程 敏，白會濤，潘 勇

（1.中原工學院信息商務學院，鄭州451191；2.鄭州宇通重工有限公司，鄭州450051；3.河南機電職業(yè)學院，鄭州451191）

電磁線圈的動態(tài)電磁關(guān)系一方面可以保證磁力機械產(chǎn)品順利工作，另一方面又影響該類機械產(chǎn)品的工作性能［1］.鄭水英等在研究電磁阻尼器被動減振時，考慮了動態(tài)電磁關(guān)系產(chǎn)生的波動電流對阻尼器減振特性的影響，得出理論值與實驗值吻合良好的結(jié)論［2］.李慧敏等在研究電磁輔助支撐的支撐特性時，將電磁線圈的動態(tài)電磁關(guān)系引起的感應電流引入到理論模型中，較好地解釋了實驗中支撐參數(shù)理論值與實驗值之間存在誤差的現(xiàn)象［3］.以上研究表明，電磁線圈的動態(tài)電磁關(guān)系對機械產(chǎn)品工作性能的影響不容忽視.但是，目前對電磁線圈的動態(tài)電磁關(guān)系的研究僅是針對某一機械產(chǎn)品，研究內(nèi)容相對分散，很少有人對其進行系統(tǒng)的分析.

本文通過對不同情況下電磁線圈的感應電動勢和動態(tài)阻抗的分析，得到了因勵磁電流和間隙變化而產(chǎn)生的感應電流表達式，并對其合理性進行了分析與討論.最后將動態(tài)電磁關(guān)系應用到機械系統(tǒng)變剛度電磁支撐裝置中，得到了不同情況下電磁支撐裝置的附加支撐剛度參數(shù)和附加阻尼參數(shù)的表達式，合理解釋了電磁支撐裝置在實驗中存在附加剛度和阻尼參數(shù)的現(xiàn)象.

1 電磁線圈中的感應電動勢

從結(jié)構(gòu)和工作原理上來講，磁力機械產(chǎn)品都可以看成電磁鐵或按一定空間布置的電磁鐵對.電磁鐵是一種利用電磁感應原理，使通電鐵心線圈中產(chǎn)生電磁力，從而吸引銜鐵進行工作的一種執(zhí)行器.事實上，電磁線圈是一個非線性電感元器件，當磁路的磁通發(fā)生變化時，電磁線圈中會產(chǎn)生感應電動勢.對于組成閉合電路的電磁線圈而言，同時會產(chǎn)生感應電流，這符合法拉第電磁感應定律的要求［4］.當電磁鐵線圈中的磁通Ф0隨時間t發(fā)生變化時，在線圈中產(chǎn)生的感應電動勢為：

式中：N為電磁鐵線圈的總匝數(shù).假定電磁鐵鐵芯、銜鐵和間隙中的磁場是分段均勻的，在忽略漏磁和磁滯影響的情況下，根據(jù)磁路安培環(huán)路定律，線圈中的磁通勢為［5］：

式中：μ0為空氣磁導率，μ0＝4π×10－7H／m；S為磁場的有效面積；I為電磁鐵線圈的電流（A）；G為電磁鐵磁極與銜鐵的間隙（m）.

由式（2）可知，對于結(jié)構(gòu)參數(shù)一定的電磁鐵來說，影響線圈磁通變化的因素主要有2個：一是勵磁電流I；二是間隙G.因此可從以下3種情況來考慮線圈的感應電動勢：

（1）第一種情況：勵磁電流為交變電流，間隙為靜態(tài)間隙.此時

將式（3）代入式（1），可得

其中，dI／dt稱為電流變化率，表征電流變化的速度，與電流的變化頻率有關(guān).

（2）第二種情況：勵磁電流為穩(wěn)恒電流，間隙為動態(tài)間隙.此時

同理，將式（5）代入式（1），可得

其中，dG／dt稱為位移變化率，反映了電磁鐵間隙變化的速度.

（3）第三種情況：勵磁電流為交變電流，間隙為動態(tài)間隙.此時

同理，將式（7）代入式（1），可得

2 電磁線圈的動態(tài)阻抗

電磁線圈的等效電路圖如圖1所示.

圖1 電磁線圈等效電路圖

圖1中Rr為電磁線圈的電阻；L為電磁線圈的電感.在電路中，對于直流勵磁電流來說，電感不起阻抗作用；對于交變電流來說，電感起到阻止電流變化的作用.下面分2種情況加以說明：

（1）當線圈中的電流為交變電流時，電磁鐵的磁阻為［5］：

則電磁線圈的電感系數(shù)為：

式（10）表明：當電磁鐵結(jié)構(gòu)參數(shù)一定時，線圈的電感系數(shù)是一個常數(shù)；而當電磁鐵的間隙發(fā)生變化時，線圈的電感系數(shù)將隨之發(fā)生變化.

