丁士俊，姜衛(wèi)平，楊顏梅

(1．武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079;2．國家測(cè)繪地理信息局精密工程測(cè)量與工業(yè)測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430079;3．武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)技術(shù)研究中心，湖北武漢430079;4．陜西測(cè)繪地理信息局，陜西西安710000)

一、引 言

整體最小二乘問題首先由G．H．Golub和L．C．F．Van 提出[1]，十多年來，人們對(duì)整體最小二乘TLS(total least squares)的算法、解的條件，以及整體最小二乘與最小二乘之間的關(guān)系作了許多理論研究[2]。對(duì)于一些實(shí)際應(yīng)用問題而言，如信號(hào)處理、統(tǒng)計(jì)計(jì)算、回歸分析等都可以歸結(jié)為對(duì)整體最小二乘問題的處理。在勘察測(cè)繪科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，回歸分析方法是一種處理測(cè)量數(shù)據(jù)常用的方法，回歸分析模型的傳統(tǒng)解法是認(rèn)為自變量x沒有誤差，因變量y為具有偶然誤差的觀測(cè)量，應(yīng)用最小二乘原理，得到回歸參數(shù)的最佳估值[3]。對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，…，n，如果在同時(shí)考慮觀測(cè)數(shù)據(jù) xi與yi的誤差的前提下，求解回歸參數(shù)的方法屬于整體最小二乘回歸分析問題。文獻(xiàn)[4-8]對(duì)該問題進(jìn)行一些相應(yīng)的研究;文獻(xiàn)[4]與文獻(xiàn)[5]分別從兩種不同的平差方法進(jìn)行了討論;文獻(xiàn)[7]對(duì)文獻(xiàn)[4-5]存在問題進(jìn)行了分析比較，但對(duì)文獻(xiàn)[4-5]中存在的問題沒有給出合理的解釋，得出結(jié)論有點(diǎn)偏頗;文獻(xiàn)[8]證明了整體最小二乘線性回歸條件平差法與間接平差法解的等價(jià)性問題，沒有就精度估計(jì)等價(jià)性給出理論上的證明?？紤]到上述這些因素，本文采用測(cè)量平差中處理數(shù)據(jù)建模的方法，對(duì)整體最小二乘線性回歸參數(shù)的求解進(jìn)行較為深入的研究，旨在為整體最小二乘理論在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用奠定研究基礎(chǔ)。

二、自變量無誤差的線性回歸模型

為了討論問題方便起見，以一元線性回歸為例，設(shè)觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為(xi，yi)，則一元線性回歸模型為

式中，a、b為回歸參數(shù);Δi為觀測(cè)量yi的真誤差。

如果自變量xi沒有誤差，設(shè)未知參數(shù)a、b的近似值為a0、b0，其改正數(shù)為 d a，d b。按間接平差求解，其誤差方程式為

假設(shè) Pyy為觀測(cè)量 y的權(quán)陣，在最小二乘準(zhǔn)則VTPyyV=min下，則回歸參數(shù)改正數(shù)的估值為

三、顧及自變量誤差的線性回歸模型

1．顧及自變量誤差的條件平差模型

如果考慮自變量x誤差，并假設(shè)x與y相互獨(dú)立，則其回歸模型觀測(cè)方程為

式中，vxi、vyi為觀測(cè)量的改正數(shù)。式(5)是含參數(shù)與觀測(cè)量改正數(shù)的二次項(xiàng)，將未知參數(shù)a、b的近似值a0、b0代入式(5)，線性化后約去參數(shù)與觀測(cè)量改正數(shù)的二次項(xiàng)，則觀測(cè)方程可表示為

其矩陣表達(dá)式為

式(7)表示包含殘差及未知參數(shù)改正數(shù)組成的約束方程，每一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組成一個(gè)方程，共n個(gè)方程，式中待定量共2n+2個(gè)(其中，包括兩個(gè)參數(shù)，2n個(gè)Vx與Vy)，故需最小二乘準(zhǔn)則進(jìn)行解算。

