梁建莉

（華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州 362021）

一類帶附加裝置的特殊剛體的穩(wěn)定性分析

梁建莉

（華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州 362021）

研究一類帶有附加裝置的特殊剛體的穩(wěn)定性，通過尋找合適的Poisson結構及Hamilton函數(shù)，將剛體的運動方程轉化為廣義Hamilton系統(tǒng).運用能量Casimir函數(shù)法分析得知，這類剛體的運動在一定條件下是穩(wěn)定的.

特殊剛體；穩(wěn)定性；Poisson結構；Hamilton函數(shù)；能量Casimir函數(shù)法

1 預備知識

在研究幾何空間中剛體的定點轉動時，可用剛體相對于固定在質心上的直角坐標的3個角動量作為動態(tài)變量［1］，其相空間為P＝｛m＝（m1，m2，m3）｜mi為角動量.在這個相空間上，自由剛體的運動由Euler方程描述為

其中：λi是主慣性矩，λi＞0.

文獻［2］應用能量Casimir函數(shù)法和譜分析法，證明在自由剛體運動中繞長軸和短軸的轉動是穩(wěn)定的，繞中軸的轉動是不穩(wěn)定的.對于帶附加裝置的特殊剛體，其運動方程為

本文通過尋找合適的Poisson結構及Hamilton函數(shù)，運用能量Casimir函數(shù)法［2-3］得到如下定理.

定理1 a）若主慣性矩λ3＞max｛λ1，λ2｝，則當角動量為

時，帶附加裝置的剛體運動是穩(wěn)定的；

b）若主慣性矩λ3＜min｛λ1，λ2｝時，則當角動量為

時，帶附加裝置的剛體運動是穩(wěn)定的.

2 基本定義和引理

定義1［4］常微分方程

稱為廣義 Hamilton系統(tǒng) .如果存在 Hamilton函數(shù) H（x）及n階反對稱矩陣J（x）＝［Ji，j（x）］n×n，使得方程可以寫成

并且J（x）滿足Jacobi恒等式

式（3）中：矩陣J（x）稱為廣義Hamilton系統(tǒng)的Poisson結構.

定義2［4］如果函數(shù)C（x）滿足方程

則函數(shù)C（x）稱為Poisson結構J（x）的Casimir函數(shù).

通過直接計算可知，若C（x）是J（x）的一個Casimir函數(shù)，那么對于任意的一元可微函數(shù)Φ（z），復合函數(shù)Φ［C（x）］也是J（x）的Casimir函數(shù).

定義3［4］微分方程（2）在奇點x0是形式穩(wěn)定的，如果存在方程組（2）的一個滿足下列條件的守恒量H（x）：

1）DH（x0）＝0；

2）D2H（x0）是正定或負定的.

其中：DH（x0）是 H（x）在x0點的梯度；D2H（x0）是 H（x）在x0點的 Hessian矩陣.

定義4［4］設x（t）是微分方程（2）的任一解.微分方程（2）的奇點x0稱為是Liapunov穩(wěn)定（或非線性穩(wěn)定）的，如果對于任意ε＞0，存在δ＞0，當｜x（0）－x0｜＜δ時，對于一切t＞0，有｜x（t）－x0｜＜δ；如果還有x（t）＝x0，則稱x0是漸近穩(wěn)定的.

對于有限維系統(tǒng)來說，形式穩(wěn)定與Liapunov穩(wěn)定是等價的，而對于無窮維空間則不是如此.

引理1［2］Hamilton函數(shù)和Casimir函數(shù)都是廣義Hamilton系統(tǒng)的守恒量.

引理2［2］Hamilton函數(shù)加上任何Casimir函數(shù)仍可作為原系統(tǒng)的Hamilton函數(shù).

引理3［2］即Lagrange－Dirichlet引理 .設x0是 Hamilton系統(tǒng)

能量Casimir函數(shù)法是引理3的推廣.

對于證明經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性問題，一個有效的辦法就是利用引理3.即尋找系統(tǒng)的一個守恒量，使其在奇點處具有局部極大或極小值，在經(jīng)典Hamilton力學中，這個守恒量通常取Hamilton函數(shù).在廣義Hamilton系統(tǒng)中，其Hamilton函數(shù)在奇點處不一定取到極大或極小值.

