摘要： 為了了解初中學(xué)生數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算技能，作者選取了南寧市示范性中學(xué)初三學(xué)生進(jìn)行測試調(diào)研，結(jié)果表明：在初中生數(shù)學(xué)解題過程中，初中學(xué)生的代數(shù)數(shù)學(xué)基本運(yùn)算中出現(xiàn)看題不清、忘記符號等問題，作者針對數(shù)學(xué)基本運(yùn)算技能的熟悉程度及學(xué)生解題正確率兩方面的問題，提出相應(yīng)的建議。
　　關(guān)鍵詞： 運(yùn)算技能 數(shù)學(xué)解題 量化分析
　　數(shù)學(xué)的運(yùn)算技能是指正確地運(yùn)用各種基本運(yùn)算律進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和正確運(yùn)用各種數(shù)學(xué)基本概念、性質(zhì)、公式、法則、定理進(jìn)行數(shù)與式的變形。對于運(yùn)算技能的研究，國家早在20世紀(jì)50年代，教育部頒行的《中學(xué)暫行規(guī)程（草案）》明確要求：中學(xué)的主要教育目標(biāo)是：“一、使學(xué)生……得到現(xiàn)代科學(xué)的基本知識和技能，養(yǎng)成科學(xué)的世界觀。”又在20世紀(jì)50年代末、60年代初制定著名的“63大綱”的系列討論中明確“傳授數(shù)學(xué)基本知識，培養(yǎng)基本技能是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的首要目的”，在其后幾十年基本運(yùn)算技能在各個版本的教育學(xué)書籍及教學(xué)大綱都有涉及，且在數(shù)學(xué)教育的發(fā)展中一直受到重視。
　　對于運(yùn)算技能的研究從理論和實踐兩個層面上展開，比如近年來，從教育理論和教育實踐的結(jié)合上研究“雙基”教學(xué)，探索數(shù)學(xué)教學(xué)的客觀規(guī)律，其中在對中學(xué)數(shù)學(xué)基本技能上的研究理論，是受了布魯姆教育目標(biāo)理論“合理內(nèi)核”的影響，按內(nèi)容分為了運(yùn)算、推理、圖形技能三個大項，其中運(yùn)算分成了整式運(yùn)算、因式分解和配方三大項論文進(jìn)行了基本技能對數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)影響的研究，并沒有更加深入探究運(yùn)算技能對中學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的影響。本文通過編制一套代數(shù)基本運(yùn)算技能量化的測試卷，其中測試卷代數(shù)運(yùn)算分成了實數(shù)、整式、分式、方程、不等式的運(yùn)算、因式分解和配方，基本包含了初中所有代數(shù)運(yùn)算，更加深入分析代數(shù)運(yùn)算技能量化的初中學(xué)生在解題中出現(xiàn)的問題，并比較學(xué)生在掌握一步運(yùn)算和多步運(yùn)算上的正確率差異，提出解決建議。
　　1.研究方法
　　1.1被試。
　　被試為南寧市示范性中學(xué)初三年級一個班的學(xué)生，發(fā)放難度不同的兩套調(diào)查問卷，其中先發(fā)較為容易的卷（一），卷（一）的運(yùn)算都為一步運(yùn)算，發(fā)下后十五分鐘后收取，再發(fā)難度較大的卷（二），卷（二）的計算都為多步運(yùn)算，發(fā)下后二十分鐘后收取，卷（一）卷（二）各55份，卷（一）有效試卷52份，卷（二）有效試卷48份。
　　1.2測查工具。