線圈中因交變勵磁電流而產(chǎn)生的感抗為：

式中：ω為交變電流變化的頻率（Hz）.此時線圈中的阻抗為：

（2）當線圈中的勵磁電流為穩(wěn)恒電流時，電磁線圈相當于一條導線，而非電感元件.此時，線圈中的阻抗為

3 電路中的感應電流

線圈中產(chǎn)生感應電流的條件是：①閉合回路；②磁通發(fā)生變化.對于電磁線圈來說，其滿足產(chǎn)生感應電流的這2個基本條件.在計算感應電流時，特作如下假設(shè)：①忽略感應電動勢和阻抗的相位差，即認為二者同相位；②忽略感應電流再次引起的電磁感應現(xiàn)象.

下面根據(jù)磁通發(fā)生變化的不同情況來討論線圈中的感應電流：

（1）第一種情況：電流為交變電流，間隙為靜態(tài)間隙.根據(jù)式（4）和式（12）可得

（2）第二種情況：電流為穩(wěn)恒電流，間隙為動態(tài)間隙.根據(jù)式（6）和式（13）可得

（3）第三種情況：電流為交變電流，間隙為動態(tài)間隙.根據(jù)式（8）和式（12）可得

4 分析與討論

下面分析各種情況下所得感應電流表達式的合理性［6］：

（1）在第一種情況下，電磁線圈中只有因交變電流而產(chǎn)生的感應電動勢，稱為電磁線圈的自感現(xiàn)象.自感現(xiàn)象是電磁感應的特例，所以自感現(xiàn)象遵循所有的電磁感應規(guī)律.自感電動勢僅能減緩原電流的變化，不會阻止原電流的變化或逆轉(zhuǎn)原電流的變化趨勢；原電流最終還是要增加到穩(wěn)定值或減小到零［4］.由此可知，感應電流在數(shù)值上應小于原電流，即∣iL∣＜∣I∣.假設(shè)交變電流I＝I0ejωt，I0為電流幅值.將該交變電流對時間t進行求導，帶入式（14），再進行取模運算，發(fā)現(xiàn)∣iL∣＜∣I∣恒成立.

（2）第二種情況反映了動態(tài)間隙對穩(wěn)恒電流的影響.但此時存在這樣一個問題，即對于穩(wěn)恒勵磁電流來說，電感將不起作用，僅相當于一條導線.因此，有人認為直流電磁鐵的勵磁電流僅與線圈電阻有關(guān)，不因間隙的大小而改變.但是，由式（6）可知，隨著間隙的變化，磁路的磁通也發(fā)生變化，進而在閉合電路中產(chǎn)生感應電流，即間隙的變化將影響勵磁電流的大小，這樣就產(chǎn)生了矛盾.事實上，由對電磁輔助支撐和電磁阻尼器的相關(guān)研究可知，間隙的變化將導致勵磁電流發(fā)生變化.為解決這一矛盾，可做一個關(guān)于動態(tài)間隙影響穩(wěn)恒勵磁電流的實驗.通過實驗可發(fā)現(xiàn)，此種情況下線圈中的確存在感應電流.

（3）在第三種情況下，感應電流表達式并不是前兩種情況的線性疊加，而是受到交變電流和動態(tài)間隙兩因素的交叉影響.這是因為線圈中存在的動態(tài)阻抗影響因動態(tài)間隙而產(chǎn)生的感應電流.事實上，電磁線圈的電磁關(guān)系是一種反復變化的動態(tài)關(guān)系.例如，由交變電流和動態(tài)間隙引起的感應電流又會反過來影響感應電動勢，從而再次影響感應電流，并依次進行下去.但由于再次引起的感應電流與勵磁電流相比非常小，可忽略不計.另外，在第二種情況下，由動態(tài)間隙引起的感應電流會在線圈中產(chǎn)生一個動態(tài)感抗，但是這個動態(tài)感抗遠遠小于由動態(tài)勵磁電流引起的感抗.因此，在計算電磁線圈的阻抗時忽略了它的影響.其他兩種情況也存在類似問題.

