高智中，韓新風(fēng)，章毛連，2

（1.安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽 鳳陽 233100；

2.中國科學(xué)院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

一個新的四維超混沌系統(tǒng)及其電路仿真

高智中1，韓新風(fēng)1，章毛連1，2

（1.安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽 鳳陽 233100；

2.中國科學(xué)院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

為產(chǎn)生復(fù)雜的超混沌吸引子，基于一個三維混沌系統(tǒng)構(gòu)造了一個新的四維超混沌系統(tǒng).分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性、吸引子的相圖、系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等基本動力學(xué)特性.結(jié)果表明，新的四維超混沌系統(tǒng)隨著新引入的參數(shù)變化呈現(xiàn)周期、混沌及超混沌動力學(xué)行為.最后設(shè)計了一個模擬電路，通過實驗結(jié)果進(jìn)一步驗證了與數(shù)值仿真的一致性.

超混沌系統(tǒng)；相圖；分岔圖；Lyapunov指數(shù)圖；電路實現(xiàn)

1963年美國氣象學(xué)家Lorenz研究大氣層的熱對流問題時發(fā)現(xiàn)了第一個混沌系統(tǒng)［1］之后，研究人員在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形，構(gòu)造了許多新的三維自治混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)和Qi系統(tǒng)［2－5］.隨著人們對混沌現(xiàn)象及其動力學(xué)行為的不斷研究，混沌在工程領(lǐng)域的應(yīng)用已取得了一定進(jìn)展.然而三維混沌系統(tǒng)的帶寬相對較窄，基于混沌通訊的保密效果不是很好.1979年O.E.Rossler首次提出了超混沌Rossler系統(tǒng)［6］.超混沌系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)時具有2個或2個以上的正Lyapunov指數(shù)，相軌在更多方向上分離，其動力學(xué)行為更為復(fù)雜，難以預(yù)測.復(fù)雜的超混沌集可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性.因此，對超混沌的研究將是信息工程領(lǐng)域中混沌應(yīng)用的一個重要課題.近年來，受到了廣大科研工作者的普遍關(guān)注并報道了大量新的超混沌系統(tǒng)［7－19］.這些文獻(xiàn)表明目前構(gòu)造超混沌系統(tǒng)的方法有3種：（1）以三維自治混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)通過施加正余弦激勵信號而實現(xiàn)超混沌；（2）以三維自治混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)通過引入狀態(tài)反饋控制器，可以是線性的也可以是非線性的，然后把引入的狀態(tài)反饋控制器耦合到原來系統(tǒng)的一個或者多個方程中而實現(xiàn)超混沌，這是一種行之有效的方法；（3）直接構(gòu)造超混沌，這種方法較前兩種方法顯得比較困難，因為需要大量的時間對系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試.

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文基于文獻(xiàn)［20］提出的三維自治混沌系統(tǒng)，通過引入一個簡單的非線性控制器，可把其控制到超混沌狀態(tài).通過理論分析、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖、時間響應(yīng)圖等方法詳細(xì)分析了該新系統(tǒng)的復(fù)雜的動力學(xué)特性.最后設(shè)計了一個模擬電路，通過電路實驗結(jié)果進(jìn)一步驗證了與數(shù)值仿真的一致性.

1 新四維超混沌系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)［20］提出的三維自治混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可表示為：

當(dāng)參數(shù)a＝25.6，b＝66.8，c＝39.22，d＝0.2，e＝4時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

根據(jù)產(chǎn)生超混沌吸引子要滿足的幾個必要條件［6］，在上述三維系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過增加一個簡單的非線性狀態(tài)反饋控制器u，并增加一個關(guān)于u的一階微分方程，可得到如下新的四維超混沌系統(tǒng)：

式中m為新引入的參數(shù).當(dāng)參數(shù)a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時，利用 Wolf方法數(shù)值計算系統(tǒng)的4個Lyapunov指數(shù)分別為0.337 1，0.218 4，0和－26.436 1，說明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).此時系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為3.021，是分?jǐn)?shù)維數(shù)，從而從另一方面說明了系統(tǒng)在該組參數(shù)條件下處于超混沌狀態(tài).

2 新超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析

2.1 平衡點及其穩(wěn)定性

圖1 系統(tǒng)的超混沌吸引子在各平面上的投影

2.2 耗散性及有界性

2.3 新引入的參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響

非線性超混沌動力系統(tǒng)的動力學(xué)特性主要通過數(shù)值計算該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖來分析，通過觀察系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜，可以十分清楚地區(qū)分系統(tǒng)在不同參數(shù)控制區(qū)間所處的運動狀態(tài).在系統(tǒng)的4個Lyapunov指數(shù)中，有1個為0、3個為負(fù)數(shù)時系統(tǒng)處于周期態(tài)；2個為0、2個為負(fù)數(shù)時系統(tǒng)處于擬周期態(tài)；1個為正數(shù)、1個為0、2個為負(fù)數(shù)時系統(tǒng)處于混沌態(tài)；2個為正數(shù)、1個為0、1個為負(fù)數(shù)時系統(tǒng)處于超混沌態(tài).當(dāng)固定a＝20，b＝35，c＝5，變量x隨m在［0，70］變化的分岔圖（見圖2a）和Lyapunov指數(shù)譜圖（見圖2b）（這里略去了第4根Lyapunov曲線）.由圖2可見，系統(tǒng)隨著參數(shù)變化的運動情況一目了然.圖3分別給出了當(dāng)m＝34，40，62，70時，在xu平面上的典型的相軌跡圖，其中當(dāng)m＝34系統(tǒng)處于四周期狀態(tài)，當(dāng)m＝40系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)m＝62系統(tǒng)處于二周期狀態(tài)，當(dāng)m＝70系統(tǒng)處于一周期狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)的分岔圖（a）和Lyapunov指數(shù)譜圖（b）

