群速度色散對雙曲正弦高斯脈沖傳輸?shù)挠绊?/h1>
2012-12-22 11:46:58宋秀玲
重慶三峽學(xué)院學(xué)報 2012年3期
宋秀玲
（晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械與電子工程系，山西晉城 048000）
隨著社會信息化的發(fā)展，光纖通訊現(xiàn)已成為各國的主要傳輸手段，正向著長距離和全光網(wǎng)絡(luò)化方向發(fā)展.光纖的損耗、色散和非線性效應(yīng)是限制光脈沖傳輸性能的主要因素.隨著光放大器的出現(xiàn)，損耗不再是制約光纖傳輸?shù)闹匾蛩?，而光纖色散成了高速光纖通訊必須解決的重要問題之一.
由于光源發(fā)射的光脈沖形狀和高斯脈沖形狀接近，所以人們對高斯脈沖進行了詳細的研究，并得到了很多有用的結(jié)論.雖然許多激光器發(fā)射的脈沖近似為高斯脈沖，但也存在著一大類光束，如：雙曲正割脈沖、雙曲余弦高斯脈沖、雙曲正弦脈沖等，這類光束攜帶有限能量，為平方可積類光束，并且可在實驗室中利用特殊的切趾光闌或光腔產(chǎn)生.[1]本文選取其中有代表性的一類光束——雙曲正弦高斯脈沖光束，對其在色散介質(zhì)中的傳輸情況進行研究，特別是光脈沖傳輸過程中的光強形狀演變及脈寬和展寬因子隨啁啾因子的變化，并對其做了詳細的分析和討論.
1 基本傳輸模型
如果只考慮光脈沖在單模光纖中傳輸時的色散效應(yīng)，NLS方程可簡化為
該方程是一線性微分方程，可直接利用傅里葉方法求解，方程（1）的通解為：
是入射光場在z=0處的傅里葉變換.
2 群速度色散對無啁啾雙曲正弦高斯脈沖傳輸?shù)挠绊?/h2>
初始入射無啁啾雙曲正弦高斯光脈沖的場分布為：[2]
sinh為雙曲正弦函數(shù)，Ω是雙曲正弦項的有關(guān)參數(shù)，T0是高斯激光脈沖的半寬度，A0是脈沖的振幅.為了分析起見，將上式改寫為：[2]
其中Ω0=ΩT.由上式可以看出，雙曲正弦高斯脈沖可以通過兩個相位相反的高斯脈沖疊加獲得.[3]進一步對雙曲正弦高斯脈沖（4）作歸一化處理，得到其歸一化形式為：[2]
其中τ=T/T0.圖1為無啁啾雙曲正弦高斯激光脈沖入射面的場分布情況.由圖1可以看出：無啁啾雙曲正弦高斯脈沖入射脈沖的寬度隨著正弦參量Ω0的增大而變大，同時強度隨著正弦參量Ω0的增大而減小.由于雙曲正弦高斯激光脈沖形狀復(fù)雜，所以該脈沖的脈寬由均方根來精確描述，均方根的時間脈寬σ定義為：[4]
其中
當(dāng)光脈沖在光纖中傳輸時會同時受到色散和非線性效應(yīng)的影響；當(dāng)脈沖的功率很低或色散長度很小時，脈沖在光纖中的傳輸主要受色散效應(yīng)的影響.下面我們主要分析群速度色散影響下雙曲正弦高斯脈沖的傳輸情況.
圖1 雙曲正弦高斯脈沖在入射場的光強隨Ω0變化的歸一化圖
由（2）～（4）式可得到群速度色散影響下雙曲正弦高斯脈沖在光纖中傳輸任一段距離z后的振幅為：[2]
s=±1，s的正負取決于GVD參量2β的符號.把（8）式代入（7）式可得到傳輸距離z后雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子為：[2]
上式中：
圖2給出了正弦參量Ω0對無啁啾雙曲正弦高斯脈沖在光纖中傳輸時展寬因子的影響.由圖2可以看出：無啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子與高斯脈沖的展寬因子一樣都是隨著傳輸距離 z/LD的增大在單調(diào)展寬，但是在傳輸距離z/LD一定時，正弦參量Ω0越大，展寬因子越小.與高斯脈沖相比，群速度色散影響下無啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬比高斯脈沖的展寬要緩慢得多.
圖3是無啁啾雙曲正弦高斯脈沖強度分布隨傳輸距離變化情況.從圖上明顯看到，在傳輸過程中，該脈沖不能保持自身的場分布形式不變，隨著傳輸距離的增大，光強愈集中于中心，但同時光強分布出現(xiàn)旁瓣，[1]即脈沖的形狀發(fā)生了改變；而在高斯脈沖中，隨著傳輸距離的增大，脈沖只是發(fā)生了展寬，自身形狀并不發(fā)生改變.這可以更清楚地從其包絡(luò)演化圖和等高線圖上看到，圖4是無啁啾雙曲正弦高斯脈沖隨傳輸距離的演化圖.
