鄭 軼，蔡體健

（1.華東交通大學(xué)軌道交通學(xué)院，江西南昌300013；2.華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，江西南昌330013；3.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410075）

人臉識別問題是一個(gè)經(jīng)典的模式識別問題。近年來，受到壓縮感知理論的啟發(fā)，基于稀疏表示的人臉識別技術(shù)得到了廣泛研究?；谙∈璞硎镜娜四樧R別是利用訓(xùn)練圖片構(gòu)造字典，再通過求解一個(gè)欠定方程來求得測試圖片的最稀疏線性組合系數(shù)，然后根據(jù)這些系數(shù)來對圖像進(jìn)行識別分類。

稀疏表示的人臉識別問題表示成數(shù)學(xué)形式為：Y=AX，其中Y∈Rm是m維自然信號，A∈Rm·n是預(yù)定義的基（又稱為字典），X∈Rn是自然信號在預(yù)定義基下的n維稀疏表示。在已知原始信號的基礎(chǔ)上，求解其在預(yù)定義基下的稀疏表示，是一個(gè)稀疏編碼問題，可有以下兩種求解方式［1-3］：

稀疏正規(guī)化約束下的稀疏編碼：

誤差約束下的稀疏編碼：

稀疏編碼與信號的壓縮感知重構(gòu)具有相同的數(shù)學(xué)形式，其主要的求解算法包括最小l0范數(shù)法、貪婪迭代匹配追蹤系列算法等。其中，匹配追蹤類方法為其近似求解提供了有力工具，在穩(wěn)定性和運(yùn)行速度方面具有一定的優(yōu)勢。目前常用的匹配追蹤類算法包括：正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）算法［4-5］，基于樹型搜索的正交匹配追蹤算法［6］，正則化正交匹配追蹤算法［7-8］，壓縮采樣匹配追蹤算法［9］等。

1 正交匹配追蹤算法

正交匹配追蹤思想［4-5］本質(zhì)上是來自于K“稀疏”，就是從過完備字典的N個(gè)原子中尋找K個(gè)關(guān)鍵分量，這K個(gè)關(guān)鍵分量系數(shù)的絕對值應(yīng)該比其它N-K個(gè)分量大得多。算法在每一次的迭代過程中，從過完備原子庫里選擇與信號最匹配的原子來進(jìn)行稀疏逼近并求出余量，然后不斷迭代選出與信號余量最為匹配的原子。為了減少迭代次數(shù)，算法通過遞歸對己選擇原子集合進(jìn)行正交化以保證迭代的最優(yōu)性。具體見算法1，其中第5步是貪心選擇原子的步驟，q是所選擇原子的索引；第6步是將所選擇的原子Aq添加到子空間Aφ，Aφ是A的子矩陣；第7步是對已選擇的原子進(jìn)行正交化，并計(jì)算信號的表示系數(shù)，在此需要計(jì)算逆矩陣，矩陣的求逆運(yùn)算是重量級的運(yùn)算，往往需要對矩陣進(jìn)行三角分解或QR分解；第8步是計(jì)算最小殘差R。

算法1正交匹配追蹤算法

第1步 輸入：字典A，列信號Y，誤差容限ε或稀疏閾值K

第2步 輸出：稀疏的系數(shù)X

第3步 初始化：設(shè)置殘差R∶=Y，系數(shù)X∶=0，Aφ∶=[ ]

第4步 do while（迭代條件成立）

第5步q∶=max

第6步Aφ∶=[Aφ Aq]

第7步X=

第8步R∶=Y-AφX

第9步 end do

2 改進(jìn)的正交匹配追蹤快速算法

由于F是對稱正定矩陣，因此可令，又由于FF-1=I（I為單位矩陣），經(jīng)過運(yùn)算可得到：

由于每次迭代都只是增加一列，因此在上式中c和w都是標(biāo)量，V和Y是向量，而是上一次迭代的逆矩陣，是個(gè)已知矩陣，因此F-1的求解變成了向量或向量矩陣的輕量級運(yùn)算。

為了進(jìn)一步減少正交匹配追蹤算法的計(jì)算量，可以跳過殘差R的計(jì)算，直接計(jì)算ATR，并充分利用上一次迭代的結(jié)果進(jìn)行遞推。其演算過程如下：