圖3 系統(tǒng)的相軌跡在xu平面上的投影

2.4 非周期流

采用四階Runge-Kutta法對新超混沌系統(tǒng)求數(shù)值解，采樣步長為0.002s，在參數(shù)a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時得到該系統(tǒng)4個狀態(tài)變量的時間響應(yīng)圖如圖4所示，可見產(chǎn)生的時間序列具有非周期性，解的非周期流對初值極為敏感.

圖4 系統(tǒng)的時間響應(yīng)圖

3 新系統(tǒng)的電路設(shè)計與實現(xiàn)

超混沌系統(tǒng)的最直接最簡單的物理實現(xiàn)是通過電路來完成的，許多超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為都能通過電路得到驗證［21］.同樣，對于該新超混沌系統(tǒng)，也采用非線性電路來實現(xiàn)，并把電路仿真結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果做對比.用Multisim10.0軟件平臺設(shè)計了實現(xiàn)該電路的原理圖（如圖5所示）.新超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如方程組（1）所示.

圖5 超混沌系統(tǒng)仿真電路原理圖

考慮到各電子元件的耐壓特性，在設(shè)計電路時，先把混沌信號減小到原來的1／10，設(shè)：q＝10x，r＝10y，p＝10z，由于系統(tǒng)變量的變換，不影響系統(tǒng)的狀態(tài)及性能，從而令：x＝q，y＝r，z＝p，故系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變換為如方程組（2）所示.

根據(jù)方程組（2）各狀態(tài)量的數(shù)學(xué)方程設(shè)計的仿真電路如圖5所示.仿真電路中，采用了電容器、電阻、模擬乘法器和集成運算放大器，分別實現(xiàn)了加減運算、積分運算和非線性乘積項.根據(jù)非線性電路的特性和電路基本理論，得到圖5所示的仿真電路中各狀態(tài)量的數(shù)學(xué)方程如方程組（3）所示.

電路中各元件參數(shù)設(shè)置如下：C1＝C2＝C3＝C4＝1μF，R1＝35kΩ，R2＝50kΩ，R3＝10kΩ，R4＝100kΩ，R5＝R6＝R7＝1kΩ，R9＝2kΩ，R10＝50kΩ，R11＝R12＝1kΩ，R13＝200kΩ，R14＝2kΩ，R15＝50kΩ，R16＝1kΩ，R17＝5kΩ，R18＝50kΩ，R19＝1MΩ，R20＝4kΩ.在以上參數(shù)設(shè)置條件下，在Multisim10.0軟件平臺進(jìn)行仿真實驗，得到如圖6所示的超混沌相圖，圖7給出了系統(tǒng)的不同狀態(tài)對應(yīng)的相軌跡在xu平面上的投影的電路實現(xiàn)，圖8給出了系統(tǒng)處于超混沌運動的時間響應(yīng)圖的電路實現(xiàn)，由這些圖可看出，電路實現(xiàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.

圖8 系統(tǒng)的時間響應(yīng)的電路實現(xiàn)

4 結(jié)論

通過引入一個簡單的非線性控制器，基于一個三維自治混沌系統(tǒng)構(gòu)造了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性，重點研究了該系統(tǒng)隨著典型參數(shù)m的變化運動狀態(tài)在周期、混沌和超混沌之間的演變過程.通過理論分析、數(shù)值仿真和電路實現(xiàn)，可以得出幾點結(jié)論：本文所構(gòu)造的系統(tǒng)是一個超混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)相對簡單，具有復(fù)雜的動力學(xué)行為，且具有所有超混沌系統(tǒng)的共有特征；這個新的超混沌系統(tǒng)可以用電路來實現(xiàn)，實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的；本文中的分析方法具有普適性，對于其他低維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生超混沌運動具有一定啟示意義.

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A novel four-dimensinal hyperchaotic system and its circuit simulation

GAO Zhi-zhong1，HAN Xin-feng1，ZHANG Mao-lian1，2

（1.College of Science，Anhui Science and Technology University，F(xiàn)engyang 233100，China；
2.Institute of Plasm a Physics，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China）

In order to generate complex hyperchaotic attractor，a new four-dimensinal hyperchaotic system based on the three-dimensinal chaotic system is built in the paper.Some of its basic dynamical properties are studied briefly，such as the stability of equilibrium，the phase diagram of attractors，the bifurcation diagram and Lyapunov exponent.Results show that the new system's dynamics behavior can be periodic，chaotic and hyperchaotic as the new introduced parameter varies.Finally，an analog electronic circuit is designed to implement the new system，and the experimental results of the nonautonomous hyperchaotic circuit well agreed with the simulation results.

hyperchaotic system；phase diagram；bifurcation diagram；Lyapunov exponents diagram；circuit implementation

O 415.5

120·20

A

1000-1832（2012）01-0077-07

2011-03-25

安徽省優(yōu)秀青年人才基金資助項目（2012SQRL146）.

高智中（1979—），男，碩士，講師，主要從事混沌反控制研究.

石紹慶）