翟 佳，陳 桃

（1.重慶大學(xué)經(jīng)濟與工商管理學(xué)院，重慶 400030；2.云南廣播電視大學(xué)開放教育學(xué)院，云南昆明 650223）

弱向量變分不等式間隙函數(shù)的二階穩(wěn)定性分析

翟 佳1，陳 桃2

（1.重慶大學(xué)經(jīng)濟與工商管理學(xué)院，重慶 400030；2.云南廣播電視大學(xué)開放教育學(xué)院，云南昆明 650223）

利用穩(wěn)定性研究的思想，探討了弱向量變分不等式間隙函數(shù)的二階相依導(dǎo)數(shù)的閉性和下半連續(xù)性，并對其結(jié)論進行了實例說明.

弱向量變分不等式；穩(wěn)定性分析；間隙函數(shù)；二階相依導(dǎo)數(shù)

1 預(yù)備知識

穩(wěn)定性分析對于最優(yōu)化問題而言不僅具有理論意義，而且具有實際應(yīng)用價值.穩(wěn)定性分析也叫做定性分析，即對一族含參優(yōu)化問題的擾動映射的各種連續(xù)性進行研究.文獻［1］對集值映射以及目標空間中的擾動映射的一階相依導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性做出了很好的討論.文獻［2］研究了相對映射芽通用開折的唯一性和穩(wěn)定性.向量變分不等式是研究向量優(yōu)化問題的有力工具，而間隙函數(shù)又是研究向量變分不等式的重要手段.文獻［3］研究了弱向量變分不等式間隙函數(shù)的二階可微性和靈敏性.但目前還沒有文章對間隙函數(shù)的穩(wěn)定性進行研究，故我們在文獻［3］的基礎(chǔ)上，利用文獻［1］中穩(wěn)定性研究的思想，對向量變分不等式中間隙函數(shù)的二階相依導(dǎo)數(shù)的閉性和下半連續(xù)性展開了進一步的討論，并舉例加以說明.

本文中，設(shè)L（Rn，Rm）是從Rn到Rm的所有線性連續(xù)算子所組成的集合，并設(shè)K是Rn的一個子集，我們分別用intK和clK表示K的拓撲內(nèi)部和拓撲閉包.對任意l∈L（Rn，Rm），我們引入范數(shù)‖l‖L＝sup｛‖l（x）‖｜‖x‖≤1｝.因為Rm是有限維的，所以賦有以上范數(shù)的Banach空間L（Rn，Rm）也是有限維的.用R＋和R＋＋分別表示非負實數(shù)集和正實數(shù)集.設(shè)G：Rn→2Rm是一集值映射，G的域和圖分別記為：

ψ1和ψ2分別被稱為F在點x處的Fréchet導(dǎo)數(shù)和二階Fréchet導(dǎo)數(shù)，分別記為▽F（x）和▽2F（x）.如果對于任意的x∈Rn向量值函數(shù)F在點x處是二次Fréchet可微的，則稱F在Rn上是二次Fréchet可微的.顯然，▽F（·）：Rn→L（Rn，L（Rn，Rm））和▽2F（·）：Rn→L（Rn×Rn，L（Rn，Rm））都是向量值函數(shù)，其中L（Rn，L（Rn，Rm））表示所有從Rn到L（Rn，Rm）的線性連續(xù)算子所組成的集合，L（Rn×Rn，L（Rn，Rm））表示所有從Rn×Rn到L（Rn，Rm）的線性連續(xù)算子所組成的集合.

2 弱向量變分不等式的二階穩(wěn)定性

［1］LI S J.Sensitivity and stability for contingent derivative in multiobjective optimization［J］.Mathematica Applicata，1998，11（2）：49－53.

［2］郭瑞芝，劉林.相對映射芽通用開折的唯一性和穩(wěn)定性［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，43（3）：32－38.

［3］LI M H，LI S J.Second－order differential and sensitivity properties of weak vector variational inequalities［J］.J Optim Theory Appl，2010，144（1）：76－87.

［4］JAHN J，KHAN A A，ZEILINGER P.Second－order optimality conditions in set optimization［J］.J Optim Theory Appl，2005，125：331－347.

［5］JAHN J.Vector optimization－theory，applications and extensions［M］.Berlin：Springer，2004：48－49.

［6］AUBIN J P，F(xiàn)RANKOWSKA H.Set－Valued analysis［M］.Boston：Birkhauser，1990：171－215.

［7］WANG Q L，LI S J.Higher order sensitivity analysis in nonconvex vector optimization［J］.Journal of Industrial and Management Optimization，2010，6（2）：381－392.

Second－order stability analysis of gap functions for weak vector variational inequalities

ZHAI Jia1，CHEN Tao2
（1.College of Economics and Business Administration，Chongqing University，Chongqing 400030，China；2.Institute of Open Education，Yunnan Radio and TV University，Kunming 650223，China）

In this paper，the closeness and lower semiconuity of second－order contingent derivatives of gap functions is studied in weak vector variational inequalities.Finally，one example is given to illustrate the result.

weak vector variational inequalities；stability analysis；gap function；second－order contingent derivative

O 224

110·7480

A

1000－1832（2012）01－0019－04

2010－11－05

國家自然科學(xué)基金資助項目（1107126／A011201）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助項目（CDJXS10100022）.

翟佳（1983—），女，博士研究生，主要從事決策優(yōu)化的理論、方法及其應(yīng)用研究.

陶 理）