俞蘊(yùn)妮， 洪 霞

(1.南昌師范高等專科學(xué)校 自然科學(xué)系， 江西 南昌 330029； 2.江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息系, 江西 南昌 330032)

Hinkkanen和Martin[1-2]研究了由一族有理函數(shù){h1,h2,…,hn,…}生成的一個半群H的動力系統(tǒng)，其中半群算子是函數(shù)的復(fù)合.與古典Fatou-Julia理論相似地定義了半群H的Fatou集和Julia集，并得到與古典理論極為相似的一些動力性質(zhì).后來，關(guān)于這方面有著很多的研究，如Sumi[3],Poo[4],Huang[5].

設(shè)H是一個由一族超越整函數(shù){h1,h2,…,hn,…}生成的一個半群，其中半群算子是函數(shù)的復(fù)合.定義H的Fatou集為F(H)={z∈C|H在z的某個鄰域上正規(guī)}以及H的Julia集為J(H)=CF(H).同時，對于z∈C，定義O-(z)={ω∈C存在一個g∈H滿足g(ω)=z}以及H的例外點(diǎn)集E(H)={z∈C︱O-(z)是有限的}.

Hiroki Sumi在文獻(xiàn)[3]中討論了當(dāng)G是有理半群的情形，得到了跟古典Fatou-Julia理論中相似的關(guān)于有理半群的斜積的Fatou集和Julia集的一些基本性質(zhì)，但是并沒有給出一個完整的證明.稱一個集合M在某個映射ɡ下是完全不變的，指的是z∈M當(dāng)且僅當(dāng)ɡ(z)∈M.

TheoremAG=〈f1,f2,…,fm〉是一個有限生成有理半群，則

仿照Sumi的證明，不加證明給出下列結(jié)果.

定理11)G是一個由一族有限個超越整函數(shù){f1,f2,…,fm}生成的半群.令Gn={ɡ∈G︱ɡ =…fω n° …°fω 1}, 其中n∈N，ωj∈{1,2,…,m}，j=1,2,…,n,…,則有J(Gn) = (fω n° …°fω 1)-1(J(G))；

下面，給出本文的主要結(jié)果.

定理2令S={(ω,x)∈C|存在x的一個開鄰域U和ω的一個開鄰域V，使得對于每個α∈V，函數(shù)族{fα n° …°fα 1} 在U內(nèi)正規(guī)，n∈N}，則有

證明1)若x∈F(G)，則存在x的一個鄰域V，G在V內(nèi)正規(guī).任取一個ω∈Σm，都可以找到一個(ω，x)的一個鄰域(Σm，V)，使得對于任意的v∈Σm,函數(shù)族(fvn° …°fv1)在V內(nèi)正規(guī)，即(ω,x)∈S，則存在S中的一元(ω,x)，使得π2(ω,x)=x，從而x∈π2(s).

假定x∈(fω n° …°fω 1)-1(F(G))，其中n∈N，ωj∈{1,2,…,m}，j=1,2,…,n.因?yàn)镕(G)是開集，所以可以取x的一個足夠小的鄰域V，使得fω n° …°fω 1(V)?F(G).那么，取ω的一個鄰域?yàn)閁n={α∈Σm|

αj=ωj,j=1,2,…,n}以及x的一個鄰域?yàn)閂.則(Un,V)為(ω,x)的一個鄰域，且對于任意的α∈Un，函數(shù)族{…fα n° …°fα 1} 在V內(nèi)正規(guī).這是因?yàn)楹瘮?shù)族{ …fα n° …°fα 1} 在V內(nèi)正規(guī)等價于函數(shù)族{ …°fα n + 2°fα n + 1} 在fω n° …°fω 1(V)內(nèi)正規(guī),由fω n° …°fω 1(V)?F(G)可知這是顯然的.所以有(ω,x)∈S且π2(ω,x)=x，從而x∈π2(s).

從而有

(1)

參考文獻(xiàn)：

[1] HINKKANEN A，MARTIN G J.The dynamics of semigroups of rational function I[J].Proc.London Math.Soc.,1996,73(3):358-384.

[2] HINKKANEN A，MARTIN G J.Julia sets of rational semigroup[J].Math.Z.,1996，222:161-169.

[3] SUMI H.Skew product maps related to finitely generated rational semigroups[J].Nonlinearity, 2000,13:995-1019.

[4] POON K K. Fatou-Julia theory of transcendental semigroups[J].Bull.Austral.Math.Soc.，1998 ，58:403-410.

[5] 黃志剛.He dynamics of semigroups of transcendental meromorphic functions[J].Tsinghua Science and Technology，2004,9(4):472-474.