王浩華，羅 婷

（海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?570228）

數(shù)學(xué)建模素質(zhì)評估的定量分析

王浩華，羅 婷

（海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?570228）

針對海南大學(xué)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽的實(shí)際情況，應(yīng)用層次分析法和動態(tài)規(guī)劃的理論方法對數(shù)學(xué)建模隊(duì)員的選拔問題進(jìn)行了建模和分析.在兼顧公平選拔原則的基礎(chǔ)上，對學(xué)生素質(zhì)進(jìn)行了綜合評定，給出了最佳的分組原則.

層次分析法;動態(tài)規(guī)劃;權(quán)重;組隊(duì)原則

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已在各個高校中展開，并成為影響最大、參賽人數(shù)最多的大學(xué)生課外科技活動.海南大學(xué)1992年參賽以來，每次均取得了傲人的成績.為了形成培訓(xùn)選拔機(jī)制，量化管理，優(yōu)化參賽學(xué)生的質(zhì)量以期取得更好的成績，放眼未來，有必要對以前的工作做一些整理.為此，對海南大學(xué)學(xué)生在實(shí)際培訓(xùn)和選拔中就參賽隊(duì)員各方面的素質(zhì)予以評定，選取了選修筆試、機(jī)試、數(shù)學(xué)競賽獲獎、思維敏捷度、知識面、聽課次數(shù)、其他情況等方面進(jìn)行了考察（見表1），經(jīng)量化評定給出了得分表（見表2）.

1 模型假設(shè)

海南大學(xué)參賽學(xué)生主要來自于各個理工科學(xué)院，其教育背景和素質(zhì)起點(diǎn)大致相當(dāng)，故此，在整個參賽培訓(xùn)過程中假設(shè)各個隊(duì)員遵循以下假設(shè):

1）參賽隊(duì)員的外部環(huán)境相同，且不受其他隨機(jī)因素影響.在正式比賽的過程中，隊(duì)員都能發(fā)揮正常水平.

表1 選拔學(xué)生信息

表2 量化評定得分表

2）競賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項(xiàng)條件，且認(rèn)為表2中測量的數(shù)據(jù)都是客觀公正的.

3）數(shù)學(xué)建模選修成績、機(jī)試成績、數(shù)學(xué)競賽獲獎情況、思維敏捷程度、知識面寬廣程度、數(shù)學(xué)建模選修課聽課次數(shù)以及其他計算機(jī)應(yīng)用情況，這7項(xiàng)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模綜合能力的影響占主要地位，且影響程度是依次遞減的.

4）在組隊(duì)后各隊(duì)的發(fā)揮是相互獨(dú)立的，不受其他組的影響.

5）組隊(duì)后的整體水平由該隊(duì)每項(xiàng)的最佳隊(duì)員的指標(biāo)表征.

2 參賽隊(duì)員的選取

每個學(xué)生的基本條件由表1可知，該問題是半定量半定性、多因素的綜合選優(yōu)排序問題，是一個多目標(biāo)決策問題.為了從15名隊(duì)員中選出9名參賽者，主要利用層次分析法，分別計算各指標(biāo)對選擇隊(duì)員的權(quán)重，以及各隊(duì)員對各指標(biāo)的權(quán)重，然后綜合考察每個隊(duì)員的權(quán)重并進(jìn)行排名.

為了區(qū)分各項(xiàng)條件中的檔次差異，首先將各指標(biāo)量化，確定量化原則如下:

選修筆試成績按照滿分10分計;思維敏捷、機(jī)試和知識面的A，B，C，D等級分別按4分、3分、2分、1分計算;數(shù)學(xué)競賽沒獲獎按1分來計算，獲三等獎1次為2分，獲三等獎2次為3分，獲二等獎2次為5分，獲一等獎1次為6分，獲一等獎2次為7分;聽課次數(shù)按一次1分計;其他情況如選修過MATLAB的加1分，通過計算機(jī)三級考試的加2分;班級排名情況由于統(tǒng)計數(shù)據(jù)不是很全面，所以不能進(jìn)行量化，因此，這項(xiàng)指標(biāo)可以不予考慮.