算法2改進(jìn)的快速正交匹配追蹤快速算法

第1步 輸入：字典A，列信號Y，誤差容限ε或稀疏閾值K

第2步 輸出：稀疏的系數(shù)X

第3步 初始化：設(shè)置殘差R∶=Y，系數(shù)X∶=0，Aφ∶=[ ]，G∶=[ ]，Q∶=[ ]，n∶=1，product 0=ATY

第4步 do while（迭代條件成立）

第5步q∶=maxk

第6步 Ifn＞1 then

第7步 計(jì)算c，V，w，Y，X，然后計(jì)算

第8步 Else

第9步F-1=

第10步 End if

第11步Aφ∶=[Aφ Aq]

第12步G=

第13步X=F-1Q

第14步ATR=product0-GX

第15步 更新product0和G

第16步 end do

3 在稀疏表示的人臉識別中的應(yīng)用

基于稀疏表示的人臉識別利用測試人身份的稀疏性來進(jìn)行人臉識別［10］。數(shù)學(xué)表示形式為：Y=AX，其中Y∈Rm是測試人臉圖像，A∈Rm×n是用已標(biāo)識的若干個(gè)人的n幅人臉圖像形成訓(xùn)練字典，每幅圖像有m個(gè)像素點(diǎn)。X=[0，…，0，XiT，0，…，0]T∈Rn是稀疏系數(shù)，除了與測試圖像對應(yīng)的系數(shù)為非0，X的其他值大多為0。由于一般情況下n?m（雖然潛在的情況是n?m），A是非完備字典，高維的圖像數(shù)據(jù)破壞了方程的欠定性，無法利用現(xiàn)有的稀疏編碼算法求解，并且在現(xiàn)實(shí)中，噪聲或遮擋不可避免，為此改為用Y=AX+e來描述，其中e∈Rn是n維未知噪聲，再將此式變換一下：

式中：I是單位矩陣，B=[A I]∈Rm×(n+m)；W=∈Rn+m，此時(shí)n+m＞m，因此基于稀疏表示的人臉識別問題變成求解以下最優(yōu)化問題，可以用以上的FOMP算法來計(jì)算測試樣本的表示系數(shù)X。

人臉識別問題實(shí)際上是一個(gè)測試樣本的歸類問題。獲得了測試樣本的稀疏表示X后，由于X中的非0系數(shù)是與字典中屬于某一樣本類的原子相關(guān)，根據(jù)這些非0系數(shù)就可以簡單快速判斷測試樣本所屬類別。但是由于不同樣本類的同一光照角度的圖像很相似，容易產(chǎn)生誤判，另外噪聲的存在使得許多小的非0項(xiàng)和多個(gè)類別相關(guān)，因此我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)更精確的分類器。具體做法是：將X中某樣本類的系數(shù)保留，其他樣本類的系數(shù)清0，然后計(jì)算測試信號的非線性逼近誤差值，最后比較所有樣本類的誤差值，最小的非線性逼近誤差所對應(yīng)的類即是測試樣本歸屬的類。

4 實(shí)驗(yàn)與參數(shù)設(shè)置

以Yale B人臉庫［11］（the yale face database B）做人臉識別實(shí)驗(yàn)，選用10個(gè)人某種姿勢下的64種不同光照條件下的640幅圖片，每幅人臉圖片大小為84×96 像素，對圖片進(jìn)行了直方圖均衡化及歸一化處理，實(shí)驗(yàn)中選取每個(gè)人的一部分圖片形成訓(xùn)練字典，隨機(jī)選取其他的圖片做測試樣本。所選用的機(jī)器是Dell筆記本電腦，Genuine Intel CPU 1.66 GHz，1 G內(nèi)存。

