摘要：認(rèn)知診斷中要實(shí)現(xiàn)項目屬性標(biāo)定的完全自動化還有很大的距離，目前大多采用有監(jiān)督的學(xué)習(xí)，專家先標(biāo)定部分項目的屬性（即Q陣），再實(shí)現(xiàn)對其它項目的屬性標(biāo)定，然后擴(kuò)充至Q矩陣，如果Q矩陣不是最大化，那么從Q矩陣中得到的信息可能不完整，如果已經(jīng)最大化，那就沒必要再進(jìn)行屬性的標(biāo)定了。所以，Q矩陣是否是最大化也即是否充分顯得尤為重要。本文擬采用迭代法實(shí)現(xiàn)對原始項目屬性自動標(biāo)定的最大化。

關(guān)鍵詞：Q矩陣；概念格；充分Q矩陣

中圖分類號：B841 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9599 （2012） 24-0070-02

1 Q矩陣

認(rèn)知診斷一定意義上就是找出診斷對象的優(yōu)點(diǎn)以及某些方面的欠缺和不足，并進(jìn)行補(bǔ)救。就教育領(lǐng)域而言，目前的考試結(jié)果只有一個分?jǐn)?shù)，只能反應(yīng)考生對知識總體的掌握排名，而且如果考卷的出題水平不高的話，還不能反應(yīng)考生的真實(shí)水平，所以要診斷出考生的知識結(jié)構(gòu)，首先需要知道考題到底包含哪些知識點(diǎn)。

在認(rèn)知診斷中，屬性（attribute）是一個重要的概念，J.P.Leighto[1]等人指出，屬性表示測驗項目的特征，它是正確解決特定項目時所需要的認(rèn)知加工和技能。

假設(shè)認(rèn)知診斷中所有的屬性的集合為S，所有項目的集合為I，對 ， ，若有項目j中包含屬性i，則稱j和i有關(guān)系R，有iRj。R對應(yīng)的關(guān)系矩陣我們記為Q，Q=（ ），若有iRj，則 =1，否則 =0?？梢钥吹絈矩陣為0-1矩陣。

另外，屬性集和被試的知識狀態(tài)之間的關(guān)系矩陣也是一種Q矩陣。記屬性集合為S，被試集合為K，對 ， ，若被試知識狀態(tài)j包含屬性i，則認(rèn)為j和i有關(guān)系R，即jRi。R對應(yīng)的矩陣就是此Q矩陣，也是0-1矩陣。

2 屬性的自動標(biāo)定

認(rèn)知診斷模型[2]：DINA模型項目反應(yīng)函數(shù)（de la Torre， 2008； Junker et al.，2001）：

表示知識狀態(tài) 的被試i在項目j上的理想的作答模式， 為失誤參數(shù)， 為猜測參數(shù)，而 為項目j的屬性向量。

本文的屬性的自動標(biāo)定方法采用極大似然估計方法（MLE）[2]。根據(jù)被試在專家已經(jīng)標(biāo)定的原始題上的作答得到得分陣 ，然后估計被試的知識狀態(tài) ，然后讓被試在未標(biāo)定的原始題上作答，得到原始題的屬性向量， 為約簡Q矩陣， 為 中的列，項目j的屬性向量 的項目反應(yīng)概率為 ，

，（汪文義，丁書良等2011）。

可以簡化為對數(shù)函數(shù)：

，

其中 和 為正確和錯誤作答頻數(shù)。（汪文義，丁書良等2011）。

3 Q矩陣的最大化

為驗證Q矩陣是否充分，這里將其和概念格結(jié)合起來，采用迭代法的思想，將Q矩陣看做形式概念分析的形式背景，采用漸進(jìn)式的思想建造概念格，若兩次建造的概念格的距離足夠小的時候，我們認(rèn)為此Q矩陣式充分的。

首先談一下概念格理論，形式概念分析又稱為概念格理論，是由德國的數(shù)學(xué)家Wille教授1982年作為一種數(shù)學(xué)理論首先提出的[6]，它是一種基于概念和概念層次的數(shù)學(xué)化表達(dá)的應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，在應(yīng)用形式概念分析理論時，需要用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行概念數(shù)據(jù)分析和知識的處理[7]。近年來，形式概念分析的應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、軟件配置、信息獲取、知識管理和軟件工程等領(lǐng)域[8]。