　　根據(jù)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材自編的數(shù)學(xué)基本運(yùn)算技能測試題兩套，兩套試題包含現(xiàn)初中數(shù)學(xué)所學(xué)基本運(yùn)算，實數(shù)、整式、分式、方程、不等式的運(yùn)算、因式分解和配方。題目根據(jù)要測試學(xué)生對基本技能的熟悉程度、運(yùn)算速度、正確率等目的編制而成，具有明顯的代表性適合初三學(xué)生進(jìn)行測試。發(fā)放不同難度的試卷，便于對測試結(jié)果能夠進(jìn)行對比分析，檢驗是否達(dá)到顯著差異。
　　1.3調(diào)查過程。
　　南寧市示范性中學(xué)初三學(xué)生測試用時45分鐘。在施測過程中有任課老師的積極配合和幫助，并由研究人員主持測試。
　　2.調(diào)查結(jié)果分析
　　2.1學(xué)生對不同難度運(yùn)算技能的對比研究。
　　我們先計算出每個同學(xué)在不同難度的測試卷的得分，對得到的數(shù)據(jù)分成卷（一）與卷（二）兩組，我們對不同難度測試的得分進(jìn)行整體的差異性檢驗，看學(xué)生對不同難度試題的運(yùn)算技能是否存在差異，為了進(jìn)一步比較這種現(xiàn)象是否達(dá)到統(tǒng)計學(xué)意義上顯著差異，我們采用統(tǒng)計學(xué)軟件SPSS17.0對兩相關(guān)樣本均值進(jìn)行差異的顯著性檢驗，結(jié)果如表1所示。
　　表1 學(xué)生對不同難度試題的運(yùn)算技能顯著性檢驗
　?。ㄗⅲ簆<0.05達(dá)到顯著性）
　　從表1可以看出：學(xué)生在解不同難度試題時運(yùn)算技能差異很大，p=0.000<0.05，達(dá)到了統(tǒng)計學(xué)上非常顯著性程度，即學(xué)生對容易的試題運(yùn)算能力強(qiáng)，對于難度大的試題運(yùn)算能力差，并且這種差異達(dá)到了非常顯著性水平。
　　2.2對一步運(yùn)算與多步運(yùn)算的第一步運(yùn)算正確率的差異比較分析研究。
　　前面我們對兩份測試卷進(jìn)行了整體的差異分析，從整體上了解到學(xué)生在解不同難度試題時運(yùn)算技能存在顯著差異。現(xiàn)在我們進(jìn)行具體分析，計算出卷（一）與卷（二）中的第一步運(yùn)算的得分，看一步運(yùn)算與多步運(yùn)算的第一步運(yùn)算正確率是否存在差異，差異是否達(dá)到顯著性水平。我們采用統(tǒng)計學(xué)軟件SPSS17.0對兩相關(guān)樣本均值進(jìn)行差異的顯著性檢驗，結(jié)果如表2所示。
　　表2 對一步運(yùn)算與多步運(yùn)算的第一步運(yùn)算正確率的差異顯著性檢驗
　?。ㄗⅲ簆<0.05達(dá)到顯著性）
　　從表2可以看出：卷（一）的一步運(yùn)算成績比卷（二）的第一步運(yùn)算高，p=0.001<0.05達(dá)到了統(tǒng)計學(xué)上顯著性程度，即學(xué)生在對于難度不同的第一步運(yùn)算的正確率有很大的差異，并且這種差異達(dá)到了顯著性水平。對于為什么在第一步運(yùn)算就產(chǎn)生顯著性差異，筆者認(rèn)為可以從兩個方面分析：（1）部分學(xué)生在面對難度較大的運(yùn)算時，就從心理上膽怯地認(rèn)為自己不一定可以做正確，自信心不足從而導(dǎo)致在第一步運(yùn)算時就錯誤率上升。（2）卷（二）多步運(yùn)算的內(nèi)容較多，且時間上緊迫，部分學(xué)生在做題時怕時間不夠，急急忙忙做題，從而導(dǎo)致運(yùn)算時錯誤率上升。對于學(xué)生在不同難度運(yùn)算中出現(xiàn)的具體問題，我們將在下面進(jìn)一步討論。
　　2.3典型試題分析。
　　為了更清晰地了解學(xué)生在解題中出現(xiàn)的問題，我們對部分典型的試題進(jìn)行分析。