1）兩種算法的對比。為了對比經(jīng)典的OMP算法與改進(jìn)的OMP算法的優(yōu)劣，我們?yōu)槊繕颖绢愡x擇15個(gè)光照圖片，選擇的原則是盡量考慮各種光照角度的圖片，從而構(gòu)建一個(gè)大小為8 064×8 214 的訓(xùn)練字典。隨機(jī)選擇不在字典中的300幅人臉圖片用于測試，設(shè)置稀疏閥值從5變化到50，在相同條件下應(yīng)用這兩種算法進(jìn)行人臉識別實(shí)驗(yàn)，分別記錄下兩種算法平均100幅人臉識別時(shí)間以及對應(yīng)的識別率。所得到的曲線圖如圖1所示。

由圖1可知，改進(jìn)的FOMP 算法100幅人臉識別時(shí)間少于經(jīng)典OMP 算法，并且隨著稀疏閥值的增加，兩種算法的人臉識別時(shí)間的差距加大，當(dāng)稀疏閥值K=50 時(shí)，兩種算法的100幅人臉識別時(shí)間相差達(dá)到14秒多。

2）影響識別率的主要因素。在實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)增加稀疏閥值，相應(yīng)地人臉識別率隨著提高。圖2是設(shè)置字典大小為8 064×8 214（每樣本類15張圖片），并給測試圖片增加不同比例椒鹽噪聲的情況下，人臉識別率也隨稀疏閥值的變化曲線，由圖2可知，在稀疏閥值較小時(shí)，增加稀疏閥值可明顯提高識別率，但稀疏閥值增加到一定值時(shí)（如K＞15），識別率趨于穩(wěn)定，分析其原因可知字典中每樣本類的原子數(shù)目決定了稀疏閥值的設(shè)置。

圖1 FOMP算法與OMP算法運(yùn)行速度的對比Fig.1 The speed comparison between the OMP algorithm and the FOMP algorithm

圖2 不同噪聲下人臉識別率隨稀疏閥值的變化情況Fig.2 Face recognition rate changes with the sparse threshold under different noise

為了進(jìn)一步提高人臉識別率，需對訓(xùn)練字典進(jìn)行調(diào)整。為每個(gè)樣本類提供各種角度的光照圖片，特別是極端光照條件下的人臉圖片，能明顯提高人臉識別率，見圖3（a）。圖4是設(shè)置稀疏閥值為20，分別為測試人臉添加10%，30%，55%的椒鹽噪聲的情況下，人臉識別率隨訓(xùn)練字典變化的曲線。由圖4可知，在字典大小達(dá)到一定值時(shí)（每樣本類20幅圖片），人臉識別率基本穩(wěn)定下來，添加了55%椒鹽噪聲的測試樣本的識別率仍可達(dá)到99.5%以上，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人類肉眼的識別能力。圖3（b）是為測試圖像分別添加10%，30%，55%的椒鹽噪聲后的圖片。從圖3可知，噪聲達(dá)30%及以上的圖片，人類肉眼已很難識別了。

由圖3和圖4可知，在噪聲較小的情況下（30%以下噪聲），每樣本類的光照圖片只需20張，也就是說在光照變動不超過30°的情況下，人臉圖片是可以完全正確識別的，Yale B 人臉庫光照的左右變動范圍為-130°～130°，上下變動范圍為-40°～90°，光照角度并不全，如果補(bǔ)全數(shù)據(jù)，性能將可以進(jìn)一步得到提高。

圖3 訓(xùn)練圖片和測試圖片F(xiàn)ig.3 training picture and testing picture

圖4 不同噪聲下人臉識別率隨訓(xùn)練字典大小的變化情況Fig.4 Face recognition rate changes with the size of dictionary under different noise

5 結(jié)論

研究提出了一種改進(jìn)的FOMP算法，此算法是將重量級的矩陣求逆或大矩陣乘積運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩p量級的向量運(yùn)算或向量矩陣運(yùn)算，從而提高了算法的運(yùn)算速度。此算法可廣泛應(yīng)用于稀疏分解或壓縮重構(gòu)，特別適合于人臉識別以及類似的高維數(shù)據(jù)的分類。將此算法用于人臉識別實(shí)驗(yàn)，分析了影響人臉識別率的因素，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了在光照角度的變動不超過30°的條件下，可以實(shí)現(xiàn)人臉的完全正確識別。如果進(jìn)一步考慮人臉的表情、姿態(tài)等的變化，需要對訓(xùn)練字典的選擇做進(jìn)一步研究。

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