羅 文，袁 林 旺，胡 勇，易 琳，閭 國(guó) 年

三維社區(qū)建模與分析的共形幾何代數(shù)方法

羅 文，袁 林 旺＊，胡 勇，易 琳，閭 國(guó) 年

（南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210046）

利用共形幾何代數(shù)的多維統(tǒng)一表達(dá)與分析優(yōu)勢(shì)，研究了集成多源數(shù)據(jù)的三維社區(qū)統(tǒng)一建模與分析方法。構(gòu)建了基于多重向量存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的社區(qū)場(chǎng)景整體建模流程，實(shí)現(xiàn)了City GML、DXF等多源數(shù)據(jù)的導(dǎo)入與集成，并設(shè)計(jì)了基于共形幾何代數(shù)的對(duì)象運(yùn)動(dòng)表達(dá)與插值方法。以德國(guó)Waldbruecke村為例的驗(yàn)證結(jié)果顯示，基于共形幾何代數(shù)的三維社區(qū)建?？梢暂^好地表達(dá)復(fù)雜社區(qū)對(duì)象，并可以有效支撐幾何度量、動(dòng)態(tài)對(duì)象跟蹤、運(yùn)動(dòng)軌跡重建等功能實(shí)現(xiàn)。

三維社區(qū);共形幾何代數(shù);對(duì)象建模;動(dòng)態(tài)分析

城市三維建模與可視化、數(shù)字城市建設(shè)是城市信息化的重要發(fā)展趨勢(shì)，三維社區(qū)建設(shè)是其中的重要內(nèi)容［1，2］。三維社區(qū)分析涉及領(lǐng)域的寬泛性決定了其數(shù)據(jù)的多源性，三維社區(qū)建模中常用的數(shù)據(jù)包含工程測(cè)量中的AutoCAD/DXF數(shù)據(jù)、交通測(cè)繪的shapefile數(shù)據(jù)、數(shù)字城市的City GML數(shù)據(jù)等。如何有效融合多源異構(gòu)數(shù)據(jù)，構(gòu)建多維統(tǒng)一的數(shù)據(jù)模型成為三維社區(qū)建設(shè)的難點(diǎn)和重點(diǎn)［3］;另一方面，成熟的三維社區(qū)建設(shè)不僅要求實(shí)現(xiàn)社區(qū)建筑、道路網(wǎng)絡(luò)等多種不同維度、不同類型的實(shí)體對(duì)象的建模與表達(dá)，更需要構(gòu)建適用于復(fù)雜地理場(chǎng)景中多維對(duì)象分析的各類分析算法。共形幾何代數(shù)（Conformal Geometric Algebra，CGA）具有優(yōu)越的多維表達(dá)與分析能力，前期研究表明CGA在GIS對(duì)象表達(dá)、關(guān)系計(jì)算及動(dòng)態(tài)場(chǎng)景分析等方面具有優(yōu)勢(shì)［4，5］。本文以德國(guó)Waldbruecke村的社區(qū)規(guī)劃平面圖數(shù)據(jù)、社區(qū)三維建筑物模型數(shù)據(jù)、道路網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)等基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，從多源數(shù)據(jù)整合與集成、場(chǎng)景構(gòu)建與建模、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)構(gòu)建與應(yīng)用分析等視角入手，探討基于幾何代數(shù)的三維社區(qū)建模與分析的思路與方法，對(duì)三維社區(qū)中各類建筑物與運(yùn)動(dòng)對(duì)象進(jìn)行建模、表達(dá)與分析，嘗試為三維社區(qū)虛擬仿真、動(dòng)態(tài)表達(dá)和空間分析研究提供參考。

1 三維社區(qū)場(chǎng)景建模

1.1 Grassmann結(jié)構(gòu)一致的幾何形體表達(dá)

共形幾何代數(shù)（CGA）是李洪波等［6］結(jié)合共形模型和幾何代數(shù)的主要優(yōu)勢(shì)，對(duì)幾何代數(shù)、射影幾何進(jìn)行拓展后建立的。定義由歐氏空間向共形幾何代數(shù)空間Cn?的變換C（x）為：

