伍惠鳳

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

Armendariz環(huán)的推廣

伍惠鳳

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

引入強(qiáng)3－Armendariz環(huán)的概念，運(yùn)用環(huán)論的一般研究方法研究了它的性質(zhì)，證明了強(qiáng)3－Armendariz環(huán)的子環(huán)和直積是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，以及一定條件下的商環(huán)和映射環(huán)是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

強(qiáng)3－Armendariz環(huán)；商環(huán)；直積；映射環(huán)

容易驗(yàn)證R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，則R是3－Armendariz環(huán).但是反之不一定成立.由［2，例2.1］知：R是Armendariz環(huán)，從而是3－Armendariz環(huán).但是環(huán)R＝（F＋A）/I不是是冪級(jí)數(shù)Armendariz環(huán)，類似的方法易證得R不是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

命題1 強(qiáng)3－Armendariz環(huán)的子環(huán)和直積是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

證明 顯然，強(qiáng)3－Armendariz環(huán)的子環(huán)是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

定義2 設(shè)S是環(huán)，A＝｛f｜f：S→R｝，定義A上加法和乘法如下：f＋g：（f＋g）（s）＝f（s）＋g（s），f·g：（f·g）（s）＝f（s）·g（s），稱A是R－環(huán).（見文獻(xiàn)［3］）

定理1 如果R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，則R－環(huán)A是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

定理2 設(shè)A和B是R的理想.若R/A是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，則R/（A：B）是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

推論1 設(shè)R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).如果I是R的理想，則R/lR（I）是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

證明lR（I）＝（0∶I）＝｛x∈R｜xR＝0｝，R/（0）＝R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，由定理2得R/lR（I）＝R/（0∶I）是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

命題2 設(shè)R是abelian環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)；

2）對(duì)于R的任意冪等元e，eR和（1－e）R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)；

3）對(duì)于R的某一個(gè)冪等元e，eR和（1－e）R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

其中，（1－e）R：＝｛r－er｜r∈R｝.

證明 （1）?（2）.因?yàn)镽是abelian環(huán)，e是R的冪等元，易證得eR是R的子環(huán).對(duì)于任意（1－e）r1，（1－e）r2∈R，（1－e）r1－（1－e）r2＝（1－e）（r1－r2）∈（1－e）R；（1－e）r1（1－e）r2∈（1－e）R，故（1－e）R是R的子環(huán).因?yàn)镽是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，而強(qiáng)3－Armendariz環(huán)的子環(huán)是強(qiáng)3－Armendariz環(huán)，所以對(duì)于R的任意冪等元e，eR和（1－e）R是強(qiáng)3－Armendariz環(huán).

（2）?（3）.顯然.

［1］Rege M B，Chhawchharia S.Armendariz rings［J］.Proc Japan Acad Ser A Math Sci，1997，73（1）：14－17.

［2］Kim N K，Lee K H，Lee Y.Power series rings satisfying a zero divisor porperty［J］.Comm Algebra，2006，34（6）：2205－2218.

［3］楊隨義.關(guān)于Armendariz環(huán)的推廣［D］.蘭州：蘭州大學(xué)，2008.

Extensions of Armendariz Rings

WU Hui－feng

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper introduced the concept of strongly 3－Armendariz ring，and used general research approaches of ring theory to investigate its properties.The results prove that the subring and direct product of strongly 3－Armendariz ring are strongly 3－Armendariz rings，and the quotient ring and map ring are strongly 3－Armendariz rings under certain conditions.

strongly 3－Armendariz ring；quotient rings；direct product；map ring

O153.3 MSC2010：16E99；13F20

A

1674－232X（2012）01－0065－02

11.3969/j.issn.1674－232X.2012.01.014

2011－03－11

伍惠鳳（1982—），女，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事代數(shù)研究.E－mail：yaya57278570＠163.com