李思濤，馬德坤，夏宇文

（1.勝利油田高原石油裝備有限責(zé)任公司，山東東營(yíng)257091；2.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，成都610500）

單牙輪鉆頭牙齒齒形研究

李思濤1，馬德坤2，夏宇文2

（1.勝利油田高原石油裝備有限責(zé)任公司，山東東營(yíng)257091；2.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，成都610500）

目前，單牙輪鉆頭的牙齒使用的是三牙輪鉆頭的牙齒。由于單牙輪鉆頭的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)規(guī)律和破巖方式與三牙輪鉆頭有很大區(qū)別，使得單牙輪鉆頭特有的作用及潛力受到限制。建立了單牙輪鉆頭的坐標(biāo)系，推導(dǎo)出幾何公式，并引入有向距離的概念對(duì)單牙輪鉆頭的牙齒進(jìn)行研究。根據(jù)等磨損原理，提出適用于單牙輪鉆頭的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的牙齒齒形，并提出新的布齒方案，即，在牙輪工作面的永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)使用軸對(duì)稱的牙齒；在輪換接觸區(qū)域內(nèi)使用橢圓形牙齒。

單牙輪鉆頭；牙齒；齒形；有向距離

單牙輪鉆頭既具有三牙輪鉆頭和PDC鉆頭的優(yōu)點(diǎn)，又彌補(bǔ)了二者的不足。國(guó)內(nèi)外的使用結(jié)果表明，單牙輪鉆頭比三牙輪鉆頭更適用于強(qiáng)度和塑性大的地層，還適應(yīng)PDC鉆頭難以適應(yīng)的硬夾層和其他復(fù)雜地層，具有較高的經(jīng)濟(jì)效益。因此，在現(xiàn)代鉆井技術(shù)日益發(fā)展的今天，單牙輪鉆頭是深井和復(fù)雜地層中使用的一種可選鉆頭類型。

目前，在單牙輪鉆頭上普遍使用的是三牙輪鉆頭的牙齒。由于單牙輪鉆頭有其特殊的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)規(guī)律和破巖方式，所以現(xiàn)有的單牙輪鉆頭牙齒并不能完全適應(yīng)單牙輪鉆頭的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本文在查閱了大量資料和文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從幾何學(xué)上對(duì)單牙輪鉆頭牙齒進(jìn)行了研究，給出了單牙輪鉆頭新的齒形。

球形單牙輪鉆頭在鉆進(jìn)過(guò)程中，牙齒上任意1個(gè)點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是連續(xù)的、確定的。從距離牙齒齒頂一定高度取1個(gè)截面，這個(gè)截面的對(duì)稱中心點(diǎn)的軌跡方程就可以求出來(lái)。有了空間曲線方程，它的切線就是已知的，與切線對(duì)應(yīng)的是曲線的法平面，這個(gè)平面就把這個(gè)時(shí)刻截面上的所有點(diǎn)分成2個(gè)部分，和切線方向一致的點(diǎn)就可以判斷出來(lái)，而這些點(diǎn)就是在這個(gè)時(shí)刻參與實(shí)際井底破巖的部分。為此，引入了有向距離的概念［1－3］。

1 單牙輪鉆頭牙齒研究理論基礎(chǔ)

1.1 坐標(biāo)系統(tǒng)

單牙輪鉆頭的牙輪表面是球面，所以，牙輪上的空間相對(duì)坐標(biāo)系就采用球坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系是隨著鉆頭一起轉(zhuǎn)動(dòng)和上下移動(dòng)的。為了便于研究，還在牙齒上建立一個(gè)相對(duì)坐標(biāo)系。

為了坐標(biāo)變換中表示上的方便，用字母加下標(biāo)的變量來(lái)表示坐標(biāo)系。鉆頭絕對(duì)坐標(biāo)系用Obxbybzb表示，牙輪相對(duì)球坐標(biāo)系用Ocxcyczc表示。

1.2 幾何學(xué)公式

單牙輪鉆頭幾何學(xué)基本公式為［3－5］

式中，ρc、c、θc是空間1點(diǎn)在牙輪球坐標(biāo)系下的3個(gè)坐標(biāo)分量；xb、yb、zb是點(diǎn)在鉆頭直角坐標(biāo)系下的3個(gè)坐標(biāo)分量；β是鉆頭軸傾角，即鉆頭軸線和牙輪中心線之間的夾角。