2.1 層次分析法 從15名學(xué)生中選拔9名優(yōu)秀隊(duì)員作為目標(biāo)層，記為O;將刻畫隊(duì)員的7個指標(biāo)作為準(zhǔn)則層，記為C;將15名學(xué)生作為方案層，記為P;各隊(duì)員記為Si，i=1，2，3…，15，如圖1所示.

圖1 層次結(jié)構(gòu)圖

由假設(shè)可得，準(zhǔn)則層的7項(xiàng)指標(biāo)依次遞減，并認(rèn)為相鄰2項(xiàng)的差距不大，且都假設(shè)是相等的，這里都認(rèn)為相差為1，于是兩兩對比得如下比較矩陣A.

其計算步驟如下:

步驟1 將A的每一列向量歸一化得Vk（Tk，Xk）;

由以上步驟計算可得最大特征值λmax≈7.197 3，對應(yīng)特征向量

表3 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的值

由于準(zhǔn)則層C對目標(biāo)層O的權(quán)重為ω1，方案層P對準(zhǔn)則層C權(quán)重為ω2，則P對O的權(quán)重為

其組合一致性比率指標(biāo)為

因此，組合權(quán)重ω可作為目標(biāo)決策的依據(jù).根據(jù)權(quán)重，得到15人的排序結(jié)果如表5所示.

表4 P-C層的特征向量

表5 15人的最終排序結(jié)果

其權(quán)重見圖2.

圖2 15名隊(duì)員權(quán)重圖

故在15名學(xué)生中選取9名參賽隊(duì)員，即可認(rèn)為是選取權(quán)重排前9名的學(xué)生.由表5和圖2可知，依次為:S1，S6，S7，S4，S2，S8，S11，S10，S14.

3 最佳組隊(duì)方案的確定

3.1 組隊(duì)原則

命題1［2］在最佳組隊(duì)決策方案中，每個隊(duì)對目標(biāo)層O的權(quán)重一定不小于全體隊(duì)員（9名）對目標(biāo)層權(quán)重的幾何平均值，否則其組隊(duì)方案就不可能是最佳的.

由模型假設(shè)可知，各隊(duì)員的組隊(duì)原則遵循:

1）3名隊(duì)員的技術(shù)水平指標(biāo)可以互補(bǔ)，技術(shù)水平最高者為該隊(duì)的水平指標(biāo);

2）按上述命題求出9名隊(duì)員對目標(biāo)層O權(quán)重的幾何平均值，由表4按

3）任取3名隊(duì)員組合，求出相應(yīng)的技術(shù)水平指標(biāo)，取7個技術(shù)水平指標(biāo)之和為最高組隊(duì)方案.

3.2 最佳組隊(duì)原則 設(shè)（x，y，z）三名隊(duì)員組成的一個隊(duì)，則mi（x）為隊(duì)員x的第i項(xiàng)水平指標(biāo);Mi（x，y，

z）為隊(duì)員x，y，z組隊(duì)（x，y，z）的第i項(xiàng)水平指標(biāo);v（x，y，z）為技術(shù)水平指標(biāo)，則

最佳組隊(duì)是從15名隊(duì)員中選出x，y，z，使v（x，y，z）最大.

