伍惠鳳

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036；2.杭州春蕾中學(xué)，浙江杭州 310003）

關(guān)于3－Armendariz環(huán)

伍惠鳳1，2

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036；2.杭州春蕾中學(xué)，浙江杭州 310003）

研究了3－Armendariz環(huán)、約化環(huán)和古典商環(huán)之間的關(guān)系.設(shè)R是3－Armendariz環(huán)，Δ是環(huán)R上的中心正則元組成的乘法閉子集，則Δ－1R是3－Armendariz環(huán).設(shè)R是右Ore環(huán)，Q（R）是其古典右商環(huán)，則R是3－Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Q（R）是3－Armendariz環(huán).設(shè)I是環(huán)R的約化理想，如果R/I是3－Armendariz環(huán)，則R是3－Armendariz環(huán).并構(gòu)造了一些相關(guān)的例子.

Armendariz環(huán)；約化環(huán)；3－Armendariz環(huán)；商環(huán)

0 引 言

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)R是3－Armendariz環(huán)，Δ是R上的中心正則元組成的乘法閉子集.則Δ－1R是3－Armendariz環(huán).

推論1R是3－Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［x；x－1］是3－Armendariz環(huán).

證明 假設(shè)R是3－Armendariz環(huán)，由［4］有R［x］是3－Armendariz環(huán).令Ω＝｛x，x2，x3，…｝，則Ω是R［x］的一個(gè)乘法閉子集.因?yàn)镽［x；x－1］＝ΩR［x］，從而由定理1知R［x；x－1］是3－Armendariz環(huán).由于3－Armendariz環(huán)的子環(huán)是3－Armendariz環(huán)，所以充分性是顯然的.

定理2 設(shè)R是右Ore環(huán)，Q（R）是其古典右商環(huán)，則R是3－Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Q（R）是3－Armendariz環(huán).

證明 只需證明：如果R是3－Armendariz環(huán)，則Q（R）是3－Armendariz環(huán).

稱I是環(huán)R的約化理想，如果對(duì)任意a∈I，a2＝0，則a＝0.運(yùn)用Yang［4］的證明方法可得：約化環(huán)是3－Armendariz環(huán).

定理3 設(shè)I是環(huán)R的約化理想.如果R/I是3－Armendariz環(huán)，則R是3－Armendariz環(huán).

推論2 設(shè)R是約化環(huán)，則R［［x］］是3－Armendariz環(huán).

證明 令I(lǐng)＝（x）＝｛a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…｜ai∈R｝.容易驗(yàn)證R［［x］］/I?R.因?yàn)镽是約化環(huán)，I是約化環(huán)，所以R［［x］］/I是3－Armendariz環(huán).由定理3得R［［x］］是3－Armendariz環(huán).

定理4 設(shè)R是約化環(huán)，I是R的理想.則

是3－Armendariz環(huán).

證明 應(yīng)用［2，命題2.5］的證明方法即可得.

推論3 設(shè)R是約化環(huán)，則

是3－Armendariz環(huán)（參見［4，定理2］）.

證明 令I(lǐng)＝R.

推論4 如果R是約化環(huán)，I是R的理想.則

是3－Armendariz環(huán).

證明 設(shè)

由推論3，易得S′?S，故S′是3－Armendariz環(huán).因?yàn)門是S′的子環(huán)，所以T是3－Armendariz環(huán).例如：

設(shè)Z是整數(shù)環(huán)，則

是3－Armendariz環(huán)（不含有單位元）.

［1］Armendariz E P.A note on extensions of Bear and P.P.－rings［J］.J Aust Math Soc，1974，18：470－473.

［2］Rege M B，Chhawchharia S.Armendariz rings［J］.Proc Japan Acad Ser A：Math Sci，1997，73（1）：14－17.

［3］Kim N K，Lee Y.Armendariz rings and reduced rings［J］.J Algebra，2000，223：477－488.

［4］Yang Suiyi.On the extension of Armendariz rings［D］.Lanzhou：Lanzhou University，2008.

［5］Goodearl K R，Warfield R B Jr.An introduction to noncommutative noetherian rings［M］.2nd ed.Cambrige：Cambrige University Press，2004.

On 3－Armendariz Rings

WU Hui－feng1，2

（1.College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China；2.Hangzhou Chunlei Middle School，Hangzhou 310003，China）

The paper researched on the relations among 3－Armendariz rings，reduced rings and classical quotient rings.LetRbe a 3－Armendariz ring andΔbe a multiplicative closed subset inRconsisting of central regular elements，thenΔ－1Ris a 3－Armendariz ring.LetRbe a right Ore ring andQ（R）be its classical right quotient ring，thenRis 3－Armendariz ring if and only if so isQ（R）.LetIbe a reduced ideal of a ringR，ifR/Iis a 3－Armendariz ring，then so isR.Related examples were constructed as well.

Armendariz ring；reduced ring；3－Armendariz ring；quotient ring

O153.3 MSC2010：16E99；13F20

A

1674－232X（2012）06－0534－03

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.012

2012－05－03

伍惠鳳（1982—），女，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事代數(shù)研究.E－mail：yaya57278570＠163.com