其中：e0和e∞為額外添加的維度支撐向量，分別表示原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

共形幾何代數(shù)賦予幾何代數(shù)空間閔氏內(nèi)積結(jié)構(gòu)，使得五維向量空間的Grassmann分級(jí)結(jié)構(gòu)（C3?）完全對(duì)應(yīng)于幾何體的分級(jí)結(jié)構(gòu)，通過e∞的引入，消除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇異性，統(tǒng)一了線段和圓以及平面和球的表達(dá);同時(shí)使得內(nèi)積可以直接對(duì)應(yīng)于兩點(diǎn)間歐氏距離的表征，賦予了內(nèi)積明確的幾何意義。

圖1列出了三維空間中常見幾何形體的CGA表達(dá)，其Grassmann結(jié)構(gòu)一致性直觀表現(xiàn)在形體表達(dá)形式與幾何體維度相一致。表達(dá)形式的一致性為幾何形體的多維統(tǒng)一建模奠定了基礎(chǔ)，也是構(gòu)建三維社區(qū)場(chǎng)景中對(duì)象無關(guān)、維度無關(guān)分析功能的基本前提。

圖1 Grassmann結(jié)構(gòu)一致的幾何形體表達(dá)Fig.1 Geometric representation with consistent Grassmann structure

1.2 基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

基本幾何形體數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖2所示，鑒于CGA中基本幾何形體表達(dá)形式具有一致性，可以先設(shè)計(jì)幾何形體基類CGA＿Geo，聲明一個(gè)32長(zhǎng)度的浮點(diǎn)型數(shù)組成員變量m＿c用于存儲(chǔ)各維度blade系數(shù)（blade的概念參見文獻(xiàn)［4］），m＿gu用于存儲(chǔ)當(dāng)前對(duì)象的維度。在CGA＿Geo的基礎(chǔ)上分別派生出點(diǎn)對(duì)象（CCA＿Point）、點(diǎn)對(duì)＼線段對(duì)象（CCA＿Pt Pair）、直線對(duì)象（CCA＿Line）、圓對(duì)象（CCA＿Circle）、平面對(duì)象（CCA＿Plane）和球面對(duì)象（CCA＿Sphere），并針對(duì)各對(duì)象特點(diǎn)分別定義其特有的屬性和方法。

圖2 基本幾何形體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)Fig.2 Data structure of basic geometric objects

CGA＿Geo類的另一重要作用在于：當(dāng)幾何體未知時(shí)可以先將其聲明成CGA＿Geo類型，經(jīng)過運(yùn)算后，通過提取grade運(yùn)算判斷其維度，進(jìn)而分析得到其具體類型。當(dāng)形體已知時(shí)，聲明其對(duì)應(yīng)類型，可有效提升存儲(chǔ)空間效率和運(yùn)算時(shí)間效率。基于上述特性，在分析功能設(shè)計(jì)中，可將任意幾何體當(dāng)做CGA＿Geo類參與運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)象無關(guān)的表達(dá)與運(yùn)算。

1.3 三維社區(qū)建模與組織

三維社區(qū)場(chǎng)景建模要求實(shí)現(xiàn)三維場(chǎng)景中基本幾何對(duì)象幾何、拓?fù)潢P(guān)系的重建及語義關(guān)系的嵌入。同維度幾何對(duì)象可通過關(guān)系表、鏈表等結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單連接，但不同維度對(duì)象統(tǒng)一建模與表達(dá)則是幾何、拓?fù)浣５碾y點(diǎn)所在。多重向量（multivector）是幾何代數(shù)中與blade相對(duì)應(yīng)的一個(gè)概念，multivector通過“＋”連接不同維度的blade，實(shí)現(xiàn)混合維度對(duì)象的存儲(chǔ)，且在幾何代數(shù)理論體系中已經(jīng)形成一套相對(duì)完備的針對(duì)multivector的分析方法［7］。據(jù)此，可以將基本幾何形體用“＋”連接成如下形式：

式（2）同時(shí)包含了點(diǎn)、線段和面對(duì)象，其連接順序采用基于對(duì)象類別的分類排列方法，式中“＋”僅用于表達(dá)關(guān)系計(jì)算，而不進(jìn)行數(shù)值上的累加與歸并。語義關(guān)系的嵌入則以關(guān)系表為基礎(chǔ)，通過ID與幾何對(duì)象相鏈接。

