喬朋朋，李小兵，劉 彬，劉 君

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西三原 713800)

0 引言

導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制系統(tǒng)傳統(tǒng)的設(shè)計方法是忽略它們之間的相互作用，分別單獨的處理每個子系統(tǒng)，待每個子系統(tǒng)設(shè)計好以后，再將它們組合在一起。盡管這種方法在過去被證明是有效的，但這種方法不能總協(xié)調(diào)好各系統(tǒng)之間的關(guān)系，不利于整個導(dǎo)彈系統(tǒng)性能的提高，這就有必要將制導(dǎo)和控制作為整體一起來進行設(shè)計[1]。自 C.F.Lin 最早在文獻[2]中提出一體化的思想以來，國內(nèi)外學(xué)者在制導(dǎo)控制一體化領(lǐng)域所開展的研究有很多，如張保群等在文獻[3]中提出一種基于自適應(yīng)滑?？刂频膶?dǎo)彈制導(dǎo)與控制一體化反演設(shè)計，很好的實現(xiàn)了對目標的攔截和對性能指標的跟蹤，然而，這種方法只適用于對相對速度不是很大的目標進行攔截，對于于彈目相對速度很大，尤其是迎面攔截的情況，這種方法就不適用了。因此，如何對高速度、大機動的再入大氣層目標進行有效攔截是一項重要的研究內(nèi)容。

文中通過對彈目相對運動及其他環(huán)節(jié)進行合理的建模，基于預(yù)測遭遇點的思想，采用反演和滑模控制思想，設(shè)計出能夠有效針對再入大氣層機動目標的一體化制導(dǎo)控制算法。

圖1 彈目相對運動模型

1 模型建立及分析

1.1 模型建立

1.1.1 彈目相對運動模型

首先，建立彈目相對運動模型，以平面攔截為例，建立彈目相對運動模型如圖1所示。

圖中:Vm、VT為導(dǎo)彈和目標的速度;R為彈目距離;q為彈目視線角;θm為導(dǎo)彈的彈道傾角，θT為目標的再入角。

由圖中可以得到彈目相對運動方程如下:

1.1.2 導(dǎo)彈質(zhì)心運動的動力學(xué)方程

1.1.3 導(dǎo)彈質(zhì)心運動的運動學(xué)方程

1.1.4 導(dǎo)彈的氣動力模型

1.1.5 導(dǎo)彈的攻角模型

其中:

其中，nm為制導(dǎo)指令，不妨令其為u。

1.2 模型分析

由式(6)可以推出:

令nm=u，則可以將式(7)化為如下形式:

則式(8)可以變?yōu)?

由式(3)可以得到:

令x1=θm，x2=α，x3=˙α，則由式(9)和式(10)可以得到如下狀態(tài)方程:

令:

則式(11)可以變?yōu)?

2 一體化制導(dǎo)控制算法推導(dǎo)

2.1 基于預(yù)測制導(dǎo)的制導(dǎo)方程[4－6]

預(yù)測制導(dǎo)的目的是使攔截彈在攻擊機動目標時能夠獲得盡可能平直的彈道，或者機動到直線上飛行，類似于比例導(dǎo)引制導(dǎo)的攔截彈攻擊非機動目標。

以縱向平面為例，在導(dǎo)彈攻擊目標的末段，為了使導(dǎo)彈能夠以直線擊中目標，可以取在每一時刻，彈目能按理想直線飛行時，剩余時間內(nèi)在垂直于視線上的距離應(yīng)相等，由此得到:

其中:amx、aTx分別為導(dǎo)彈和目標沿著速度方向的加速度。假設(shè)目標的機動加速度只改變速度的方向而不改變大小，即=aTx=0，兩邊同除以 tgo，經(jīng)化簡可以得到:

進而可以得到使導(dǎo)彈沿直線飛向目標的理想彈道傾角:

由式(2)可知:

則式(15)可以變?yōu)?