由引理2可知，Hamilton函數(shù)加上任何Casimir函數(shù)仍為原系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)，因此要尋找守恒量C（x），用H（x）＋C（x）替代H（x）成為系統(tǒng)新的守恒量，使其在奇點處可以取到極大或極小值.

能量Casimir函數(shù)法有如下3個主要步驟：

1）構造適當?shù)腜oisson結構及Hamilton函數(shù)H（x），使系統(tǒng)成為廣義Hamilton系統(tǒng)；

2）求Casimir函數(shù)C（x），對系統(tǒng)的奇點x0有D（H＋C）（x0）＝0；

3）驗證D2（H＋C）（x0）＝0的定性.

3 定理的證明

3.1 Poisson結構及Hamilton函數(shù)

首先，取反對稱矩陣為

由此可以驗證J（m）滿足Jacobi恒等式（3）.

其次，取哈密頓函數(shù)為

則剛體的運動方程（1）可以寫為

即系統(tǒng)（1）是一個廣義Hamilton系統(tǒng)，且J（m）為此系統(tǒng)的Poisson結構.

3.2 Casimir函數(shù)

設Casimir函數(shù)為C（m），由J（m）·▽C（m）＝0，得到偏微分方程組為

利用偏微分方程原理［5］，通過計算可知，m21＋m22＋（m3＋1）2為J（m）的Casimir函數(shù)，若Φ（z）為一個一元可微函數(shù)，則C（m）＝Φ（m21＋m22＋（m3＋1）2）也是J（m）的Casimir函數(shù)，所以系統(tǒng)（1）的另一個哈密頓函數(shù)為

其梯度為

考慮系統(tǒng)的奇點m0＝（0，0，m3），即m3軸上的點均為系統(tǒng)的奇點.

令DHc（m0）＝0，則

即所選取的Casimir函數(shù)C（m）要滿足式（5）.

3.3 驗證D2 Hc（m0）的定性

令

由此可得，在奇點m0處，Xi，j（m0）＝0，i≠j，所以得到矩陣為

若D2Hc（m0）正定，則其所有順序主子式為正，從而Xi，i（m0）＞0（i＝1，2，3），即

因此，只要取一元可微函數(shù)為

則Φ（z）滿足式（5），（6）的第3式.

由式（6）的前兩式可得，若主慣性矩λ3＞max｛λ1，λ2｝，則當角動量

時，剛體的轉動是穩(wěn)定的.

同理，若D2Hc（m0）負定，則Xi，i（m0）＜0（i＝1，2，3）.此時，只要取一元可微函數(shù)為

通過計算可知，若主慣性矩λ3＜min｛λ1，λ2｝，當角動量為

時，剛體的轉動是穩(wěn)定的.定理得證.

［1］李繼彬，趙曉華，劉正榮.廣義哈密頓系統(tǒng)理論及其應用［M］.北京：科學出版社，1999.

［2］高普云.非線性動力學：分叉、混沌與孤立子［M］.長沙：國防科技大學出版社，2005.

［3］王照林，匡金爐.利用能量Casimir方法研究充液對稱剛體的非線性穩(wěn)定性［J］.力學與實踐，1993，15（2）：34－37.

［4］趙曉華，黃克累 .廣義 Hamilton系統(tǒng)與高維微分動力系統(tǒng)的定性研究［J］.應用數(shù)學學報，1994，17（2）：182－191.

［5］管志誠，李俊杰.常微分方程與偏微分方程［M］.浙江：浙江大學出版社，2001.

Stability of a Special Rigid Body with Additional Devices

LIANG Jian－li
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，we study the stability of a special kind of rigid body with additional devices.The rigid body′s motion equations is transform into a generalized Hamilton system by means of a suitabl Poisson structure and Hamiltonian function.Through these analysis，we found that the motion of such rigid body with additional devices，under certain conditions，is stable.

special rigid body；stability；Poisson structure；Hamilton function；energy Casimir function

陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

O 175.21；O 317

A

1000－5013（2012）02－0225－04

2011－06－17

梁建莉（1979－），女，講師，主要從事哈密頓動力系統(tǒng)的研究.E－mail：liangjl＠hqu.edu.cn.

國務院僑辦科研基金資助項目（08QZR10）