張建國，張玉芬

（1.寧夏師范學(xué)院教育技術(shù)中心，寧夏固原 756000；2.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002）

對(duì)稱耦合雙振子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)

張建國1，張玉芬2

（1.寧夏師范學(xué)院教育技術(shù)中心，寧夏固原 756000；2.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002）

建立了一個(gè)雙彈簧對(duì)稱耦合的振子系統(tǒng).計(jì)算了通過升維降階技術(shù)得到的一個(gè)等價(jià)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，表明振子的運(yùn)動(dòng)或?yàn)榛煦缁驗(yàn)闇?zhǔn)周期.振子中沒有引入能量耗散，其運(yùn)動(dòng)軌跡因初始條件不同而有很大不同.最后指出，判斷這樣的系統(tǒng)性態(tài)，唯一可靠的方法是計(jì)算Lyapunov指數(shù).

耦合振子；Lyapunov指數(shù)；運(yùn)動(dòng)軌跡；系統(tǒng)性態(tài)

彈性振子作為一種極其簡(jiǎn)單的物理模型，能夠展示非常豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為［1－3］，長期以來備受關(guān)注.將多個(gè)振子耦合在一起，往往能夠展示許多物理系統(tǒng)的行為特征，如一個(gè)平面上的耦合振子陣列能夠模擬表面聲波在金屬材料中的傳播［4－5］，多振子耦合模型能夠模擬非剛性分子的振動(dòng)［6］等等.由于耦合振子具有各式各樣的物理背景，對(duì)相關(guān)模型基本特征進(jìn)行研究不僅是必要的，而且對(duì)理解相關(guān)物理系統(tǒng)的特性及其機(jī)制是至關(guān)重要的.本文建立一個(gè)對(duì)稱雙振子模型，通過拉格朗日函數(shù)獲得其運(yùn)動(dòng)方程，數(shù)值求解方程獲得振子的運(yùn)動(dòng)軌跡.結(jié)果表明振子的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)烈依賴于初值，表現(xiàn)在振子運(yùn)動(dòng)軌跡因初值不同而不同，且在相空間中做遍歷運(yùn)動(dòng).這是因?yàn)樗疾斓恼褡酉到y(tǒng)無耗散因素存在，因而是保守系統(tǒng)中典型的非線性動(dòng)力學(xué)行為.Lyapunov指數(shù)（exponent）表明所關(guān)注的參數(shù)組合下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或?yàn)榛煦邕\(yùn)動(dòng)或?yàn)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).

必須指出，此前的研究者多不關(guān)注耦合振子的運(yùn)動(dòng)性態(tài)，其研究僅停留在對(duì)振子軌跡的描述上.得到的這個(gè)結(jié)果將提醒相關(guān)研究者，當(dāng)不存在耗散因素時(shí)耦合振子系統(tǒng)是一個(gè)保守的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)有其固有的動(dòng)力學(xué)特征.另外，一些看似周期的運(yùn)動(dòng)實(shí)際可能是遍歷運(yùn)動(dòng)，而遍歷運(yùn)動(dòng)往往是混沌或準(zhǔn)周期的.這種運(yùn)動(dòng)單憑肉眼觀察振動(dòng)曲線是無法與周期運(yùn)動(dòng)相區(qū)別的.

1 對(duì)稱耦合雙振子模型

對(duì)稱雙彈性振子物理模型可以用一個(gè)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)來描述，它與2個(gè)彈性系數(shù)均為k，原長均為a的彈簧相連.這里，光滑意味著忽略能量耗散，是一個(gè)理想體系.平衡時(shí)這2個(gè)彈簧成一條直線，此時(shí)彈簧原長為a，質(zhì)點(diǎn)在水平的xoy平面內(nèi)作微小振動(dòng).為簡(jiǎn)單起見，質(zhì)點(diǎn)平衡位置取在原點(diǎn)o處.模型由圖1表示.

圖1 雙彈性振子模型Fig.1 Double esastic oscillator model

以下將解析獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.容易給出此系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，分別是

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可寫為

顯然，方程（10）和（11）是一組非線性耦合方程.表明線性彈性振子通過相互耦合將轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性振動(dòng)，體現(xiàn)了簡(jiǎn)單單元耦合導(dǎo)致新特征涌現(xiàn)的普遍機(jī)制.眾所周知，這樣的非線性方程組很難直接解析求解，將借助于軟件Mathematica數(shù)值求解.

2 李雅普諾夫指數(shù)譜

為了便于計(jì)算Lyapunov指數(shù)以確定耦合振子運(yùn)動(dòng)性態(tài)，將通過升維降階的辦法將方程組（10）和（11）化為一階方程組

這里彈性振子質(zhì)量m＝1 kg，彈簧原長a＝1.0 m，設(shè)彈性系數(shù)為控制參量.圖2給出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)（Exponent）譜.譜線顯示k＜0.074參數(shù)范圍，絕大多數(shù)參數(shù)區(qū)至少有1個(gè)指數(shù)大于0，表明振子的運(yùn)動(dòng)是混沌的，而在k＞0.074參數(shù)范圍4個(gè)指數(shù)值在0附近振蕩，表明振子的運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的或在個(gè)別小區(qū)域是周期的.