　　辨析：對于這樣的基本代數(shù)運(yùn)算的考查，在解卷（一）中的算式時學(xué)生很容易忘記對常數(shù)分式進(jìn)行約分，而直接寫出答案，在這次測試中部分學(xué)生只對常數(shù)進(jìn)行了除法法則，而對于字母進(jìn)行了乘方。在解卷（二）中的算式的第一步上大部分很好地完成乘法的運(yùn)算，但是在第二步運(yùn)算中犯了卷（一）上出現(xiàn)的錯誤，并且犯錯率比卷（一）高，學(xué)生因為時間的原因增加了錯誤率。從此類式的運(yùn)算中，看出部分學(xué)生并沒有對字母的運(yùn)算法則理解且掌握不夠熟練。
　　辨析：對于這樣基本的不等式運(yùn)算，卷（一）中學(xué)生出現(xiàn)了4漏乘括號里的常數(shù)1的情況，還有些學(xué)生漏乘了1的符號，從而導(dǎo)致錯誤，并出現(xiàn)在運(yùn)算過程中不等式兩邊同除以負(fù)數(shù)時沒有變符號的錯誤，在卷（二）中學(xué)生在兩邊通分乘以6時，部分學(xué)生忘記將式3x-1的把3與2相乘，不等式兩邊移項變號的問題在第二步出現(xiàn)，此題把學(xué)生在做題中馬馬虎虎，粗心大意，以及計算技能不熟練的缺點暴露無遺。
　　3.討論
　　3.1以上的分析可知，數(shù)與式的運(yùn)算，大部分運(yùn)算都正確，只少部分出現(xiàn)錯誤，充分說明學(xué)生的知識理解透徹，大部分錯誤出現(xiàn)在數(shù)的運(yùn)算馬虎，而卷（二）比卷（一）出現(xiàn)錯誤率更高，從問題1和2上分析出第二步出現(xiàn)錯誤率更高，說明在時間緊迫和難度加大的情況下，錯誤率提高了，充分說明學(xué)生運(yùn)算技能不夠熟練。在學(xué)生練習(xí)上只是進(jìn)行單一的練習(xí)，僅僅按照程序進(jìn)行簡單的練習(xí)，沒有用大量練習(xí)進(jìn)行鞏固，所以學(xué)生只是模糊掌握了基本運(yùn)算技能。從中可得大量的量化訓(xùn)練對運(yùn)算技能的掌握與熟練有促進(jìn)的作用。
　　3.2從問題3，當(dāng)學(xué)生面對因式分解和配方兩個概念時模棱兩可，把握不準(zhǔn)，即基本概念理解不夠透徹和深入的問題，而造成極高的錯誤率，那么熟練是否能自然地達(dá)到理解？就“熟能生巧”的本意，“熟”與“巧”之間似乎有邏輯必然性。能夠給它提供事實證據(jù)的，例如各種工藝性勞動技能等。但是，就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這樣的活動而言，情況又如何呢？問題3從學(xué)生卷（一）和卷（二）出現(xiàn)問題相同，從中可看出，量化的訓(xùn)練并沒有提高正確率，這一點和菲斯拜因《關(guān)于學(xué)習(xí)教學(xué)數(shù)學(xué)歸納原理的心理困難》一文中提到“即使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)歸納法熟練的證明，但他們對這種方法的本質(zhì)存在著不理解”，在田中“雙基”教學(xué)研究探索中做過調(diào)查，情況也是熟練并沒有理解。從中我們可以了解，對于運(yùn)算技能的訓(xùn)練，不但需要一定的量，而且要結(jié)合學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)理解性的培養(yǎng)目標(biāo)施行的訓(xùn)練才有高效率的價值。
　　3.3從測試卷的完成率來看，在加大難度的測試中，基礎(chǔ)知識牢固，認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生，在第一步和第二步的正確率較高，運(yùn)算速度較快且完成率高，而部分學(xué)生由于基本知識沒有完全透徹的理解，對于連續(xù)基本運(yùn)算技能練習(xí)中出現(xiàn)的錯誤并沒有得到很好的信息反饋，了解自己的錯誤原因，而出現(xiàn)較多的錯誤和部分空白，從中看出基礎(chǔ)牢固，認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生運(yùn)算技能明顯高于基礎(chǔ)知識不牢固、馬虎的學(xué)生。
　　4.結(jié)論與建議