轉(zhuǎn)換成圓柱坐標(biāo)為

式中，ρb、θb、zb是點(diǎn)在鉆頭極坐標(biāo)系下的3個(gè)坐標(biāo)分量。

1.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

在單牙輪鉆頭幾何學(xué)的基礎(chǔ)上，利用已有的鉆頭運(yùn)動(dòng)學(xué)的一些理論，建立單牙輪鉆頭運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式為

式中，ρc（0）、θc（0）、c（0）是牙輪表面上一點(diǎn)在牙輪球坐標(biāo)系的初始位置坐標(biāo)；θc（t）是牙輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)在牙輪球坐標(biāo)系中的瞬時(shí)位置坐標(biāo)；θb（0）是點(diǎn)在鉆頭坐標(biāo)系中的初始位置坐標(biāo)；ρb（t）、θb（t）和zb（t）是點(diǎn)在鉆頭坐標(biāo)系下的瞬時(shí)坐標(biāo)值；t是時(shí)間序列；nc和 nb分別是牙輪和鉆頭轉(zhuǎn)速；vb是鉆頭機(jī)械鉆速。

有了運(yùn)動(dòng)學(xué)公式就可以編制程序，繪制出任意1個(gè)球形單牙輪鉆頭在不同運(yùn)動(dòng)參數(shù)條件下的牙齒軌跡圖。同時(shí)，為后面的分析和研究奠定基礎(chǔ)。

1.4 有向距離

1） 平面的法方程 已知平面π：A×x＋B×y＋C×z＋D＝0。平面的法向向量是幺法矢（任何長(zhǎng)度為1的矢量叫做幺法矢），即＋C2＝1。那么就把這個(gè)方程叫做平面的法方程。如果幺法矢的方向角是α，β，γ，則平面的法方程還可以表示為：x×cosα＋y×cosβ＋z×cosγ≡P。

1.5 牙齒工作區(qū)域

由于單牙輪鉆頭的運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，使得球形牙輪上有一部分牙齒始終與井底接觸進(jìn)行破碎巖石，另一部分輪換與井底接觸，還有一部分牙齒在鉆頭工作過(guò)程中是一直接觸不到井底的。鉆頭的整個(gè)布齒面可分成永遠(yuǎn)接觸區(qū)、輪換接觸區(qū)和永不接觸區(qū)，這3個(gè)區(qū)域分別對(duì)應(yīng)于圖1中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域。

通常，第 Ⅲ 區(qū)域內(nèi)的牙齒不參與井底模式的形成。即便如此，Ⅰ和Ⅱ區(qū)域內(nèi)牙齒在井底的切削狀況也是很不相同的。

圖1 牙齒井底工作區(qū)域

2 公式推導(dǎo)和結(jié)果分析

2.1 單牙輪鉆頭牙齒研究公式推導(dǎo)

根據(jù)前面單牙輪鉆頭基本幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)，可以求出鉆頭牙齒截面中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。利用空間解析幾何的知識(shí)，求出這個(gè)方程在一個(gè)點(diǎn)上的切線方程和對(duì)應(yīng)的法平面方程，進(jìn)而求出這個(gè)截面上任意點(diǎn)到這個(gè)法平面的有向距離。根據(jù)有向距離的符號(hào)來(lái)判斷這個(gè)點(diǎn)是否接觸巖石，并且統(tǒng)計(jì)截面上所有點(diǎn)在某一個(gè)時(shí)間段之內(nèi)接觸巖石的概率值，并繪制曲線加以分析［6－7］。具體的推導(dǎo)過(guò)程是一組解析幾何公式的推導(dǎo)，這里不再詳細(xì)敘述。

2.2 程序編制和結(jié)果分析

在假設(shè)井底是完全光滑的半球形的基礎(chǔ)之上，編制計(jì)算程序，并在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行調(diào)試和運(yùn)行，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了分析。雖然有一定的誤差，但它不會(huì)引起質(zhì)的變化，不會(huì)影響對(duì)牙齒截面各個(gè)位置觸底概率大小的評(píng)判。

計(jì)算過(guò)程中保存了牙齒上不同點(diǎn)接觸井底的統(tǒng)計(jì)概率數(shù)據(jù)，還根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出了直觀的示意圖。鉆頭上的牙齒，由于其空間位置的不同，也就決定了它在某一截面上點(diǎn)接觸巖石概率的變化規(guī)律也就各不相同，如圖2～7。圖中里面的圓代表牙齒截面，外面的曲線到內(nèi)圓的距離表示這個(gè)點(diǎn)實(shí)際接觸巖石的概率。

