摘 要： 本文基于有限元理論建立了車輛和橋梁耦合振動的數(shù)學模型，推導車輛的動力平衡方程和車橋相互作用力的表達式及考慮車橋相互作用的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，并對斜拉橋的車橋耦合振動問題進行了分析。
　　關鍵詞： 車橋耦合振動 有限元 斜拉橋 動力平衡方程
　　
　　1.引言
　　橋梁結構在車輛荷載和人群荷載、風力、地震運動等作用下會產生振動，從而影響車輛的正常行駛，甚至使橋梁完全破壞。從19世紀至今，很多學者對車輛和橋梁結構動力相互作用進行了大量的研究［１］－［１０］，以便對結構的動力性能和結構上車輛的安全性進行評估，確定它們在各種狀態(tài)下的使用可靠性。
　　目前已經(jīng)有對車橋耦合振動問題進行的研究，提出了各種各樣的方法。本文基于有限元理論建立了車輛和橋梁耦合振動的數(shù)學模型，推導車輛的動力平衡方程和車橋相互作用力的表達式及考慮車橋相互作用的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，并對某斜拉橋的車橋耦合振動問題進行了分析。
　　2.車輛模型的運動方程
　　圖1所示為移動振動車輛模型作用下的簡支梁。在模擬車輛系統(tǒng)時，將其處理成單自由度體系，其中車輛的質量分為兩部分，一個是由彈簧k和阻尼器c支承的汽車車體質量M，另一個是汽車車輪的質量M。設梁的動撓度為y（x，t），簧上質量M的動位移為y（t），簧下質量M的動位移為y（t）。假定沿梁長移動而不脫離梁體，則M的位移與它所在位置的梁的撓度是一致的，可以表示成y（vt，t）。
　　對于車體質量M、車輪質量M，其受力圖如圖（b）、（c）所示，從圖中所示質量M、M上力的平衡，可以直接導出M、M的動力平衡方程：
　　M（t）=（M+M）g-k［y（t）-y（t）］-c［（t）-（t）］（1）
　　M（t）=k［y（t）-y（t）］+c［（t）-（t）］（2）
　　寫成矩陣形式：
　　M 00 M（t）（t）+ c c-c c（t）（t）+ k k-k ky（t）y（t）=（M+M）g 0（3）
　　對于梁，其振動方程為：
　　EI+m+c=δ（x-vt）F（t）（4）
　　其中，作用于梁的外荷載為F（t）=（M+M）g-M（t）-M（t）
　　3.車-橋耦合動力分析
　　對于二維梁單元，通常采用Hermite多項式作為插值函數(shù)，其具體形式為：
　　N=N 0 0 N 0 00 N N 0 N N（5）
　　N=1-;N=1-3+2;N=x1-2+?搖
　　其中：
　　N=;N=3-2;N=x-+?搖
　　假定二維梁單元的節(jié)點位移向量為w={w w w w w w}，則簧下質量M的位移可表示如下：
　　y=Nw（6）
　　注意到y(tǒng)既是位置x的函數(shù)，又是時間t的函數(shù)，其對時間t的一階導數(shù)和二階導數(shù)表示如下：
　　= +=N′w+N（7）
　　=+2 + +=N″w+2N′+N′w+N（8）
　　將式（7）和式（8）帶入（3）式，并與梁單元的質量矩陣M、阻尼矩陣C及剛度矩陣K進行疊加，可得：
　　M+m 0 0 M+C+c -cN-cN c+K+k -kN k kwy=N［F（t）-（M+M）g］ 0（9）
　　其中m、c、k及k如下所示：
　　m=MNN
　　c=2MNN′+cNN
　　k=MNN″+MNN′+cNN′+kNN
　　k=-cN′-kN
　　式（9）即是有車輛作用的梁單元的車橋耦合運動方程，對于其他沒有車輛作用的梁單元，則采用普通的梁單元的運動方程。
　　4.計算算例及精度比較
　　本例以某斜拉橋為研究對象，該橋為三塔四跨雙索面斜拉橋，橋長760m，橋面寬35.5m，主梁為混凝土π形梁，主梁高為3.2m。翼緣和腹板尺寸見圖3。該橋中塔和邊塔為拱形預應力混凝土塔，塔高分別為106m、88m。索塔只設置一道橫梁，設置在中、下塔柱的交匯處。橫梁采用箱形斷面。斜拉索采用平行鋼絞線拉索，標準索距為7m，中塔和邊塔上間距2m。鋼絞線強度為1860MPa，全橋共設50對斜拉索。斜拉橋立面圖見圖2，標準斷面圖見圖3。
　　橋梁結構動力模型如圖4，主梁、主塔采用空間梁單元（beam188）模擬，斜拉索用索單元（1ink10）模擬以考慮索的非線性影響。模型中主梁考慮縱坡，斜拉索與主梁、主塔在相應點處剛性連接。主梁與斜拉索相連形成“魚骨式”模型，主梁上建立一排剛臂單元。模型的總體坐標系以順橋向為X軸，以橫橋向為Z軸，以豎向為Y軸。主梁梁端支撐條件為沿X軸向平動和繞Y軸向轉動均自由，其他自由度完全固結；三個橋塔下完全固結；中塔與橋面主梁之間耦合了Ux，Uy，Uz，Rotx，邊塔與橋面主梁之間耦合了Uy，Uz，Rotx。全橋共有700個單元，其中主梁單元110個，塔單元390個，索單元200個。有限元模型如圖4所示。
　　本文基于ANSYS對某斜拉橋進行車橋耦合動力分析，其中車輛模型使用雙軸車輛模型。在分析中分別取a、b兩點的豎向位移、加速度等進行分析對比（a為斜拉橋左中跨的跨中節(jié)點，b為斜拉橋右中跨的跨中節(jié)點）。
　　圖5-8分別為車輛速度v=40m/s、v=80m/s時，斜拉橋上a、b兩節(jié)點的豎向位移圖、豎向加速度，從圖中可以看出隨著速度的增加，跨中a、b節(jié)點的豎向位移均隨之增大，且位移圖越來越平滑。a、b點的豎向位移圖形近似的關于橫軸對稱，只是變形的幅度和數(shù)值不同。
　　
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