1.4 多源數(shù)據(jù)集成框架

基于上述場(chǎng)景建模思路構(gòu)建空間數(shù)據(jù)解析流程（圖3）。首先應(yīng)用數(shù)據(jù)解析器得到幾何數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)，判斷幾何數(shù)據(jù)類別，分別將其存儲(chǔ)為對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)本身的層次結(jié)構(gòu)生成相應(yīng)的多重向量的統(tǒng)一存儲(chǔ)。以地理對(duì)象為單位對(duì)多重向量進(jìn)行ID標(biāo)識(shí)，并將其與存入屬性表中的屬性數(shù)據(jù)相關(guān)聯(lián)。以CityGML數(shù)據(jù)和AutoCAD的DXF交換格式兩種主要數(shù)據(jù)類型的解析與集成方法為例，進(jìn)行基于幾何代數(shù)的三維社區(qū)建模示范。

圖3 空間數(shù)據(jù)解析流程Fig.3 Parsing flow of spatial data

CityGML數(shù)據(jù)以XML文本標(biāo)識(shí)語言為基礎(chǔ)，以樹型結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)其幾何拓?fù)湫畔ⅲ?］。通過其最頂層的數(shù)據(jù)根節(jié)點(diǎn)City ObjectsRoots管理場(chǎng)景，以下依次為City Object、Geometry、面、線、點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有與之對(duì)應(yīng)的屬性信息，包含用于區(qū)分對(duì)象類型（屋頂、墻壁等）的數(shù)據(jù)標(biāo)簽以及用于可視化渲染的顏色和材質(zhì)信息。City GML數(shù)據(jù)的解析與集成類似于樹的中序遍歷，即先讀取當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，再讀取其各個(gè)組成部分，從而實(shí)現(xiàn)拓?fù)潢P(guān)系的重建。結(jié)合分析需要，將數(shù)據(jù)按一定的粒度進(jìn)行對(duì)象劃分，并為其分配唯一的ID進(jìn)行標(biāo)識(shí)，連接屬性信息。

DXF數(shù)據(jù)是AutoCAD的繪圖交換文件，是由很多的“代碼”和“值”組成的“數(shù)據(jù)對(duì)”構(gòu)造而成［9］。這些“代碼”包含對(duì)DXF文件頭、塊、圖層及實(shí)體對(duì)象等的定義。DXF數(shù)據(jù)的解析過程與CityGML基本類似，但需進(jìn)行數(shù)據(jù)中塊的處理。此外，由于DXF數(shù)據(jù)本身不具備嚴(yán)密的拓?fù)湫畔?，所以前期需要?duì)數(shù)據(jù)的拓?fù)浼右孕拚?/p>

2 對(duì)象運(yùn)動(dòng)表達(dá)與插值

2.1 基本幾何分析

共形幾何代數(shù)的閔氏內(nèi)積結(jié)構(gòu)使得內(nèi)積運(yùn)算具有表達(dá)對(duì)象距離的幾何意義，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了內(nèi)蘊(yùn)距離、方向等幾何關(guān)系的共形幾何代數(shù)表達(dá)。如對(duì)于兩個(gè)給定點(diǎn)p、q，其距離計(jì)算公式為：p、q分別為經(jīng)共形轉(zhuǎn)換后點(diǎn)的表達(dá)。而直線間的角度則可根據(jù)二者所在向量?jī)?nèi)積與向量模的比值確定。

2.2 對(duì)象運(yùn)動(dòng)表達(dá)

CGA中平移、旋轉(zhuǎn)和縮放等歐氏變換可統(tǒng)一于同一變換框架下［10］?；贑GA的運(yùn)動(dòng)表達(dá)的一般形式為：Or＝RoR′，其中o為運(yùn)動(dòng)對(duì)象，R為運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一表達(dá)，也稱作versor表達(dá)。對(duì)于任意的versor表達(dá)，很難直觀地獲得其確切的幾何意義，但奇次階的versor則可通過其指數(shù)形式揭示其內(nèi)蘊(yùn)的幾何意義。如指數(shù)形式表達(dá)的變換R＝e－φl/2表示以l為旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)角度為φ的rotor，其證明過程如下：

