趙臨龍

（安康學院數學與應用數學研究所，陜西安康 725000）

2003年北京市高考數學試題中出現(xiàn)蝴蝶定理變形題.

命題1 如圖1.橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0，r) (b>r>0)，直線y=k1x和y=k2x交橢圓分別于C(x1，y1)、D(x2，y2)和G(x3，y3)、H(x4，y4)，（其中y2＞0，y4＞0）.CH、DG分別交x軸于點P、Q.求證：|OP|=|OQ|(不考慮CH、GD垂直于x軸的情形).

圖1

圖2

由于命題1為著名的蝴蝶定理的變形題，所以才引起了人們的極大關注和研究熱情[1-8].因此，從另一個側面也暴露出了研究的一些不良傾向，這也是當前我國初數研究中存在的不良傾向.

1 初數研究重外輕內

歷史上，由于西方國家更重視理性思辨，從而導致了《歐氏幾何》這部偉大著作的產生，它將平面幾何研究作為人們消遣欣賞的游戲，而在中國，由于人們更重視研究的實用性，從而遠離了幾何游戲，但卻產生了具有影響的《九章算術》這樣的解題術.這就是說，平面幾何研究的成果，大都出自外國人.時至今日，要想在古老的初數研究中作出驚人的成績，對中國人來說更是不易.因此，我們有必要對國人的研究成果加以弘揚，以增強我們的自信心，而不是只介紹國外成果.文[6]在介紹蝴蝶定理證法和定理的拓廣時，涉及國人的研究成果非常之少，僅在定理變形中，提到1990年的中國數學奧林匹克選拔題.

命題2（箏形蝴蝶定理） 如圖2.在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，過AC，BD的交點O引直線EF、GH分別交AB、CD于E、F及交DA、BC于G、H.EH、GF分別交BD于P、Q，則OP=OQ.

實際上，國人在蝴蝶定理的研究中，同樣取得了令人驕傲的成績.1993年，劉海蔚、陳舉、鄧御寇[9]在其《高等幾何》教材中，用射影幾何方法給出蝴蝶定理的證明.

如圖3.過圓O弦AB中點M引兩弦CD、EF，CF、DE分別交AB于P、Q.

現(xiàn)設CF與DE及CE與DF分別交于I，J，則IJ為圓O關于M點的極線，于是OM⊥IJ.

圖3

圖4

2001年，王紹恒，王昌成[10]也利用射影幾何知識，給出蝴蝶定理的一個證法.

如圖3.圓O，直線對DC和EF及CF和DE分別交直線AB于M、M及P、Q.由代沙格對合定理，知這三對點A、B；M、M及P、Q屬于同一對合中的對應點，由M點為AB中點，知該對合是以M為中心的對稱變換，于是P、Q必是關于M為中心的對稱點，即PM＝MQ.

在命題的推廣中，我們也取得了較好的成果.

1995年，趙臨龍[11]將AB上的點M移至AB弦外，給出結論.

命題3 如圖4.過圓內一點M引兩弦CD，HG分別交弦AB于E’、F’，HC、DG分別交AB于E、F，記AE’＝a，BF’=b，EE’=X，F(xiàn)F’=y，E’F’=d，則顯然，當d=0，即E’、F’、M三點合于AB上一點，這為坎迪(A.L.Candy)蝴蝶形式.

1998年，趙臨龍[12]利用射影幾何知識，給出n條二次曲線的蝴蝶定理結論.

命題4 設過平面四異點C、D、G、H的n條二次曲線ri(i>2，且ri非退化成直線對CD與GH)，交有向直線X于兩點Ai，Bi，對CD與GH、CH與DG分別交軸X于E’、F’；E、F，記有向線段數量E’Ai=ai，F(xiàn)’Bi=bi，EE’=x，F(xiàn)’F=y，E’F’=d,則

此結果已被《中國數學文摘》和《美國數學評論》摘錄，這無疑提高了國人在初數研究中的知名度.

2000年，趙臨龍與其學生馬念珠，廖偉[13]又利用射影幾何知識，給出命題2的一個證明.

如圖2.折六邊形BHGDFE的三雙對邊DH與DF，GH與FE，GD與EB的交點C、O、A共線，則由帕斯卡（Pasca）定理，知六邊形內接于一二次曲線.此時，AB=AD、CB=CD,則AC為BD的中垂線，即PO=OQ.