圖4 雙曲正弦高斯脈沖的演化
3 群速度色散對啁啾雙曲正弦高斯脈沖傳輸?shù)挠绊?/h2>
下面我們考慮帶有初始啁啾的雙曲正弦高斯脈沖，其入射場形式為：[2]
對該脈沖作歸一化處理，得到啁啾雙曲正弦高斯脈沖的歸一化強度分布：[2]
圖5給出了啁啾雙曲正弦高斯激光脈沖入射面的場分布情況，由圖可以看出：該啁啾雙曲正弦高斯脈沖的強度分布隨Ω0的變化與不帶啁啾時一樣，入射脈沖的寬度隨著正弦參量Ω0的增大而變大，而強度隨著正弦參量Ω0的增大而減小.已經(jīng)得到驗證，初始啁啾并不影響雙曲正弦高斯入射激光脈沖的形狀和強度分布.[4]因而啁啾雙曲正弦高斯脈沖的初始均方根脈寬與高斯脈沖的初始均方根脈寬的比值特征與不帶啁啾時也是相同的.
把（10）式代入（2）、（3）式得到群速度色散影響下啁啾雙曲正弦高斯脈沖在光纖中任一點z處的振幅為：[2]
把（12）式代入（7）式可得到啁啾雙曲正弦高斯脈沖的歸一化展寬因子為：
為了說明正弦參量Ω0對啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子的影響，得出初始啁啾雙曲正弦高斯激光脈沖在反常色散區(qū)傳輸時，其展寬因子隨傳輸距離的變化曲線圖 6.由圖可以看出：啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子與高斯脈沖的展寬因子相似：當(dāng)β2C＞0時，如圖（a），脈沖的展寬因子在單調(diào)增大，同時還與正弦參量有關(guān)，正弦參量取值越小，脈沖的展寬因子略大；β2C＜0時，如圖（b），脈沖有個窄化過程，并且正弦參量的取值越大，脈沖出現(xiàn)窄化的傳輸距離越遠，脈沖窄化的程度越大.與啁啾高斯脈沖相比，啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬速度要緩慢的多.
圖7是啁啾雙曲正弦高斯脈沖隨著傳輸距離的演化情況.由于是在反常色散區(qū)β2＜0傳輸?shù)?，因此?dāng)C＞0時可以看到啁啾雙曲正弦高斯脈沖經(jīng)歷了一窄化過程，而后迅速展寬；而在C＜0時，啁啾雙曲正弦高斯脈沖單調(diào)迅速展寬.對于正常色散區(qū)的情況，改變啁啾參量C的符號可得到相同的結(jié)果.
4 結(jié) 論
本文主要討論了雙曲正弦高斯光脈沖在單模光纖內(nèi)傳輸時的色散效應(yīng)，研究了該激光脈沖在光纖中的演變過程，給出了展寬因子的解析式，詳細分析展寬因子與雙曲正弦高斯光脈沖參數(shù)Ω0、啁啾參量C以及GVD參量β2的關(guān)系.結(jié)果表明：雙曲正弦高斯光脈沖在入射時的光強分布與參數(shù)Ω0有關(guān).當(dāng)β2C＜0時，展寬因子會出現(xiàn)初期窄化過程；當(dāng)β2C＞0時，雙曲正弦高斯光脈沖的展寬因子隨著傳輸距離的增加單調(diào)增大.不同的激光脈沖在相同的色散介質(zhì)中傳輸時，其色散效應(yīng)不同.
圖6 β2＜0時啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子隨正弦參量和傳輸距離的變化
[1]馬虹，呂百達，張彬.雙曲正弦高斯光束及其變換特性的研究[J].中國激光，2000（8）.
[2] S.Konar,Soumendu Jana,Linear and nonlinear propagation of sinh-Gaussian pulses in dispersive media possessing Kerr nonlinearity. Optics Communications[J],2004.236.()..
[3]劉浩，王黎，高曉蓉.余弦－高斯激光脈沖在單模光纖中的色散效應(yīng)[J].光電工程，2005（12）.
[4][美]G.P.Agrawal.非線性光纖光學(xué)原理及應(yīng)用[M].賈東方，等譯.北京：電子工業(yè)出版社，2002.
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由于光源發(fā)射的光脈沖形狀和高斯脈沖形狀接近，所以人們對高斯脈沖進行了詳細的研究，并得到了很多有用的結(jié)論.雖然許多激光器發(fā)射的脈沖近似為高斯脈沖，但也存在著一大類光束，如：雙曲正割脈沖、雙曲余弦高斯脈沖、雙曲正弦脈沖等，這類光束攜帶有限能量，為平方可積類光束，并且可在實驗室中利用特殊的切趾光闌或光腔產(chǎn)生.[1]本文選取其中有代表性的一類光束——雙曲正弦高斯脈沖光束，對其在色散介質(zhì)中的傳輸情況進行研究，特別是光脈沖傳輸過程中的光強形狀演變及脈寬和展寬因子隨啁啾因子的變化，并對其做了詳細的分析和討論.
