種糖果需要的果仁原料的質(zhì)量作為約束條件，通過應(yīng)用運籌學(xué)中線性規(guī)劃，求最優(yōu)化的理論，進(jìn)而用銷售額減去成本得到利潤，表達(dá)有條不紊，簡潔而清晰。文章不足之處是沒有將除了果仁的原料價之外其他的成本價考慮進(jìn)去，忽略了運輸，糖果制作及包裝等等，可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)。

[摘 要]由目標(biāo)函數(shù)：周利潤=糖果銷售額—果仁的成本，進(jìn)而有了線性方程。

問題1： 我們在研究糖果周利潤最大的時候，通過各個果仁最大供應(yīng)量的限制（杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁分別不超過2000，4000，5000，3000kg），和每種果仁在各類糖果中含量的比例，從而得到了約束條件。然后通過lingo軟件求得線性規(guī)劃的最優(yōu)化值。求得在約束條件下周利潤最大值為Smax=10069.70元（見表格1）

問題2：通過題意分析就其可操作性，分為9種情況，分別在9種情況下求出其最優(yōu)值， 得出最佳配比方案（見以下9種表格）。

[關(guān)鍵詞]約束條件 線性規(guī)劃 最優(yōu)化 利潤 銷售額

一、問題重述

某糖果店出售三種不同品牌的果仁糖，每個品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。為了維護(hù)商店的質(zhì)量信譽，每個品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必須滿足的，如下表所示：

每周商店從供應(yīng)商處能夠得到的每類果仁的最大數(shù)量和售價如下表：

1.商店希望確定每周購進(jìn)杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的數(shù)量，使周利潤最大，建立數(shù)學(xué)模型，幫助該商店管理人員解決果仁混合的問題。

2.若在圣誕周，豪華和藍(lán)帶品牌的銷售量會增加，這時商店會讓果仁供應(yīng)量增加10%，試問在這種情況下混合配比是否改變，圣誕周利潤會改變多少？請分情況說明。

二、模型假設(shè)

·假設(shè)糖果和果仁的售價是與其各自購買的數(shù)量、時間和和獲利無關(guān)的常數(shù)。

·假設(shè)四類果仁之間的購買量相互之間沒有影響，三種品牌的銷售量相互無影響。

·假設(shè)各種品牌的糖果所需要的各種果仁的質(zhì)量是任意實數(shù)。

·假設(shè)糖果的銷售量等于果仁的購買量，即購買的果仁制成糖果全部售出。

三、問題分析

為了維護(hù)商店的質(zhì)量信譽，每個品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必須滿足的。在此條件下，優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是使每周的獲利最大，要做的決策是四種果仁以多少的配比制成普通、豪華、藍(lán)帶。決策受到2個條件的限制：各種果仁每周最大的供應(yīng)量，每種品牌的糖果對四種果仁的含量的需求。根據(jù)題目所給，將決策變量、目標(biāo)函數(shù)、和約束條件用數(shù)學(xué)符號及式子表示出來，就得到下面的模型。

四、符號說明

I：i=1，2，3，4分別代表原材料杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁

J：j=1，2，3分別代表三種糖果品牌普通，豪華，藍(lán)帶

Xij：表示為第j種糖果需要第i種果仁原材料的質(zhì)量

Smax：表示為最大周利潤

五、模型建立及求解

問題1

1.建立下列模型(LP規(guī)劃模型理論見附錄1)

決策變量：設(shè)每周第j種糖果需要第i種果仁原材料的質(zhì)量為Xij。（單位為kg）

目標(biāo)函數(shù)：Smax為最大周利潤，由周利潤=售價-成本得， Smax=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x2

2+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

約束條件：

原料供應(yīng)：

每種果仁購買量都有各自的限制：

杏仁不超過2000kg， x11+x12+x13<=2000;

核桃仁不超過4000kg，x21+x22+x23<=4000;

腰果仁不超過5000kg，x31+x32+x33<=5000;

胡桃仁不超過3000kg，x41+x42+x43<=3000;

每種品牌的糖果對四種果仁的含量的需求：

普通品牌：

腰果仁不超過20%： x31<=0.20*(x11+x21+x31+x41);

胡桃仁不低于40%： x41>=0.40*(x11+x21+x31+x41);

核桃仁不超過25%： x21<=0.25*(x11+x21+x31+x41);

豪華品牌：

腰果仁不超過35%：x32<=0.35*(x12+x22+x32+x42);

杏仁不低于40%：x12>=0.40*(x12+x22+x32+x42);

藍(lán)帶品牌：

腰果仁含量位于30%～50%之間：

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);x23<=0.50*(x13+x23+x33+x43);

杏仁不低于30%：x13>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

非負(fù)約束：Xij不能為負(fù)值，即xij>=0;

綜上所得：

Smax=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x22+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

Xij>=0;

x11+x12+x13<=2000;

x21+x22+x23<=4000;

x31+x32+x33<=5000;

x41+x42+x43<=3000;

x31<=0.20*(x11+x21+x31+x41);

x41>=0.40*(x11+x21+x31+x41);

x21<=0.25*(x11+x21+x31+x41);

x32<=0.35*(x12+x22+x32+x42);

x12>=0.40*(x12+x22+x32+x42);

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

x23<=0.50*(x13+x23+x33+x43);

x13>=0.30*(x13+x23+x33+x43);)