本證法，真正將蝴蝶定理作為定理在應用.

2001年，TI杯全國初中數學競賽有蝴蝶定理變形題.

圖5

圖6

2004年，權大學，趙臨龍[13]又給出推廣結論.

命題7 如圖7.過相交于點M的兩直線L1與L2之間一點O引兩線段CF，DE分別交直線于G、H，CE和DF交L分別于A、B，L分別交L1、L2于點M1、M2，則

圖6

當介紹到這里，怎能不激發(fā)國人研究初數的熱情？

2 初數研究重復前人的工作

正是歷史原因，外國人在平面幾何研究中，取得豐碩成果.因此，在初數研究中，對自己的發(fā)現(xiàn)，一定要追蹤求源，看是不是前人早已解決的問題.否則就會出現(xiàn)變前人成果為自己“發(fā)現(xiàn)”的不良傾向.

像文[8]討論蝴蝶定理變形時，給出橢圓的相交弦定理.該結論早在 1898年，由英國科克肖特（A.Cockshot）和沃爾特斯（F.B.Walters）所著《圓錐曲線的幾何性質》（蔣聲譯，上海教育出版社）所給出，其為該書命題34.

因此，在初數研究中，必須注意學習和尊重前人的勞動成果.

3 初數研究缺乏爭鳴

儒家文化使我們更注意整體化的統(tǒng)一性，但它往往又忽略了個性化的奇異美，極大地影響了創(chuàng)新能力的發(fā)揮.因此，在初數研究中，國人對問題的討論，少有爭鳴.沒有爭鳴，就沒有創(chuàng)新.因而，在初數研究中，應善于爭鳴，通過爭鳴就能達到明辨是非，利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

在[1-8]中，所談到命題1的好處時，幾乎所有文獻都持肯定態(tài)度，很少有不同意見.都認為命題1對培養(yǎng)學生的研究能力大有益處，由于蝴蝶定理的變形有很多問題需要人們探求以及定理證明有許多（除解析方法外）方法可以使用.但他們不知作過試卷分析沒有？真正有多少考生在答卷中，在做定理的變形研究，又有多少考生給出非解析方法的新證法.

因此，人們關注命題 1，都是由于蝴蝶定理的緣故，而并非是對考題有多少好感.該題作為解析幾何問題，考生第一反映只能考慮解析方法，就是在解析范圍內，也只能考慮普通曲線，而無法實現(xiàn)參數方程，極坐標方程的求解.顯然，這具有一定的局限性，不是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的好題.

當然，在談到命題證明，我們仍然借助射影幾何的二次曲線束理論，給出一種證法.

得|OP|=|OQ|.

當然，為形成良好的爭鳴，我們必須具有一定的理論基礎，尤其應掌握一定的高等數學知識，這才能形成高觀點下的初數研究.

[1]玲瓏居士.從試題的能力立意及夯實基礎[J].中學生數學，2003（9）上.

[2]王志江.淺析2003年北京數學科高考試題[J].中學數學教學參考，2003（9）.

[3]王志江，王文利.高觀點試題與研究性學習[J].中學數學，2003（10）.

[4]玲瓏居士.落實“考生為本”，究出“能力立意”[J].中學數學月刊，2003（11）.

[5]鄒明.圓的若干性質的圓錐曲線推廣[J].福建中學數學，2003（12）.

[6]周春荔.蝴蝶定理[J].數學通報，2004（1）.

[7]李巒方.高考數學題中的高考數學背景[J].中學數學，2004（2）.

[8]陸逢波.圓的重要定理在橢圓上的推廣[J].數學通報，2004（3）.

[9]劉海蔚，陳舉，鄧御寇.高等幾何[M].重慶：西南師范大學出版社，1993.

[10]王紹恒，王昌成.用射影幾何觀點導出新的歐氏幾何命題[J].西南師范大學學報：自然科學版，2001（1）.

[11]趙臨龍.蝴蝶定理的最終形式[J].數學教師，1995（4）.

[12]趙臨龍.射影觀點下的蝴蝶定理[J].湖南教育學院學報，1998（2）.

[13]趙臨龍，馬念珠，廖偉.射影觀點下的箏形蝴蝶定理[J].銅仁師范高等專科學校學報，2000（4）.

[14]權大學，趙臨龍.直線型蝴蝶定理的推廣[J].瓊州大學學報，2004（2）.