劉曉君，李險(xiǎn)峰，黨紅剛，劉 莉

（1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001；

2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

主動(dòng)同步法實(shí)現(xiàn)Mathieu方程的混沌同步

劉曉君1，李險(xiǎn)峰2，黨紅剛1，劉 莉1

（1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001；

2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

首先通過全局分岔圖和吸引子圖對(duì)所研究的Mathieu方程的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析.在此基礎(chǔ)上，對(duì)該方程的混沌同步進(jìn)行了研究.利用主動(dòng)同步方法實(shí)現(xiàn)了2個(gè)不同初值的Mathieu方程間的自同步，同時(shí)利用該方法實(shí)現(xiàn)了Mathieu方程與非線性陀螺系統(tǒng)間的異結(jié)構(gòu)同步.數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法對(duì)實(shí)現(xiàn)Mathieu方程混沌同步的有效性.

Mathieu方程；混沌；主動(dòng)同步；誤差系統(tǒng)

Mathieu方程是一類含有激振力并帶有多個(gè)系數(shù)的非線性方程，具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為.因該方程能夠描述較為普遍的工程問題，如大型結(jié)構(gòu)支承頂桿的抗震問題，內(nèi)燃機(jī)配氣挺桿橫振和油田井架鉆桿的橫振等［1］.因此對(duì)其深入研究不僅具有一定的理論意義，也具有重要的實(shí)用價(jià)值.

自從混沌同步被提出以來，就在很多領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用［2－6］，已經(jīng)成為了科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題之一.但一般的同步方法都是針對(duì)自治系統(tǒng)提出的，適合于非自治系統(tǒng)的同步方法卻比較少，而且由于非自治系統(tǒng)形式都較復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)與其他系統(tǒng)間的異結(jié)構(gòu)同步就更加困難.針對(duì)于此，本文利用文獻(xiàn)［7］中提出的主動(dòng)同步法，對(duì)著名的Mathieu方程的同步進(jìn)行了研究.不僅利用該方法實(shí)現(xiàn)了2個(gè)不同初值的Mathieu方程間的自同步，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了Mathieu方程與非線性陀螺系統(tǒng)間的異結(jié)構(gòu)同步.數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法對(duì)非自治系統(tǒng)的有效性.

1 Mathieu方程的混沌

本文研究的一類Mathieu的方程為［8］：

這是一個(gè)非自治的時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)，其中δ，μ，n1，β1，β2，β3，β4，ε，α1，α2和ω1為系統(tǒng)的參數(shù).變量x1表示位移，x2表示速率，˙x2為加速度.

通過四階變步長Rung-Kutta方法，數(shù)值仿真出系統(tǒng)以周期激振力ε作為分岔參數(shù)在［7，10.5］區(qū)間內(nèi)變化的全局分岔圖.隨著參數(shù)ε的逐漸增大，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔（見圖1）.

當(dāng)參數(shù)取值為：δ＝0.5，n1＝3，μ＝3，β1＝5，β2＝0.7，α1＝1，α2＝1，β3＝0.5，β4＝0.5，ε＝10.5，ω2＝2，初值為（0.3，－0.15）時(shí)，系統(tǒng)（1）此時(shí)處于混沌運(yùn)動(dòng)，存在混沌吸引子，計(jì)算機(jī)模擬的該吸引子見圖2.

圖1 以周期激振力ε為控制參數(shù)的分岔圖

2 主動(dòng)同步

圖2 ε＝10.5時(shí)的混沌吸引子

利用文獻(xiàn)［7］中的主動(dòng)同步法分別研究系統(tǒng)（1）的自同步與異同步.

2.1 自同步

系統(tǒng)（1）與系統(tǒng)（2）即可達(dá)到自同步.計(jì)算可得當(dāng)d1＝0，d2＝2，d3＝17，d4＝0時(shí)，可滿足條件（6）式.

取系統(tǒng)參數(shù)為δ＝0.5，n1＝3，μ＝3，β1＝5，β2＝0.7，β3＝0.5，β4＝0.5，α1＝1，α2＝1，ε＝10.5，ω1＝2.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為x0＝（－0.3，0.15）和y0＝（0.3，－0.2），兩者均位于相同的吸引域內(nèi).數(shù)值仿真可得同步誤差收斂曲線（見圖3）.從圖3中可以看到控制器使得驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了同步.