2.求解 用lingo將以上各個約束條件及變量都帶入計算得（相關(guān)程序見附錄2），

結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格1

結(jié)論：

因而當(dāng)配比取圖上表格時有周利潤最大的最佳配比，周利潤Smax=10069.70

問題2：在第一問的分析及結(jié)果的基礎(chǔ)上，盡管豪華和藍(lán)帶類糖果的數(shù)量在圣誕周增若在圣誕周，豪華和藍(lán)帶品牌的銷售量會增加，這時商店會讓果仁供應(yīng)量增加10%?；旌吓浔仁欠窀淖?，圣誕周利潤會改變多少就其可操作性可分為兩大類：一，假設(shè)果仁增加的10%僅指單個種類果仁的增加量分五種情況。二；假設(shè)果仁增加的10%指所有果仁的總量增加的10%，則也分四種情況討論。

考慮到最大利潤，那么分上述所說的九種情況如下：

（1）如果只有杏仁的最大供應(yīng)量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進(jìn)價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比變?yōu)槿缦?，僅把約束條件x11+x12+x13<=2000變?yōu)閤11+x12+x13<=2200；

那么用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格2

Smax=10853.03

（2）如果只有核桃仁的最大供應(yīng)量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進(jìn)價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比變?yōu)槿缦?，僅把約束條件x21+x22+x23<=4000改變?yōu)閤21+x22+x23<=4400;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格3

Smax= 10129.70

（3）如果只有腰果仁的最大供應(yīng)量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進(jìn)價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比改變?nèi)缦?，僅把約束條件x31+x32+x33<=5000改變?yōu)閤31+x32+x33<=5500，

用lingo解得，由此發(fā)現(xiàn)當(dāng)腰果仁最大供應(yīng)量增加10%的時候，配比沒有發(fā)生改變，周利潤Smax=10069.70；因為腰果仁的需要量沒有達(dá)到最大值，因此配比沒有改變。

配比的表格同第一題結(jié)果一致

表格4

（4）如果只有胡桃仁的最大供應(yīng)量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進(jìn)價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比改變?nèi)缦?，僅把約束條件x41+x42+x43<=3000改變?yōu)閤41+x42+x43<=3300;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格5

Smax= 10233.33

（5）如果是每種果仁即杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁的供應(yīng)量均增加10%，果仁進(jìn)價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比改變?nèi)缦拢?/p>

僅把約束條件x11+x12+x13<=2000;

x21+x22+x23<=4000;

x31+x32+x33<=5000;

x41+x42+x43<=3000;

改變?yōu)閤11+x12+x13<=2200;

x21+x22+x23<=4400;

x31+x32+x33<=5500;

x41+x42+x43<=3300;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格6

Smax=11076.67

（6）如果糖果店的果仁增加的10%即（2000+4000+5000+3000）*0.1=1400kg全用作杏仁上，

即僅把約束條件x11+x12+x13<=2000改變?yōu)閤11+x12+x13<=3400;

用lingo解得，則Smax= 15289.33

結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格7

（7）如果糖果店的果仁增加的10%即（2000+4000+5000+3000）*0.1=1400kg全用作核桃仁上，則僅把約束條件x21+x22+x23<=4000可變?yōu)椋簒21+x22+x23<=5400;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格8

Smax=10174.24

（8）如果糖果店的果仁增加的10%即1400kg全用作腰果仁上，則僅把約束條件x31+x32+x33<=5000改變?yōu)閤31+x32+x33<=6400;

那么用lingo解得，得出配比沒有變化，周利潤Smax=10069.70；因為腰果仁的需要量沒有達(dá)到最大值，因此配比沒有變。

結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格9

Smax=10069.70

（9）如果糖果店的果仁增加的10%即1400kg全用作胡桃仁上，則僅把約束條件x41+x42+x43<=3000改變?yōu)閤41+x42+x43<=4400，

那么用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格10

Smax= 10833.33

由以上10個表格匯總得表格11如下：

表格11

結(jié)論：表格11中表格1指在表格一的最佳配比下的最大周利潤，往下的2～10分別指的是上面10種從二到十的九個表格的最佳配比及最大周利潤。在商店果仁供應(yīng)量增加10%的前提下，第三種分類和第八種分類即在腰果仁增加的情況下，最佳配比不變。其余情況均變化了。

六、模型的優(yōu)缺點分析及改進(jìn)

優(yōu)點：1條理清晰，步驟有條不紊。用線性規(guī)劃的模型有效的解決了糖果分配的問題，將問題轉(zhuǎn)化為求最值，然后lingo求解過程。

2配比的圖標(biāo)清晰的展示在上面，最大盈利和各種果仁在最優(yōu)化中的決策的配量都在表格中。

缺點：1忽略了其他非原料的成本（如運輸，制作，包裝等），只是理想化的考慮。

2在分類討論里也沒有考慮更復(fù)雜的情況，只是單從每類果仁增加的角度考慮，其中的兩兩組合的忽略了。

改進(jìn)方案：可以查閱相關(guān)的權(quán)威的成本制作費用，將這些成本用常數(shù)k來代替，這樣可以更準(zhǔn)確地計算出其周利潤，從而更接近準(zhǔn)確值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 胡運權(quán)等編著，運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用（第五版），北京：高等教育出版社，2008年

[2] 謝金星 薛毅編，優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005年

[3] 姜啟源 謝金星 葉俊 編著，數(shù)學(xué)模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011年

附錄1

線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般表示方式：

附錄2

max=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x22+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

Xij>=0;

x11+x12+x13<=2000;

x21+x22+x23<=4000;

x31+x32+x33<=5000;

x41+x42+x43<=3000;

x31<=0.20*(x11+x21+x31+x41);

x41>=0.40*(x11+x21+x31+x41);

x21<=0.25*(x11+x21+x31+x41);

x32<=0.35*(x12+x22+x32+x42);

x12>=0.40*(x12+x22+x32+x42);

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

x23<=0.50*(x13+x23+x33+x43);

x13>=0.30*(x13+x23+x33+x43);)