　　綜上所述，初中學(xué)生數(shù)學(xué)代數(shù)基本運(yùn)算技能受三重因素影響，學(xué)生自身掌握運(yùn)算技能知識程度、良好的運(yùn)算習(xí)慣和認(rèn)真仔細(xì)的運(yùn)算態(tài)度。結(jié)合初中生年齡和心理特征，對代數(shù)基本運(yùn)算技能培養(yǎng)可以從這三方面著手。
　　4.1務(wù)實基礎(chǔ)，幫助學(xué)生正確理解，掌握代數(shù)基本運(yùn)算方法，培養(yǎng)良好的運(yùn)算習(xí)慣。
　　數(shù)學(xué)運(yùn)算的實質(zhì)就是根據(jù)相關(guān)的運(yùn)算概念，利用性質(zhì)、公式、定理、法則等從已知的數(shù)據(jù)及算式出發(fā)推導(dǎo)出結(jié)果的過程。學(xué)生只有真正理解和掌握這些基礎(chǔ)知識及運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算的基本程序后，通過模仿和練習(xí)，才能初步形成運(yùn)算技能。初步形成的運(yùn)算技能來源于模仿，雖然學(xué)生基本上會用相關(guān)的知識進(jìn)行運(yùn)算但邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)，教師要給學(xué)生一個明確的運(yùn)算程序和一個規(guī)范的運(yùn)算板演，讓學(xué)生養(yǎng)成一個規(guī)范化的書寫習(xí)慣。在測試卷出現(xiàn)了大量簡單運(yùn)算中的錯誤，從中看出培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)常檢查分析自己的錯誤，在以后的運(yùn)算中就可以逐漸減少錯誤的發(fā)生，提高正確率。
　　4.2加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生的運(yùn)算技能和速度。
　　在測試卷（二）中多出現(xiàn)空白，大多學(xué)生是沒有時間去完成，多加練習(xí)訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算速度。練習(xí)題目要設(shè)計得科學(xué)合理，運(yùn)算練習(xí)，是學(xué)生理解鞏固相關(guān)概念、提高運(yùn)算技能、拓廣思路的重要途徑。在設(shè)計練習(xí)題時，要注意學(xué)生的學(xué)情，注重知識的系統(tǒng)性、聯(lián)系性和階段性。突出典型和重要掌握的題型，重點針對學(xué)生可能出現(xiàn)錯誤較多的知識點訓(xùn)練。
　　4.3課堂上及時讓學(xué)生反饋訓(xùn)練信息，并進(jìn)行訂正，查漏補(bǔ)缺。
　　現(xiàn)在大多老師，經(jīng)常布置大量的課外作業(yè)，因為太多，沒有時間進(jìn)行批改，學(xué)生只練沒有進(jìn)行講評，不知道自己是否做對，錯誤在哪里，而又該怎么更正，效果不明顯而在課堂上學(xué)生完成練習(xí)題時，老師及時地給出答案，并進(jìn)行講評，讓學(xué)生知道自己運(yùn)算是否正確，錯誤在哪里，及時更正并引以為戒。讓學(xué)生自己訂正錯誤，學(xué)生錯誤信息得到反饋，在以后類似的學(xué)習(xí)中便會加強(qiáng)注意，避免再次出現(xiàn)錯誤。長此下去，運(yùn)算技能便會不斷強(qiáng)化，達(dá)到理想效果，其實老師可以根據(jù)學(xué)生課堂掌握情況來布置課外作業(yè)，對于學(xué)生較容易出錯的，可以設(shè)置多一點練習(xí)，這樣既減輕了老師的負(fù)擔(dān)，又減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)。
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