2.2.1 永遠(yuǎn)接觸區(qū)域（Ⅰ區(qū)）

圖2是位于鉆頭表面永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)的一顆牙齒的觸巖概率數(shù)據(jù)圖形。相關(guān)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)為：鉆頭轉(zhuǎn)過(guò)的總?cè)?shù)＝30；鉆頭軸傾角β＝45°；鉆頭直徑D＝149.2mm；鉆頭轉(zhuǎn)速ω1＝60r／min；牙輪轉(zhuǎn)速ω2＝36r／min；機(jī)械鉆速vz＝3m／h；牙齒在牙輪坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)α＝30°；θ＝0°。

從圖2中可以看出，牙齒截面上各個(gè)點(diǎn)的實(shí)際觸巖概率幾乎相等，牙齒截面中心點(diǎn)可看成是一直接觸井底的，而這個(gè)截面上各個(gè)點(diǎn)的實(shí)際觸巖概率的最大值和最小值相差不大。究其根本原因是這顆牙齒在空間上位于鉆頭牙輪表面上的永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)，即這顆牙齒一直在刮削井底。

鑒于此，建議在鉆頭的永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)，選用軸對(duì)稱的牙齒，這樣能最大限度的發(fā)揮牙齒的功效、減小牙齒磨損，從而延長(zhǎng)鉆頭的壽命。

圖2 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝30°）

2.2.2 輪換接觸區(qū)域（Ⅱ區(qū)）

在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，由于牙齒有部分時(shí)間是完全脫離井底的，因此，牙齒觸底的時(shí)間明顯降低，牙齒上各個(gè)點(diǎn)實(shí)際觸巖概率遠(yuǎn)小于在永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)的牙齒。

圖3是輪換接觸區(qū)域內(nèi)一顆牙齒的觸巖概率示意圖，這顆牙齒的空間位置參數(shù)是：θ＝0°；α＝90°。從圖中可以看出，牙齒截面上各個(gè)點(diǎn)接觸井底的概率的分布規(guī)律與在永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)的牙齒是完全不同。

圖3中的水平線是牙輪對(duì)稱軸和牙齒中線所組成的平面在牙齒截面上的投影。從理論上來(lái)講，圖中外面的曲線應(yīng)該是實(shí)際的牙齒外形輪廓線，即牙齒的外形。但是，考慮到實(shí)際的加工工藝和制造情況，必須對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。總的來(lái)說(shuō)，要采用前后不對(duì)稱而左右對(duì)稱的牙齒，不對(duì)稱的程度則取決于牙齒實(shí)際在牙輪上的空間位置。

圖3 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝90°）

圖4～7是在輪換接觸區(qū)域內(nèi)不同的牙齒的觸巖概率的分布規(guī)律示意圖。從圖中可以看出，隨著牙輪位置的變化，沿著牙齒截面上的各個(gè)點(diǎn)接觸巖石的概率是不同的。

圖4 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝50°）

圖5 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝70°）

圖6 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝110°）

圖7 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝130°）

2.3 新齒形方案設(shè)計(jì)

根據(jù)圖2～7中所得到的曲線的外形可以看出：在牙輪表面上輪換工作區(qū)域內(nèi)的牙齒的外形應(yīng)該是不完全對(duì)稱的，即在一個(gè)方向上是軸對(duì)稱的，而在另一個(gè)方向上是不完全對(duì)稱的。也就是說(shuō)，牙齒在各個(gè)方向上的磨損是各不相同的，在輪換接觸區(qū)域內(nèi)，牙齒一側(cè)的部分參與巖石切削的時(shí)間明顯長(zhǎng)于另一側(cè)。根據(jù)等磨損原理，牙齒的截面應(yīng)當(dāng)是不對(duì)稱的，至少是不能完全對(duì)稱。于是就在錐形齒的基礎(chǔ)上，得出一種新的齒形。針對(duì)不同情況，提出2個(gè)方案。