考慮到自變量x與因變量y的獨(dú)立性且不等精度，其隨機(jī)模型為

由最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則VTPV=min，構(gòu)造極值函數(shù)φ=VTPV-2KT(EV+A d B-L)，K為聯(lián)系數(shù)向量矩陣。由極值函數(shù)對(duì)V、d B分別求偏導(dǎo)數(shù)，可得

聯(lián)立式(7)、式(9)、式(10)可得到 K、V、d B 的唯一解

則回歸參數(shù)的估值為

2．顧及自變量誤差的間接平差

取xi0=xi，將未知數(shù)的近似值代入上述平差方程，將觀測(cè)方程線性化，約去參數(shù)改正數(shù)的二次項(xiàng)，則誤差方程為

其矩陣表達(dá)式為

式中

按間接平差原理，組成法方程可得

由式(18)第一個(gè)方程可得

將式(19)代入式(18)第二式可得

3．顧及自變量誤差的兩種平差方法的等價(jià)性

為了證明上述兩種平差方法的等價(jià)性，比較式(20)與式(14)，只需證明式(21)成立

將式(22)代入下式整理得

即式(21)得證，由此可見參數(shù)的解式(14)與式(20)等價(jià)。

同樣可以證明兩種平差方法所得到的觀測(cè)量改正數(shù)相等的結(jié)論，將式(19)代入式(17)得到

對(duì)式(23)進(jìn)一步整理得

由矩陣的恒等性質(zhì)可知，如果矩陣A與B是正則方陣，則矩陣恒等式成立，利用該矩陣恒等性質(zhì)，則式(24)中矩陣的第一式改化為

由矩陣的反演公式，將式(25)中矩陣的第二式改為

將式(25)和式(26)代入式(24)整理得

比較式(27)與式(14)，即結(jié)論成立。

4．顧及自變量誤差線性回歸解的精度估計(jì)

觀測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差按下式估計(jì)

式中，n為觀量數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù);t為回歸參數(shù)的個(gè)數(shù)，對(duì)于一元線性回歸而言t=2。

就參數(shù)的方差與協(xié)方差的計(jì)算，按方差傳播定律，由式(20)可得到參數(shù)的方差為

式中，DL為L(zhǎng)的方差。由于其向量形式為

式中e=[1 1 …1]T。由式(30)可得L的方差陣為

將式(31)代入式(29)得

四、結(jié)束語

回歸分析方法是一種處理測(cè)量數(shù)據(jù)常用的方法，本文在同時(shí)考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)xi與yi的誤差的前提下，應(yīng)用整體最小二乘原理，導(dǎo)出了整體最小二乘線性回歸模型的解。按照間接平差與條件平差的原理，證明了整體最小二乘線性回歸模型參數(shù)的解以及標(biāo)準(zhǔn)差的等價(jià)性。

[1]GOLUBG H，VAN L C F．An Anlysis of the Total Least Squares Problem[J]．SIAM J．Nuner．Anal，1980，17：883-893．

[2]愈錦成．關(guān)于整體最小二乘問題的可解性[J]．南京師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1996(1)：12-16．

[3]武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組．誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)[M]．武漢：武漢大學(xué)出版社，2003．

[4]劉大杰，史文中，童小華，等．GIS空間數(shù)據(jù)處理的精度分析與控制[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1999．

[5]王安怡，陶本藻．顧及自變量誤差的回歸分析理論和方法[J]．勘察科學(xué)技術(shù)，2005(3)：29-32．

[6]李雄軍．對(duì) X和 Y方向最小二乘線性回歸的討論[J]．計(jì)量技術(shù)，2005(1)：50-52．

[7]魯鐵定，陶本藻，周世鍵．基于整體最小二乘法的線性回歸建模和解法[J]．武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2008(5)：504-507．

[8]周世鍵，魯鐵定．雙變量線性回歸解算方法的等價(jià)性[J]．江西科學(xué)，2009(6)：867-870．

[9]孔建，姚宜斌，許雙安．整體最小二乘求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)[J]．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2010(3)：74-78．