摘要：在進(jìn)行固井工程設(shè)計(jì)時(shí)，水泥漿紊流臨界排量及摩阻壓降的計(jì)算都需要水泥漿流變參數(shù)。（H-B）模式是描述水泥漿比較好的流變模式。針對(duì)這種非線性流變方程，提出了非線性最小二乘估計(jì)新算法，并用VB程序設(shè)計(jì)語言進(jìn)行了編程驗(yàn)證。該方法可用于水泥漿流變模式優(yōu)選、流變參數(shù)的確定，水泥漿流變性能的評(píng)價(jià)以及固井設(shè)計(jì)之中。

關(guān)鍵詞：水泥漿；非線性最小二乘估計(jì)算法；流變參數(shù)

中圖分類號(hào)：TE254 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9599（2012）24-0126-02

水泥漿的流變性設(shè)計(jì)是固井設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。目前，描述水泥漿常用的流變模式有賓漢模式、冪律模式、H-B模式和卡森模式[6]，其中H-B模式是描述水泥漿流變性的比較好的流變模式[1-4]。目前常用的求解H-B流體流變參數(shù)的計(jì)算方法是經(jīng)驗(yàn)公式法[5]。然而該方法具有很大的局限性，針對(duì)這種問題提出了非線性最小二乘估計(jì)算法。經(jīng)過編程進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)算，收斂效果較好。

1 H-B流變模式非線性模型的建立

H-B流變模式的本構(gòu)方程為[3]：

（1）

式中，τ為剪切應(yīng)力，Pa；τ0為靜切力，Pa；k為稠度系數(shù)，Pa·sn；γ為剪切速率，s-1；n為流性指數(shù)。

假設(shè)N個(gè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為（γ1，τ1），（γ2，τ2），……，（γN，τN），由于實(shí)驗(yàn)誤差，我們將（1）式寫為：

τi=f（g，γi）+εi，1≤i≤N。 （2）

式中g(shù)=（g1，g2，g3）=（τ0，k，n），εi為實(shí)驗(yàn)誤差。

根據(jù)最小二乘法的理論，定義最小二乘目標(biāo)函數(shù)如下：

（3）

則求解該目標(biāo)函數(shù)的最小值min（F（g）），得到流變參數(shù)的最小二乘估計(jì)值。

2 非線性最小二乘估計(jì)新算法

非線性最小二乘問題（3）有極小值的必要條件是：

（4）

對(duì)于H-B流變方程，將（1）、（3）代入（4）可以得到：

（5）

（6）

（7）

要想根據(jù)（5）—（7）得到g=（τ0，k，n）的數(shù)值算法，我們定義以下幾個(gè)函數(shù)：

；

；

則根據(jù)（5）—（7）方程式，得到如下關(guān)系式：

（8）

（9）

（10）

求出n后分別代入（9）、（10）即可求出另外兩個(gè)流變參數(shù)。

給出求方程（8）的正實(shí)數(shù)根的一個(gè)算法：

2.1 確定解的存在區(qū)間[n1，n2]

首先給定一個(gè)很小的正數(shù)n1，計(jì)算h（n1）的值，如果h（n1）>0，則逐漸減小n1，直至h（n1）<0，由h（n）隨n的變化規(guī)律可知，這樣的n1是存在的；

給定一個(gè)步長△n，可取△n =0.01n1，令n2= n1+△n，計(jì)算h（n2）的值，如果h（n2）<0，則令n2= n2+△n，繼續(xù)計(jì)算h（n2）的值，直至h（n2）>0，這樣的n2也是存在的。這樣就確定了n的存在區(qū)間[n1，n2]。

2.2. 用二分法求n

由于函數(shù)h（n）在步驟①所構(gòu)造的區(qū)間[n1，n2]上連續(xù)，單調(diào)遞增，并且h（n1）<0，h（n2）>0，所以在區(qū)間[n1，n2]上存在唯一的n，可以使用二分法進(jìn)行求解。

這樣就得到了求解H-B模式非線性最小二乘問題的一個(gè)新算法，由于所構(gòu)造的函數(shù)h（n）具有非常好的性質(zhì)，因此該算法具有快速，穩(wěn)定，收斂。

根據(jù)非線性回歸模型相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可以求得該算法擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)[7]，相關(guān)系數(shù)越接近于1，擬合效果越好。相關(guān)系數(shù)計(jì)算如下：

（11）

3 算例分析

根據(jù)非線性最小二乘新算法，基于VB6.0語言，對(duì)H-B模式的流變參數(shù)進(jìn)行了非線性擬合。所使用的水泥漿六速旋轉(zhuǎn)粘度計(jì)的讀數(shù)如表1。

表1 六速旋轉(zhuǎn)粘度計(jì)讀數(shù)

樣本編號(hào)水泥漿六速旋轉(zhuǎn)粘度計(jì)讀數(shù)

Φ3Φ6Φ100Φ200Φ300Φ600

181323435876

2511244566127

3111320344865

43.5816284055

非線性擬合新算法計(jì)算結(jié)果與常規(guī)方法計(jì)算結(jié)果如表2，擬合曲線如圖1。

表2 新算法與常規(guī)方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

樣本

編號(hào)τ0（Pa）k（ Pa·sn）n相關(guān)系數(shù)

常規(guī)方法新算法常規(guī)方法新算法常規(guī)方法新算法常規(guī)方法新算法

13.253.3240.2460.4310.750.6410.9860.988

21.5073.0120.3110.060.7440.9990.9870.999

35.3685.0650.0530.1450.9430.7640.9850.99

40.8541.6810.3180.2490.6610.6760.980.99

圖1 H-B流體擬合曲線圖

可以看出，常規(guī)方法計(jì)算結(jié)果與非線性擬合新算法計(jì)算結(jié)果都有較好的相關(guān)系數(shù)，這說明H-B模式是描述水泥漿流變性較理想的模式；同時(shí)，新算法較常規(guī)算法相關(guān)系數(shù)更好一些，說明新算法較常規(guī)算法更有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

（1）根據(jù)非線性最小二乘理論，建立了水泥漿H-B流變模式的非線性模型，并根據(jù)模型的數(shù)學(xué)特征，給出了求解該模型的新算法，新算法具有不需要人為設(shè)定初始值，無極小值點(diǎn)陷阱，且收斂速度快。（2）經(jīng)過大量實(shí)際水泥漿數(shù)據(jù)對(duì)新算法進(jìn)行了調(diào)試，結(jié)果表明，新算法非常穩(wěn)定可靠，相關(guān)系數(shù)高，適合實(shí)驗(yàn)室及固井現(xiàn)場(chǎng)的使用。

參考文獻(xiàn)：

[1]王偉，黃柏宗.高溫高壓下水泥漿的流變性及其模式[J].油田化學(xué)，1994，11（1）：18-21.

[2]劉崇建，黃柏宗，徐同臺(tái)等.油氣井注水泥理論與應(yīng)用[M].石油工業(yè)出版社，2001：256-260.