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sinh為雙曲正弦函數(shù)，Ω是雙曲正弦項的有關(guān)參數(shù)，T0是高斯激光脈沖的半寬度，A0是脈沖的振幅.為了分析起見，將上式改寫為：[2]
其中Ω0=ΩT.由上式可以看出，雙曲正弦高斯脈沖可以通過兩個相位相反的高斯脈沖疊加獲得.[3]進一步對雙曲正弦高斯脈沖（4）作歸一化處理，得到其歸一化形式為：[2]
其中τ=T/T0.圖1為無啁啾雙曲正弦高斯激光脈沖入射面的場分布情況.由圖1可以看出：無啁啾雙曲正弦高斯脈沖入射脈沖的寬度隨著正弦參量Ω0的增大而變大，同時強度隨著正弦參量Ω0的增大而減小.由于雙曲正弦高斯激光脈沖形狀復(fù)雜，所以該脈沖的脈寬由均方根來精確描述，均方根的時間脈寬σ定義為：[4]
其中
當(dāng)光脈沖在光纖中傳輸時會同時受到色散和非線性效應(yīng)的影響；當(dāng)脈沖的功率很低或色散長度很小時，脈沖在光纖中的傳輸主要受色散效應(yīng)的影響.下面我們主要分析群速度色散影響下雙曲正弦高斯脈沖的傳輸情況.
圖1 雙曲正弦高斯脈沖在入射場的光強隨Ω0變化的歸一化圖
由（2）～（4）式可得到群速度色散影響下雙曲正弦高斯脈沖在光纖中傳輸任一段距離z后的振幅為：[2]
s=±1，s的正負取決于GVD參量2β的符號.把（8）式代入（7）式可得到傳輸距離z后雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子為：[2]
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圖2給出了正弦參量Ω0對無啁啾雙曲正弦高斯脈沖在光纖中傳輸時展寬因子的影響.由圖2可以看出：無啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子與高斯脈沖的展寬因子一樣都是隨著傳輸距離 z/LD的增大在單調(diào)展寬，但是在傳輸距離z/LD一定時，正弦參量Ω0越大，展寬因子越小.與高斯脈沖相比，群速度色散影響下無啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬比高斯脈沖的展寬要緩慢得多.
圖3是無啁啾雙曲正弦高斯脈沖強度分布隨傳輸距離變化情況.從圖上明顯看到，在傳輸過程中，該脈沖不能保持自身的場分布形式不變，隨著傳輸距離的增大，光強愈集中于中心，但同時光強分布出現(xiàn)旁瓣，[1]即脈沖的形狀發(fā)生了改變；而在高斯脈沖中，隨著傳輸距離的增大，脈沖只是發(fā)生了展寬，自身形狀并不發(fā)生改變.這可以更清楚地從其包絡(luò)演化圖和等高線圖上看到，圖4是無啁啾雙曲正弦高斯脈沖隨傳輸距離的演化圖.
圖4 雙曲正弦高斯脈沖的演化
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把（10）式代入（2）、（3）式得到群速度色散影響下啁啾雙曲正弦高斯脈沖在光纖中任一點z處的振幅為：[2]
把（12）式代入（7）式可得到啁啾雙曲正弦高斯脈沖的歸一化展寬因子為：
為了說明正弦參量Ω0對啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子的影響，得出初始啁啾雙曲正弦高斯激光脈沖在反常色散區(qū)傳輸時，其展寬因子隨傳輸距離的變化曲線圖 6.由圖可以看出：啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子與高斯脈沖的展寬因子相似：當(dāng)β2C＞0時，如圖（a），脈沖的展寬因子在單調(diào)增大，同時還與正弦參量有關(guān)，正弦參量取值越小，脈沖的展寬因子略大；β2C＜0時，如圖（b），脈沖有個窄化過程，并且正弦參量的取值越大，脈沖出現(xiàn)窄化的傳輸距離越遠，脈沖窄化的程度越大.與啁啾高斯脈沖相比，啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬速度要緩慢的多.
圖7是啁啾雙曲正弦高斯脈沖隨著傳輸距離的演化情況.由于是在反常色散區(qū)β2＜0傳輸?shù)?，因此?dāng)C＞0時可以看到啁啾雙曲正弦高斯脈沖經(jīng)歷了一窄化過程，而后迅速展寬；而在C＜0時，啁啾雙曲正弦高斯脈沖單調(diào)迅速展寬.對于正常色散區(qū)的情況，改變啁啾參量C的符號可得到相同的結(jié)果.
4 結(jié) 論
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圖6 β2＜0時啁啾雙曲正弦高斯脈沖的展寬因子隨正弦參量和傳輸距離的變化
[1]馬虹，呂百達，張彬.雙曲正弦高斯光束及其變換特性的研究[J].中國激光，2000（8）.
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