其中，剩余時間tgo可以由下式求得:

將導(dǎo)彈的實際彈道偏角與理想彈道偏角的偏差定義為飛行誤差，如下:

設(shè)計制導(dǎo)控制算法的目的就是通過不斷修正彈道傾角，使飛行誤差e不斷趨近于零，最終近似沿直線飛向目標。

2.2 反演控制器設(shè)計

為了實現(xiàn)對彈道傾角的不斷修正，可以取導(dǎo)彈和目標在每一個微小變化時刻的狀態(tài)，它們在這各個微小時刻的狀態(tài)可以近似為線性。這樣可以作如下假設(shè):由于在每一個時刻，使導(dǎo)彈沿直線飛向目標的是唯一的，從而可以假設(shè)在每一時刻=0。

用文獻[7]中的反演控制器設(shè)計步驟來進行一體化制導(dǎo)控制算法的推導(dǎo)。具體過程如下:

步驟一:

定義跟蹤誤差:

基于上述假設(shè)，對式(20)求導(dǎo)可得:

定義虛擬控制量:

其中，k1＞ 0。

定義跟蹤誤差:

定義Lyapunov函數(shù):

則:

將式(22)代入(25)得:

由上式可以看出，只有z2=0時，才能保證恒有≤0，為此，需要進行下一步設(shè)計。

步驟二:

對式(23)求導(dǎo)可得:

定義虛擬控制量:

其中，k2＞ 0。

定義跟蹤誤差:

定義Lyapunov函數(shù):

則:

將式(27)和式(29)代入式(31)可以得到:

將式(28)代入上式:

由前一步的分析知，z2不一定為零，這就由式(33)可以看出，只有z3=0時，才能保證恒有V·2≤0，為此，需要進行下一步設(shè)計。

步驟三:

定義Lyapunov函數(shù):

對式(34)求導(dǎo)得:

對式(29)求導(dǎo)得:

將式(36)代入式(35)可得:

其中k3＞0。

將式(38)代入式(37)得:

通過控制律的設(shè)計，使得系統(tǒng)滿足了李亞普諾夫穩(wěn)定性理論條件，z1、z2和z3均以指數(shù)形式漸近穩(wěn)定，從而保證系統(tǒng)具有全局意義下指數(shù)的漸近穩(wěn)定性。

可見，對于狀態(tài)方程(12)采用以上所推導(dǎo)出的制導(dǎo)控制算法，可以使各狀態(tài)達到最終穩(wěn)定并滿足系統(tǒng)的控制要求，即。

圖2 彈目相對運動曲線

3 仿真結(jié)論

設(shè)置初始值:目標彈速度 2.5km/s，且以最大過載為3g的加速度作正弦形式的機動，目標彈初始再入角取為70°;初始彈目距離為15km，攔截彈初始彈道傾角為30°，初始速度為1.5km/s;初始彈目視線角為30°。具體仿真結(jié)果見圖2～圖4。

從圖2可以看出，攔截彈彈道比較平直，較好的對目標彈進行了攔截;從圖3中實際變量，即攔截彈彈道傾角的控制效果可以看出，攔截彈的實際彈道傾角在不斷的進行調(diào)整，逐漸的趨近于使攔截彈近似理想飛行的理想彈道傾角，雖然最終存在一些偏差，但是相對來說已經(jīng)非常小了，可以將此時的攔截彈近似為沿著直線飛向目標。需要說明的一點是偽變量，即攔截彈理想彈道傾角最終的突變現(xiàn)象，這是由于臨近彈目遭遇時，視線角速率引起視線角突變所造成的。

圖3 導(dǎo)彈實際彈道傾角跟蹤曲線

由圖4可以看出，攻角及其變化率都能很好的跟蹤其對應(yīng)的偽指令，同時系統(tǒng)狀態(tài)沒有抖振現(xiàn)象，至于兩個偽指令末段的突變則是由于攔截彈理想彈道傾角的突變和三個模態(tài)之間的耦合作用所產(chǎn)生的，但是這并不影響最終的攔截效果。

仿真結(jié)果很好的驗證了所設(shè)計的制導(dǎo)控制算法的有效性，為進一步針對模型更加復(fù)雜的制導(dǎo)控制算法開展研究有一定的參考價值。

圖4 攻角及其變化率與相對應(yīng)的偽變量的變化曲線

[1]吳鵬.帶末端攻擊角度約束的制導(dǎo)方法研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009.

[2]C F Lin，W R Yueh.Optimal controller for homing missiles[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1985，8(3):408－411.

[3]張保群，宋申民.基于自適應(yīng)滑?？刂频膶?dǎo)彈制導(dǎo)與控制一體化反演設(shè)計[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2009，29(5):31－35.

[4]呂長起.預(yù)測導(dǎo)引律及目標機動的估計[J].航空兵器，1996，3(4):65 －73.

[5]Tal Shima，Oded M Golan.Exo-atmospheric guidance of an accelerating interceptor missile[C]//AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，Hawaii，2008.

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[7]劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控控制Matlab仿真[M].北京:清華大學(xué)出版社，2006:35－50.