2.3 對(duì)象運(yùn)動(dòng)插值

基于指數(shù)形式的versor表達(dá)可通過對(duì)數(shù)變換將其線性化，從而獲得相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡重構(gòu)及線性運(yùn)動(dòng)平滑插值。任意歐氏空間的剛體運(yùn)動(dòng)與變換均可通過共形空間中的versor精確表達(dá)［11］。由于任意奇次階versor均可表達(dá)為bi-vector的指數(shù)形式，即：V＝eB，對(duì)該式兩邊分別取對(duì)數(shù)可得：B＝ln（V），且任意bi-vector均為線性結(jié)構(gòu)，因此基于指數(shù)形式表達(dá)的versor可以直接進(jìn)行諸如平均、插值、外推等數(shù)值運(yùn)算。如基于rotor指數(shù)形式表達(dá)，其插值公式為：

式（4）實(shí)現(xiàn)了將R1到R2的運(yùn)動(dòng)插值為n次的運(yùn)動(dòng)r。基于上述算子可實(shí)現(xiàn)歐氏空間中復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的表達(dá)與分析。由于基于幾何代數(shù)的旋轉(zhuǎn)表達(dá)算子的符號(hào)直接表征了其運(yùn)動(dòng)方向［12］，類似地可從基于幾何代數(shù)的運(yùn)動(dòng)表達(dá)中解析出運(yùn)動(dòng)內(nèi)在的特性信息。

3 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

3.1 系統(tǒng)架構(gòu)

設(shè)計(jì)基于共形幾何代數(shù)的三維社區(qū)集成構(gòu)建系統(tǒng)對(duì)上述思路加以驗(yàn)證，系統(tǒng)層次架構(gòu)如圖4所示。數(shù)據(jù)資源層包括CityGML、DXF和Shape等常用的空間數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)組織層為前述多源數(shù)據(jù)集成方法及基于CGA的多維統(tǒng)一存儲(chǔ)，設(shè)計(jì)場(chǎng)景動(dòng)態(tài)監(jiān)控與運(yùn)動(dòng)對(duì)象插值的功能分析層，最后是基于VTK渲染的場(chǎng)景可視化與場(chǎng)景交互的表現(xiàn)層。該系統(tǒng)以共形幾何代數(shù)為理論支持，多維統(tǒng)一建模為主線，場(chǎng)景動(dòng)態(tài)分析為最終目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)面向多源數(shù)據(jù)的三維社區(qū)場(chǎng)景建模與分析。

圖4 三維社區(qū)集成構(gòu)建系統(tǒng)架構(gòu)Fig.4 The architecture of 3D resident community integration system

3.2 案例數(shù)據(jù)

以德國(guó)Waldbruecke村為研究樣區(qū)，使用的主要數(shù)據(jù)及格式如表1所示。其中社區(qū)三維建筑物的模型數(shù)據(jù)與數(shù)字化的道路網(wǎng)數(shù)據(jù)主要用于場(chǎng)景的構(gòu)建，車輛模型數(shù)據(jù)和車輛位置數(shù)據(jù)則用于場(chǎng)景動(dòng)態(tài)模擬及場(chǎng)景內(nèi)動(dòng)態(tài)對(duì)象的插值分析。

表1 主要數(shù)據(jù)及其格式Table 1 The main data and its format

3.3 三維建模與分析

首先對(duì)City GML場(chǎng)景數(shù)據(jù)、DXF車輛數(shù)據(jù)和Shape格式的道路數(shù)據(jù)集成建模，建模結(jié)果可通過系統(tǒng)可視化模塊進(jìn)行渲染可視化（圖5a）。在基于幾何代數(shù)的三維社區(qū)建模中，由于不同維度幾何對(duì)象均處于同一場(chǎng)景，可對(duì)其集中管理。圖5b演示了場(chǎng)景中對(duì)三維建筑對(duì)象的交互式選取與可視化功能。基于CGA框架的三維場(chǎng)景建?？蓪?shí)現(xiàn)場(chǎng)景中對(duì)象幾何關(guān)系的批量計(jì)算及運(yùn)動(dòng)對(duì)象動(dòng)態(tài)插值。應(yīng)用車輛模型和車輛位置模擬數(shù)據(jù)，可對(duì)車輛在場(chǎng)景中的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬，并實(shí)時(shí)計(jì)算其距離與角度等基本幾何關(guān)系（圖5c），圖中雷達(dá)圖與箭頭圖分別顯示的是車與選中建筑的距離和角度。圖5d為運(yùn)動(dòng)對(duì)象插值計(jì)算演示，圖中黑色軌跡為讀取的原始數(shù)據(jù)，灰色軌跡為經(jīng)過versor插值后的樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，由結(jié)果可知，基于versor的運(yùn)動(dòng)插值可保證插值軌跡相對(duì)均勻、平滑，且可推算出任意時(shí)刻車輛所在的位置信息及其運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

