摘 要: 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)對(duì)例題分析中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思;對(duì)基本問題、典型題型進(jìn)行反思;對(duì)自己的錯(cuò)誤思維進(jìn)行反思.
關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 習(xí)題課 反思
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自身的思維過程,思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)知和檢驗(yàn),重構(gòu)學(xué)生的理解,并激活學(xué)生的智慧,從而幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中的心得體會(huì).
一、對(duì)例題分析中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思
習(xí)題課的教學(xué)主要是通過對(duì)例題的分析來實(shí)現(xiàn).但教學(xué)的重點(diǎn)并不在于一個(gè)或幾個(gè)問題的解決,也不能僅僅局限于對(duì)一類問題的歸納、總結(jié),更重要的是要對(duì)問題解決的思想方法進(jìn)行反思.
例1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x+y-1=0,試求:M=的取值范圍.
解:因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y滿足方程x+y-1=0,所以點(diǎn)P(x,y)是圓x+y=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作出圓x+y=1,設(shè)點(diǎn)Q(1,2),則M=可看作圓上的點(diǎn)與點(diǎn)Q(1,2)的連線的斜率,那么問題就轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率的最值.則根據(jù)圖像容易得出k=k=,而又趨向于+∞,所以M∈[,+∞).
題后反思:此題應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法,通過構(gòu)造一個(gè)斜率的幾何概念來解決問題.并要求反思數(shù)形結(jié)合這種思想方法通常在什么時(shí)候應(yīng)用能使問題解答更簡(jiǎn)捷.
例2.過點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(4,m)并且與x軸相切的圓有且僅有一個(gè),求m的值.
解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,則由|CA|=
|CB|=|b|可得a+(b-1)=(a-4)+(m-b)=|b|.
∴a-2b+1=0a-8a+m-2mb+16=0,消去b,可得(1-m)a-8a+m-m+16=0.
又因?yàn)榉蠗l件的圓有且僅有一個(gè),所以:
(1)當(dāng)m=1時(shí),可得a=2,b=,r=,對(duì)應(yīng)的圓方程為(x-2)+(y-)=.
(2)當(dāng)m≠1時(shí),應(yīng)有△=0才能有唯一解,則△=64-4(1-m)(m-m+16)=0,即m(m-2m+17)=0,又因?yàn)閙-2m+17=(m-1)+16>0,所以m=0,∴a=4,b=,r=,對(duì)應(yīng)的圓方程為(x-4)+(y-)=.
綜上所述,可知符合條件的圓方程為(x-2)+(y-)=和(x-4)+(y-)=.
二、對(duì)基本問題,典型題型進(jìn)行反思
在習(xí)題課的教學(xué)中,對(duì)于某些問題學(xué)生常常會(huì)產(chǎn)生熟悉感.此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)反思,并且讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)新舊問題間的聯(lián)系,從而得出規(guī)律,形成能力.
對(duì)解題過程的反思,不僅有助于此類問題的解決方法,更重要的是通過反思,發(fā)展學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
三、對(duì)自己的錯(cuò)誤思維進(jìn)行反思
數(shù)學(xué)的抽象性,推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,以及數(shù)學(xué)語言的特殊性決定了處于思維發(fā)展階段的學(xué)生不可能直接把握數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì).所以在問題解決后要求學(xué)生反思自己在思維上的錯(cuò)誤,反思思考過程中走過的彎路,促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì).
例3.在平面直角坐標(biāo)系中,兩定點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),有一動(dòng)點(diǎn)P使∠PBA=2∠PAB 恒成立,求:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
錯(cuò)解:設(shè)點(diǎn)P(x,y),如圖所示可知tan∠PBA=tan2∠PAB,即-=,化簡(jiǎn)可得-=1.
反思一:根據(jù)圖像建立方程的過程中忽視了特殊情況:∠PBA=90°.在這種情況下是不能利用斜率公式及二倍角公式的.通過反思,可以幫助學(xué)生在以后處理斜率問題或應(yīng)用二倍角公式時(shí)注意對(duì)特殊情況的單獨(dú)分析.
反思二:在化簡(jiǎn)過程中約去了y,沒有注意到y(tǒng)=0的特殊情形,屬于運(yùn)算錯(cuò)誤.通過反思使學(xué)生加深對(duì)運(yùn)算推理過程中的等價(jià)性的考慮.
針對(duì)以上問題,作為教師,我們應(yīng)要求每位學(xué)生準(zhǔn)備一本糾錯(cuò)本,把自己平時(shí)犯的錯(cuò)誤記下來,并且經(jīng)??纯?,想想錯(cuò)在哪里,為什么會(huì)錯(cuò)。當(dāng)然,我們更應(yīng)該對(duì)所教內(nèi)容(知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系,所接觸到的數(shù)學(xué)思想方法)前后聯(lián)系,對(duì)教學(xué)過程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程作一個(gè)整體的反思.
總之,在習(xí)題課的教學(xué)中堅(jiān)持反思性學(xué)習(xí)不僅有助于學(xué)生分析問題、解決問題能力的提高,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性、周密性、創(chuàng)新性,克服思維定勢(shì)負(fù)遷移的影響,充分調(diào)動(dòng)不同層次學(xué)生的積極性,以促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的大面積提高.</