2.2 異同步

為了實(shí)現(xiàn)Mathieu方程的異結(jié)構(gòu)同步，選用陀螺系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).因?yàn)榉蔷€性陀螺系統(tǒng)是非常特別的一類非自治系統(tǒng)，由于其在結(jié)構(gòu)、體積、成本方面的優(yōu)勢(shì)而廣泛應(yīng)用在航空、航天、航海和陸地車輛的導(dǎo)航與定位及油田勘探等軍事、民用領(lǐng)域中［9］.由于陀螺儀是慣性導(dǎo)航和慣性制導(dǎo)系統(tǒng)的基本測(cè)量元件，因此，其高精度、高質(zhì)量的工作性能與慣性系統(tǒng)所提供的載體姿態(tài)參數(shù)和導(dǎo)航定位參數(shù)的準(zhǔn)確性息息相關(guān).其力學(xué)模型如圖4所示.

圖3 系統(tǒng)（1）與系統(tǒng)（9）的同步誤差曲線

圖4 非線性陀螺儀的力學(xué)模型子

圖5 非線性陀螺系統(tǒng)的吸引子

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為x0＝（1，－1）和y0＝（－0.3，0.15），數(shù)值仿真可得同步誤差收斂曲線（如圖6所示）.從圖6中可以看到控制器使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（7）與響應(yīng)系統(tǒng)（8）在t＝4s左右快速達(dá)到了同步.

圖6 同步誤差收斂曲線

3 結(jié)論

本文對(duì)Mathieu方程的混沌同步進(jìn)行了研究，采用主動(dòng)控制方法實(shí)現(xiàn)了2個(gè)不同初值的Mathieu方程間的自同步，在此基礎(chǔ)上，利用主動(dòng)同步方法實(shí)現(xiàn)了Mathieu方程與非線性陀螺系統(tǒng)間的異結(jié)構(gòu)同步.Mathieu方程可以描述很多工程問題，所以對(duì)其混沌同步研究具有重要的意義.

［1］ 陳予恕，梅林濤.非線性參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)的共振分叉解［J］.中國科學(xué)，1990，9：938-945.

［2］ PECORA LM，CARROLL TL.Synchronization in chaotic systems［J］.Phys Rev Lett，1990，64（8）：821-824.

［3］ KOCREV L，PARLITZ U.Generalized synchronization，predictability and equivalence of unidirectionally coupled system［J］.Phys Rev Lett，1996，76（11）：1816-1819.

［4］ VINCENT UE，NJAH AN，AKINLADE O，et al.Phase synchronization in unidirectionally coupled chaotic ratchets［J］.Chaos，2004，14（4）：1018-1025.

［5］ LIAO TL.Adaptive synchronization of two Lorenz systems［J］.Chaos Solitons and Fractals，1998，9：1555-1561.

［6］ CHEN HK.Global chaos synchronization of a new chaotic system via nonlinear control［J］.Chaos Solitons and Fractals，2005，23：1245-1251.

［7］ 劉曉君，李險(xiǎn)峰，韓秀萍.新的主動(dòng)同步方法控制參數(shù)激勵(lì)混沌系統(tǒng)［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，34（1）：36-41.

［8］ 李險(xiǎn)峰，褚衍東，劉曉君，等.控制 Mathieu方程中混沌的三種方法分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26（1）：35-37.

［9］ YAU HT.Chaos synchronization of two uncertain chaotic nonlinear gyros using fuzzy sliding mode control［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22：408-418.

The chaos synchronization of the mathieu function based on the active synchronization method

LIU Xiao-jun1，LI Xian-feng2，DANG Hong－gang1，LIU Li1

（1.School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal College，Tianshui 741001，China；
2.School of Mathematics，Physics ＆Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

In the paper，the dynamics of the Mathieu function is studied through the global bifurcation diagram and attractor.The chaos synchronization of the Mathieu function is investigated.First，the self-synchronization of two Mathieu function with different initial conditions is realized by the active synchronization method.The active synchronization of the nonlinear gyros system and the Mathieu function is achieved by the active synchronization.Numerical simulations show that the method is effective for the Mathieu function.

Mathieu function；chaos；active synchronization；error system

O 322

110·44

A

1000-1832（2012）01-0067-05

2011-07-05

甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（096RJZE106）；天水師范學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目 （TSA1012）.

劉曉君（1980—），女，碩士，講師，主要從事非線性系統(tǒng)建模與數(shù)值計(jì)算.

石紹慶）