5 應用實例

利用電磁能進行工作的機械產(chǎn)品有很多.第一作者基于電、磁、力三者之間的依存關(guān)系設(shè)計了一種用于機械系統(tǒng)變剛度支撐的電磁支撐裝置［7］，主要由電流源、電磁鐵、銜鐵和機械彈性元件組成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.電流源是電磁支撐的控制源，控制電磁鐵的磁場強度和電磁力，進而控制電磁支撐裝置的支撐剛度參數(shù).電磁鐵由2塊鐵芯共用1塊銜鐵，呈對稱分布，是整個支撐系統(tǒng)的執(zhí)行部件.鐵芯與機架的初始間隙均為g，并通入相同的勵磁電流I，以保證電磁支撐的電磁力與動態(tài)間隙呈線性關(guān)系.機械彈性元件與機座相連，組成機械支撐裝置，可以保證整個支撐系統(tǒng)在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)工作.銜鐵為鐵磁性材料，由機械支撐裝置和電磁支撐裝置并聯(lián)組成的支撐系統(tǒng)支撐.

圖2 機械系統(tǒng)變剛度電磁支撐裝置的結(jié)構(gòu)示意圖

由圖2可知，當銜鐵沿X方向的位移為x時，上下電磁鐵的間隙由g 變?yōu)椋╣＋x）和（g－x），且0≤x≤g.其中，g為靜態(tài)間隙；x為動態(tài)間隙.此時電磁支撐裝置的穩(wěn)定懸浮狀態(tài)被打破，電磁鐵將沿X方向表現(xiàn)出吸力特性.

如果考慮動態(tài)電磁關(guān)系對磁路磁通的影響，電磁線圈中會產(chǎn)生感應電流，分別記為iL1和iL2.此時，電磁支撐的電磁力為：其中，λ是當考慮間隙處磁通不均勻分布而產(chǎn)生誤差時加上的修正系數(shù)［8］，λ＝（1＋0.1ag）－1，a＝3～5.

將式（17）在x＝0，iL1＝0，iL2＝0處進行泰勒展開，略去高階小項可得

由式（18）可知，如果忽略感應電流的影響，電磁力僅僅是位移x的一次函數(shù).此時可得電磁支撐裝置的支撐剛度參數(shù)為：

當電磁支撐裝置的勵磁電流為穩(wěn)恒電流時，根據(jù)式（15）可得

把式（20）代入式（18），可得

式中：

由此可知，當考慮動態(tài)間隙對電磁支撐裝置支撐特性的影響時，電磁支撐裝置在提供支撐剛度參數(shù)K的同時，還提供一個附加阻尼參數(shù)C′，這有利于整個機械系統(tǒng)的穩(wěn)定.

同理，當勵磁電流為交變電流時，根據(jù)式（16）可得

將式（23）代入式（18），可得此種情況下電磁支撐的電磁力表達式：

其中：

由上可知，當同時考慮交變電流和動態(tài)間隙產(chǎn)生的電磁感應時，電磁支撐裝置的支撐特性將發(fā)生明顯變化，同時產(chǎn)生附加支撐剛度和阻尼參數(shù).附加支撐剛度和阻尼參數(shù)有利于整個支撐系統(tǒng)的穩(wěn)定，這也在某種程度上使得電磁類機械產(chǎn)品具有一定的穩(wěn)定性.

另外，通過搭建懸臂梁實驗裝置對電磁支撐裝置的支撐參數(shù)進行實驗識別，結(jié)果表明，當考慮動態(tài)間隙對電磁支撐裝置支撐特性的影響時，支撐系統(tǒng)中的確存在附加阻尼參數(shù)，從而解釋了電磁支撐裝置支撐參數(shù)理論識別值與實驗識別值之間存在差異的現(xiàn)象［7］，進而有力地證明了電磁線圈的動態(tài)關(guān)系對電磁類機械產(chǎn)品工作性能的影響是不容忽視的.

6 結(jié) 語

動態(tài)電磁關(guān)系是磁力機械產(chǎn)品順利工作的前提和基礎(chǔ).本文通過研究影響動態(tài)電磁關(guān)系的電流和間隙參數(shù)，得到了表征動態(tài)電磁特性的感應電動勢和動態(tài)阻抗.忽略二者的相位差，即認為二者同相位，同時忽略感應電流再次引起的電磁感應現(xiàn)象，得到了不同情況下感應電流的表達式，并對其合理性進行了分析.最后將動態(tài)電磁關(guān)系應用到機械系統(tǒng)變剛度電磁支撐裝置中，得到了不同情況下電磁支撐裝置存在的附加支撐剛度參數(shù)和附加阻尼參數(shù)的表達式，合理解釋了電磁支撐裝置在實驗中存在附加阻尼參數(shù)的現(xiàn)象，從而也為磁力機械產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計和工作參數(shù)的合理確定提供了理論依據(jù).

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