3.3 建立模型 分決策過程為3個階段，按組隊(duì)原則完成，每一階段確定一個隊(duì)，記:

決策變量:Xk=（x，y，z）k，k=1，2，3;

狀態(tài)變量:Tk，{k=1，2，3}，其中T1={x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9}，即T1={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9};

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:Tk+1=Tk－Xk，k=1，2，3;

允許決策集臺:Dk={（x，y，z）∶x，y，z，vk（x，y，z）≥，k=1，2，3};

指標(biāo)函數(shù):Vk（Tk，Xk）表示決策（一個組隊(duì)）關(guān)于狀態(tài)的技術(shù)水平指標(biāo)，即Vk（Tk，Xk）=M;

最優(yōu)值函數(shù):fk（Tk）表示在狀態(tài)Tk下確定的k（1≤k≤3）個組隊(duì)的技術(shù)水平指標(biāo)之和的最大值，則有逆序解法的基本方程

其中，Tk+1=Tk－Xk，k=1，2，3，經(jīng)計算得出組隊(duì)結(jié)果，見表6所示.

表6 最佳組隊(duì)原則下組隊(duì)結(jié)果

結(jié)合考察分組各隊(duì)員專業(yè)情況，最終分組情況如表7所示.

表7 組隊(duì)結(jié)果與隊(duì)員專業(yè)對比

由表7可以看出，此模型選拔和排隊(duì)都達(dá)到了使每組有較好知識結(jié)構(gòu)的目標(biāo).

3.4 模型的評價 采用隨機(jī)挑選原則來組隊(duì)，在15名隊(duì)員中共有C315=455種不同的組合方式，目標(biāo)函數(shù)為

用MATLAB編程統(tǒng)計可知，可能構(gòu)成組隊(duì)的方式有448種，分3個階段求解.

利用計算機(jī)將448種組合按權(quán)重的大小順序排序，然后通過模擬枚舉實(shí)驗(yàn)，得到最優(yōu)決策方案和每一個隊(duì)的競賽水平，結(jié)果如表8所示.

表8 枚舉法確定組隊(duì)結(jié)果

從表6和表8可以看到，在所有的組隊(duì)結(jié)果中最佳組隊(duì)原則下的組隊(duì)結(jié)果是最優(yōu)的.

4 結(jié)束語

一年一度的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是高等院校的重要賽事，指導(dǎo)教師應(yīng)本著對全校學(xué)生負(fù)責(zé)的態(tài)度，公平公正地對參賽隊(duì)員進(jìn)行選拔.學(xué)校要加大宣傳力度，進(jìn)一步擴(kuò)大選拔范圍，使更多的優(yōu)秀同學(xué)參賽，從而更好地優(yōu)化和完善參賽隊(duì)伍結(jié)構(gòu).同時也要加大投入力度，如師資和資金投入等.

學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，因此，教師要始終把數(shù)學(xué)建模意識貫穿于教學(xué)的全過程，尤其是要把數(shù)學(xué)建模思想和方法滲透到數(shù)學(xué)主干課程的教學(xué)中，只有這樣，才能更好地把數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動與數(shù)學(xué)教學(xué)改革融為一體，才能真正地提高教學(xué)質(zhì)量，并使廣大學(xué)生受益.

附錄程序1

［1］姜啟源.數(shù)學(xué)模型［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2003.

［2］韓中庚.最佳組隊(duì)方案及模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1997，27（2）:133－140.

［3］刁在筠.運(yùn)籌學(xué)［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2007.

［4］李志林，歐宜貴.數(shù)學(xué)建模及典型案例分析［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2008.

Quantitative Analysis of Quality Assessment about Mathematical Modeling

WANG Hao-hua，LUO Ting

（College of Information Science and Technology，Hainan University，Haikou 570228，China）

Based on the actual situation of mathematical modeling contest of Hainan University，Analytic Hierarchy Process（AHP）and the dynamic programming theory were used to construct the mathematical model for selecting the team member.Based on the principle of fairness，the students were evaluated and the best grouping principles were proposed.

AHP;dynamic programming;weight;grouping principle

O 221.3

A

1004－1729（2012）01－0009－07

2011－06－17

海南省教育廳高校科研資助項(xiàng)目（Hjsk2011-23）;海南大學(xué)教育教學(xué)科研資助項(xiàng)目（hdjy1005）

王浩華（1981－），男，湖北天門人，海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院講師，碩士.