1） 方案一 牙齒截面對(duì)稱，如圖8所示。這種牙齒的截面形狀以錐形牙齒為基礎(chǔ)，取原來(lái)錐形齒截面圓的直徑作為橢圓截面的短軸，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)于短軸，具體的數(shù)值應(yīng)該由試驗(yàn)和進(jìn)一步的研究決定。

圖8 牙齒齒形示意（方案一）

2） 方案二 牙齒截面不對(duì)稱，如圖9所示。牙齒截面在一個(gè)方向上是對(duì)稱，而在另一個(gè)方向上是不對(duì)稱的。

圖9 牙齒齒形示意（方案二）

上面是根據(jù)已有的計(jì)算數(shù)據(jù)而推測(cè)出來(lái)的2種可能的新齒形。提出新齒形的依據(jù)是牙齒上各個(gè)點(diǎn)的觸巖概率，即牙齒上各點(diǎn)的磨損概率，而這些數(shù)據(jù)是以單牙輪鉆頭幾何學(xué)作為根本依據(jù)的，所以，新齒形符合單牙輪鉆頭的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。但是，它們能否適應(yīng)單牙輪鉆頭特有的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和破巖方式，還需要試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。牙齒形狀的具體幾何參數(shù)，也要由試驗(yàn)并結(jié)合進(jìn)一步的計(jì)算來(lái)確定。

鑒于牙齒在單牙輪鉆頭牙輪上位置不同，它在實(shí)際井底的運(yùn)動(dòng)和切削規(guī)律也各不相同。在牙輪工作面的永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)，使用軸對(duì)稱的牙齒；而在輪換接觸區(qū)域內(nèi)使用上面提出的橢圓形牙齒。

3 結(jié)論

1） 本文從幾何學(xué)的角度出發(fā)，引入了有向距離的概念對(duì)單牙輪鉆頭的牙齒進(jìn)行了探索，并根據(jù)等磨損原理，最終提出適合于單牙輪鉆頭的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的新形狀的牙齒，并且得出單牙輪鉆頭上新的布齒方案：在牙輪工作面的永遠(yuǎn)接觸區(qū)域內(nèi)，使用軸對(duì)稱的牙齒；而在輪換接觸區(qū)域內(nèi)使用橢圓形牙齒。

2） 這種新的牙齒和與之密切結(jié)合的布齒方案適應(yīng)單牙輪鉆頭的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，可以預(yù)見(jiàn)，能夠延長(zhǎng)單牙輪鉆頭的壽命，充分發(fā)揮單牙輪鉆頭的優(yōu)勢(shì)和潛力，提高單牙輪鉆頭的使用價(jià)值，從而在我國(guó)石油勘探和開(kāi)發(fā)中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

［1］ 馬德坤.牙輪鉆頭工作力學(xué)［M］.北京：石油工業(yè)出版社，1994：14－126.

［2］ 馬紅偉，鄧 嶸，盛友萍.單牙輪鉆頭井底軌跡分析［J］.石油礦場(chǎng)機(jī)械，2004，33（5）：41－43.

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Research of Teeth of Single Cone Bit

LI Si－tao1，MA De－kun2，XIA Yu－wen2
（1.Shengli Oilfield Highland Petroleum Equipment Co.，Ltd.，Dongying257091，China；2.College of Mechanical and Electrical，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

The single cone bit has potential prosperity that differentiated withtri conebitandPDC bit.However，the teeth of the single cone bit were same with those of tri－cone bit.Thus，the efficiency and advantages was seriously confined because the single cone bit was differentiated with tri－cone bit in structure，moving pattern and cutting rocks.The teeth of the single cone bit were studied geometrically based on the calculation of the contacting percentage of each point of the teeth using the mathematical principle of directional distance.The conclusion was made that a kind of teeth with new shape were fit for the single cone bit suitable for the structure and moving pattern to maintain similar life for different teeth.A new plan to arrange the teeth of the single cone bit was put forward that the axial－symmetry teeth should be set in the continuous－contacting area of the cone and the new teeth should be set on the discontinuous－contacting area of the cone.

single cone bit；teeth；teeth shape；directional distance

1001－3482（2012）06－0005－05

TE921.102

A

2011－12－20

李思濤（1975－），男，山東臨沂人，碩士，1999年畢業(yè)于西南石油學(xué)院機(jī)械設(shè)計(jì)及理論專業(yè)，從事鉆采機(jī)械的設(shè)計(jì)、研究和生產(chǎn)工作，E－mail：lisitao01＠126.com。