高等數(shù)學(xué)知識(shí)在初等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用具有起點(diǎn)高、落點(diǎn)低、背景新、方法活和能力要求高的特點(diǎn).但解決的知識(shí)是中學(xué)所學(xué)習(xí)的初等數(shù)學(xué)知識(shí)，它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言信息的閱讀、收集、理解、轉(zhuǎn)化、表述、探究和調(diào)控能力要求較高，是考查數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的有效手段，是模式化訓(xùn)練“題海戰(zhàn)術(shù)”所達(dá)不到的.此類問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題有很大的幫助.下面，筆者就對(duì)此類問題進(jìn)行歸類、例析，以期廣大專家、同行對(duì)此類問題進(jìn)行更深入的研究.
　　一、知識(shí)背景的應(yīng)用
　　例1：已知函數(shù)，當(dāng)f（x）=tanx，x∈（0，），x，x∈（0，），且x≠x，證明[f（x）+f（x）]>f（）.
　　分析：本題是以高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)凹凸性為知識(shí)背景，以三角函數(shù)為知識(shí)載體，通過對(duì)正切函數(shù)和不等式的引入，使函數(shù)的凹凸性的性質(zhì)得以充分體現(xiàn).
　　證明：因?yàn)閤，x∈（0，），x≠x，所以2sin（x+x）>0，cosxcosx>0，
　　且0　　由此得tanx+tanx>，即>tan（），
　　所以[f（x）+f（x）]>（）.
　　例2：設(shè)a>0，實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=a，x+y+z=.求證0≤x，y，z≤.
　　分析：本題的知識(shí)背景是高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何問題，x+y+z=a表示過三點(diǎn)（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0）的平面，x+y+z=表示與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為的點(diǎn)（x，y，z）應(yīng)滿足的條件，即以O(shè)為圓心，為半徑的球.如把已知方程中的z視為已知數(shù)，將其分別看成平面直角坐標(biāo)系中的直線和圓，構(gòu)造一個(gè)直線和圓有公共點(diǎn)得圖形，初等方法就可以解決了.
　　證明：將已知兩方程分別化簡(jiǎn)為x+y=a-z，x+y=-z.因?yàn)榇藘墒酵瑫r(shí)成立，所以在平面直角坐標(biāo)系中，直線x+y=a-z和圓x+y=-z有公共點(diǎn)（即相交或相切），于是圓心（0，0）到直線x+y=a-z的距離不超過半徑即≤，將該式化簡(jiǎn)得3z-2az≤0，即z（3z-2a）≤0，解得0≤z≤.
　　同理可證0≤x≤，0≤y≤，所以0≤x，y，z≤.
　　二、語言敘述的應(yīng)用
　　例3：設(shè)絕對(duì)值小于1的全體實(shí)數(shù)的集合為S.在S中定義一種運(yùn)算*，使得a*b=.
　?。?）證明：若a，b∈S，則a*b∈S；
　　（2）證明：結(jié)合律（a*b）*c=a*（b*c）成立.
　　分析：本題是以高等數(shù)學(xué)語言習(xí)慣定義一種新運(yùn)算，并將集合語言融入，來讓學(xué)生證明結(jié)合率，使得問題變得新穎，有創(chuàng)意，能力要求較高.
　　解：（1）要證明，若a，b∈S，則a*b∈S，即證明：當(dāng)-1　?。?）兩次用條件中的公式a*b=分別得：
　　（a*b）*c=*c==
　　a*（b*c）=a*==
　　所以有（a*b）*c=a*（b*c）.
　　三、推理方法的應(yīng)用
　　例4：在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB+AC=BC.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則？搖？搖？搖 ？搖.”
　　分析：此題主要是考查對(duì)勾股定理的實(shí)質(zhì)性類比，類比是高等數(shù)學(xué)中最為基本的推理方法，從類比推理的方法和規(guī)律來看，應(yīng)將由線段長(zhǎng)度到三角形面積的升維類比，過渡到由指數(shù)的二次向指數(shù)的三次轉(zhuǎn)變，可得結(jié)論是S+S+S = S，但恰恰相反，此結(jié)果是錯(cuò)誤的.特別的，直三棱錐A-BCD的三條直棱AB、AC、AD的長(zhǎng)度均為1，顯然有S=S=S=，S=，而（）+（）+（）≠（），但（）+（）+（）=（），所以有S+S+S = S.對(duì)于得到S+S+S=S這個(gè)結(jié)果的學(xué)生來說，不是因?yàn)樗麄兊念惐韧评砟芰Σ?，而是其在推理過程中缺少檢驗(yàn)和修正的環(huán)