圖2 耦合振子模型的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Lyapunov exponent spectrum of the couplled oscillator mode

3 混沌運(yùn)動(dòng)

作為一個(gè)例子，挑選混沌區(qū)的一個(gè)參數(shù)k＝0.07，取初始條件為x0＝0.25 m，y0＝0.88 m，x·0＝0.009 m／s，y·0＝0.1 m／s，將對(duì)應(yīng)振子的軌跡顯示于圖3.顯然，振子在一個(gè)區(qū)域之中做遍歷運(yùn)動(dòng).由于模型沒有考慮能量耗散，因此是一個(gè)典型的保守系統(tǒng).沒有耗散性的系統(tǒng)就沒有吸引性，因此振子的軌跡均因初態(tài)不同而不同，可以說“是一點(diǎn)一線”，意思是一個(gè)初態(tài)對(duì)應(yīng)一條絕不同于另一初態(tài)下的軌跡.明確了混沌和準(zhǔn)周期參數(shù)區(qū)之后，有必要將模型還原為方程組（10），（11）.當(dāng)然，非常容易理解，方程組（12）－（15）的解在yx平面的投影確信無疑就是原方程組的解.

圖3 方程組（12）—（15）的解Fig.3 Solutions of equations（12）—（15）

為了使讀者獲得保守振子“一點(diǎn)一線”的直觀映像，獲得對(duì)這類沒有瞬態(tài)的動(dòng)力學(xué)的理解，圖4給出k＝0.07時(shí)3組不同初態(tài)下的運(yùn)動(dòng)軌跡.其中圖a為x0＝0.25 m，y0＝0.88 m，x·0＝0.009 m／s，y·0＝0.1 m／s；圖b為x0＝0.4 m，y0＝0.25 m，x·0＝0.001 m／s，y·0＝0.09 m／s；圖c為x0＝0.4 m，y0＝0.25 m，x·0＝0.001 m／s，y·0＝0.001 m／s.結(jié)果顯示了運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)初始條件的強(qiáng)烈依賴.

圖4 不同初態(tài)下振子的混沌軌跡Fig.4 Chaotic trajectories in different initial conditions

4 準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)

非線性保守系統(tǒng)“一點(diǎn)一線”的運(yùn)動(dòng)特征對(duì)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)也不例外.圖5給出準(zhǔn)周期參數(shù)中k＝0.1時(shí)3組不同初始條件下振子的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)軌跡，其中圖a為

結(jié)果表明，振子的準(zhǔn)周期混沌運(yùn)動(dòng)一樣是遍歷運(yùn)動(dòng)，而且運(yùn)動(dòng)軌跡與初態(tài)一一對(duì)應(yīng).但是，單從振子的運(yùn)動(dòng)軌跡看，無法區(qū)分混沌運(yùn)動(dòng)與準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).唯一可靠的辦法是計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù).另外一個(gè)必須注意的問題是此前一些單從振動(dòng)圖線做出粗略判斷，認(rèn)為系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)的作法不妥，往往導(dǎo)致錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，因?yàn)轳詈险褡邮菑?qiáng)非線性系統(tǒng)，混沌的和準(zhǔn)周期的遍歷運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)比封閉軌道的周期運(yùn)動(dòng)普遍.在不引入耗散的情況下，“一點(diǎn)一線”的保守系統(tǒng)特性，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性增加了，同時(shí)也增加了認(rèn)識(shí)系統(tǒng)性態(tài)的難度.

圖5 不同初態(tài)下振子的準(zhǔn)周期軌跡Fig.5 Quai－periodic trajectories in different initial conditions

5 結(jié)束語

模擬研究了對(duì)稱耦合雙振子系統(tǒng)的平面運(yùn)動(dòng)，由Lyapunov指數(shù)判斷這個(gè)系統(tǒng)既有混沌運(yùn)動(dòng)又有準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然不排斥一些參數(shù)區(qū)存在周期運(yùn)動(dòng).由于所考察的系統(tǒng)是一個(gè)典型的保守非線性系統(tǒng)，所以即使準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡強(qiáng)烈依賴于初始條件.周期運(yùn)動(dòng)情形與此類似.因此，這樣的系統(tǒng)能夠展示非常豐富且復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形態(tài).但必須指出，不借助于Lyapunov指數(shù)而單憑對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡或振動(dòng)圖線的直接觀察對(duì)系統(tǒng)性態(tài)做出判斷的作法不妥，往往導(dǎo)致錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

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Complex movement in 2－space of a doubly asymmetric coupled spring

ZHANG Jian－guo1，ZHANG Yu－fen2
（1.Education Technology Center，Ningxia Teachers University，Guyuan 756000，China；2.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

A system formed by two springs coupled asymmetrically is suggested.The Lyapunov exponent is calculated in anquivalent system obtained by an increasing dimension and reducing order method.It indicates that the system is chaotic or quasi－periodic in the majority region of the controlled parameter，the elastic coefficient.The trajectories of system bear typical characteristics of a conservative system，that is，one trajectory corresponds uniquely to one set of initial conditions.It should be pointed out that the nature of such coupled oscillators can be revealed only by lyapunov exponent.

coupled oscillator；Lyapunov exponent；trajectory；nature of sy stem

O344

A

1000－1565（2012）02－0144－05

2011－09－12

河北省軟科學(xué)研究項(xiàng)目（IF2008000236）

張建國（1968－），男，寧夏固原人，寧夏師范學(xué)院副教授，主要從事教育技術(shù)與非線性科學(xué)動(dòng)力學(xué)研究.E－mail：jiaoyujish＠163.com

王蘭英）