由于是要多次建格，所以選擇漸進(jìn)式建格算法。漸進(jìn)式算法的主要思想就是：將要插入的對象和原油概念格進(jìn)行對比（交運(yùn)算），根據(jù)結(jié)果的不同，分為不變節(jié)點(diǎn)，更新節(jié)點(diǎn)和新增節(jié)點(diǎn)，然后再進(jìn)行相應(yīng)的操作。漸進(jìn)式算法有很多，例如經(jīng)典的Godin算法，以及很多對Godin算法的改進(jìn)。這里給出Godin算法的簡要步驟。

Godin算法[3]（汪文義，丁書良等2011）：

Begin

If inf（L）= Then

將 inf（L）用（{ }，f（{ }））來替代；

exit algorithm；

EndIf

IF （{ }） Inte

IF Extent（inf（L）） = Then

Intent（inf（L）） ← Intent（inf（L）） ∪ （{ }）

ELSE

增加新的格節(jié)點(diǎn) H ：（ ，Intent（inf（L）） ∪ （{ }）），使H成為inf（L）；

增加從原 inf（L）到H的連接；

EndIf

EndIf

將格L中所有內(nèi)涵數(shù)相同的格節(jié)點(diǎn)C歸為同一組，

記為B[i]←{C：|Intent（C）|= i}；

size←max（i） ；

初始化所有更新格節(jié)點(diǎn)和所有新生成的格節(jié)點(diǎn)的集合 B′[i] ← ；

For i←0 To size DO

For each pair C in B[i]

IF Intent（C） ? f（{ }）） THEN

{說明格節(jié)點(diǎn) C 是一個更新格節(jié)點(diǎn)}

Extent（C）←Extent（C） ∪ { } ；

把 C 加到 B′[|C|]中去；

IF Intent（C） = f（{ }）） Then exit algorithm；

Else

Int ← Intent（C） ∩ f（{ }））；

IF 不存在 C1 ∈ B′[|Int|] 使得 Intent（C1） = Int Then

{說明格節(jié)點(diǎn) C 是產(chǎn)生子格節(jié)點(diǎn)}

Begin

新增格節(jié)點(diǎn) Cn ← （Extent（C） ∪ { }， int）；

同時把 Cn 加到 B′[|int|]中去；

更新邊；

End

EndIF

EndFor

EndFor

End

最大化算法中迭代思想主要分為三個步驟，迭代的初始值，迭代的方法，迭代的終止條件。接下來，逐個討論這三個步驟。

首先迭代的初始值，選取由專家標(biāo)定的屬性構(gòu)成的Q矩陣，將其作為概念格構(gòu)造的形式背景。

然后，有被試在未標(biāo)定的原始題上作答，得出項目的屬性向量，驗證合理后添加到Q矩陣中，建造新的概念格，如此迭代構(gòu)造概念格。

最后，迭代的終止條件，可以選擇迭代的次數(shù)限制，或者格之間的距離，當(dāng)兩次構(gòu)建的概念格之間的距離足夠小的時候，就認(rèn)為這此時的Q矩陣是充分的。

當(dāng)然我們還要考慮到迭代的收斂程度以及收斂的速度。

4 總結(jié)

本文討論了對原始題屬性標(biāo)定是如何判定Q矩陣是否充分，將其和概念格集合起來，將Q矩陣作為概念格構(gòu)建的形式背景，然后進(jìn)行構(gòu)建概念格，當(dāng)兩次的概念格的距離足夠小的時候，就認(rèn)為Q矩陣式充分的。采用的是迭代法實(shí)現(xiàn)對原始項目屬性自動標(biāo)定的最大化。迭代法需要考慮初值、迭代的方法與終止條件，專家給出了Q矩陣的初值，汪文義和丁樹良（2011）給出一種在線屬性標(biāo)定的方法，以此作為迭代的方法，終止條件按照步驟的次數(shù)，或者定義Q矩陣的距離，當(dāng)兩步結(jié)果的距離足夠小的時候終止。當(dāng)然，還要考慮迭代的收斂性與收斂速度。

丁樹良和羅芬（2005）給出求哈斯圖對應(yīng)關(guān)系陣的方法，充分Q矩陣的形式背景構(gòu)造的概念格是哈斯圖，由哈斯圖可挖掘出其序關(guān)系，便可挖掘出屬性關(guān)聯(lián)，下一步的工作就是考慮從充分Q矩陣中找出屬性的層級關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

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