圖5 三維社區(qū)對(duì)象建模與運(yùn)動(dòng)分析Fig.5 Modeling and motion analysis of 3D resident community

4 結(jié)論與討論

本文以CGA為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了基于多重向量的三維社區(qū)統(tǒng)一存儲(chǔ)模型，利用其在多維對(duì)象建模與分析上的優(yōu)勢(shì)，構(gòu)造了可支撐多源數(shù)據(jù)集成的三維社區(qū)建模與分析的整體流程。利用幾何代數(shù)算子與基于versor的運(yùn)動(dòng)表達(dá)，構(gòu)造了包括幾何度量、動(dòng)態(tài)對(duì)象運(yùn)動(dòng)表達(dá)及運(yùn)動(dòng)插值等場(chǎng)景對(duì)象動(dòng)態(tài)表達(dá)和分析方法。對(duì)德國(guó)Waldbruecke村三維社區(qū)的實(shí)例分析顯示，本文提出的三維社區(qū)建模與分析方法可以很好地支撐復(fù)雜三維社區(qū)場(chǎng)景對(duì)象的表達(dá)與建模，并可有效支撐三維社區(qū)中運(yùn)動(dòng)對(duì)象的模擬與分析，從而為三維社區(qū)建設(shè)提供良好的理論支撐與開發(fā)工具。

幾何代數(shù)優(yōu)越空間構(gòu)造能力與多維對(duì)象統(tǒng)一表達(dá)機(jī)制可以有效支撐三維場(chǎng)景中復(fù)雜對(duì)象的表達(dá)與分析，基于幾何代數(shù)的動(dòng)態(tài)對(duì)象表達(dá)與分析不僅可以再現(xiàn)對(duì)象動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)與演化的軌跡與過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)象運(yùn)動(dòng)過程的直觀再現(xiàn)，更可以有效保持原有運(yùn)動(dòng)軌跡的運(yùn)動(dòng)參數(shù)特征，從而直接支撐復(fù)雜的時(shí)空及運(yùn)動(dòng)分析。以幾何代數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)現(xiàn)有三維社區(qū)分析方法及更廣泛的地理分析模型進(jìn)行重建與集成，有望提升現(xiàn)有三維社區(qū)GIS的建模、表達(dá)與分析能力，為其向時(shí)態(tài)GIS方向的發(fā)展及更廣泛的領(lǐng)域應(yīng)用提供數(shù)據(jù)建模、計(jì)算方法以及分析模型支撐。

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Conformal Geometric Algebra-Based 3D Resident Community Modeling and Analysis

LUO Wen，YUAN Lin－wang，HU Yong，YI Lin，LV Guo－nian
（KeyLaboratoryofVGE，MinistryofEducation，NanjingNormalUniversity，Nanjing210046，China）

Conformal Geometric Algebra（CGA）is a relatively new geometric model for geometric primitives representation，it also offers a language of operations to manipulate those primitives.Based on these advantages，this paper explored the method for multi-source data integration and unified modeling and analysis of the three dimensional resident community.As well as the storage structure founded on multi-vectors，the modeling procedures of the whole community scene were constructed，supporting multi-format data importing and integration such as City GML and DXF.Furthermore，the moving object expression and dynamical interpolation methods were illustrated.The proposed modeling and analysis methods were experimented on the German Waldbruecke village data.The results suggest that the three dimensional resident community modeling based on CGA can effectively express complex community objects，as well as analysis functions e.g.geometric measurements，dynamical objects tracking and motion trajectory reconstruction.

3D resident community;CGA;object modeling;dynamical analysis

P208

A

1672－0504（2012）03－0020－04

2011－10- 30;

2011－12－31

國(guó)家自然科學(xué)基金“基于幾何代數(shù)的多維統(tǒng)一空間關(guān)系計(jì)算模型及并行化方法”（41171300）;國(guó)家863資助課題 “基于Clifford代數(shù)的時(shí)空統(tǒng)一數(shù)據(jù)模型關(guān)鍵技術(shù)研究”（2009AA12Z205）

羅文（1986－），男，博士研究生，主要從事GIS理論與算法研究。＊通訊作者E－mail：yuanlinwang＠njnu.edu.cn