劉英，陳永利

（1.河北大學數(shù)學與計算機學院，河北保定 071002；2.華北電力大學科技學院，河北保定 071051）

Banach空間中相對非擴張映射的強收斂定理

劉英1，陳永利2

（1.河北大學數(shù)學與計算機學院，河北保定 071002；2.華北電力大學科技學院，河北保定 071051）

用修正后的Halpern's迭代方法在Banach空間建立了一個迭代序列，證明了這一迭代序列強收斂到2個相對非擴張映射的公共不動點.

相對非擴張映射；廣義投影；Halpern's迭代；正規(guī)對偶映射

MSC 2010：47H05

設E是一個Banach空間，E＊是E的對偶空間.〈x，f〉表示f∈E＊在x∈E點的函數(shù)值.函數(shù)φ：E×E→R定義為

其中J表示E到E＊的正規(guī)對偶映射.設C是E的一個閉、凸子集，T是從C到自身的一個映射.用F（T）表示T的不動點集.如果｛x n｝?C使得｛x n｝弱收斂到p，而且，則稱點p∈C是T的漸進不動點［1］.T的漸進不動點的集合表示為＾F（T）.一映射T：C→C，如果滿足：對所有的x，y∈C，‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，則稱T為非擴張的，關(guān)于非擴張映射的一些研究可參見文獻［2］.如果滿足：對所有x∈C和p∈F（T），＾F（T）＝F（T）且φ（p，Tx）≤φ（p，x），則稱T為相對非擴張的［1］.相對非擴張映射的一些漸近性質(zhì)可

參見文獻［1，3－5］.Halpern［5］建立了如下的迭代序列：

這一迭代序列常常用來逼近非擴張映射T：C→C的不動點.

當空間E有一些較好性質(zhì)時，迭代序列（1）有下面的一些收斂特點.

1 預備知識

定義正規(guī)對偶映射J：E→2E＊為

正規(guī)對偶映射J有下面的性質(zhì)：

如果E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間，那么J是1－1映射，這時J－1是從E＊到E的正規(guī)對偶映射，而且也是1－1映射.如果E是一致光滑的，那么J在E的每個有界子集上是一致連續(xù)的.

用x n→x和x n?x分別表示｛x n｝強收斂到x，和｛x n｝弱收斂到x.

E是一致光滑的當且僅當是連續(xù)、單增的函數(shù)，而且（0）＝0.E的凸性模δ：（0，2］→ρEE［0，1］定義為

δE（ε）是連續(xù)單增函數(shù)而且δE（0）＝0.E是一致凸的，那么E有K－K性質(zhì).設E是光滑的Banach空間，函數(shù)φ：E×E→R定義為

注1［1］如果E是嚴格凸、光滑的Banach空間，那么對任意的x，y∈E，φ（y，x）＝0當且僅當x＝y(tǒng).

引理1［1］設E是一致凸和光滑的Banach空間，設｛y n｝，｛zn｝是E中的2個序列，如果φ（y n，zn）→0，而且，｛y n｝或｛zn｝是有界的，那么y n－z n→0.

設C是E的一非空、閉、凸子集，假定E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間，那么，對任意的x∈E，存在一點x0∈C使得

映射ΠC：E→C定義為ΠCx＝x0被稱為廣義投影［1，8，13］.

引理2［9，14］設C是光滑Banach空間E的一非空、閉、凸子集，設x∈E，那么x0＝ΠCx當且僅當

引理3［9，14］設E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，設x∈E，那么

引理4［1］設E是一嚴格凸、光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，設T：C→C是一相對非擴張映射，那么F（T）是閉、凸的.

引理5［15］設E是一致凸的Banach空間，設r＞0，那么存在一連續(xù)、嚴格增的凸函數(shù)g：［0，2r］→R使得g（0）＝0和

‖tx＋（1－t）y‖2≤t‖x‖2＋（1－t）‖y‖2－t（1－t）g（‖x－y‖），?x，y∈Br和t∈［0，1］，

其中Br＝｛z∈E：‖z‖≤r｝.

引理6［16］設E是一個一致凸、一致光滑的Banach空間，如果‖x‖≤R，且‖y‖≤R，那么下面的不等式成立：2L－1R2δE（‖x－y‖／4R）≤φ（x，y）≤4LR2ρE（4‖x－y‖／R），其中L是一常數(shù).

2 主要結(jié)果

對任意的x0∈C，定義如下的迭代序列｛x n｝：

定理1 設E是一致凸和一致光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，假定T，S是2個從C到自身的相對非擴張映射以致于F＝F（T）∩F（S）≠?，那么由式（5）定義的迭代序列｛x n｝強收斂到ΠFx0.

證明 首先表明對每一個n∈N，Cn和Q n是閉凸的.由Cn和Qn的定義，Cn是閉的，Qn是閉凸的；又因

［1］MATSUSHITA S，TAKAHASHI W.A strong convergence theorem for relatively nonexpansive mappings in a Banach space［J］.J Approx Theory，2005，134：257－266.

［2］張麗娟，陳俊敏.有關(guān)非擴張映射的帶誤差的迭代收斂定理［J］.河北大學學報：自然科學版，2007，27（3）：238－240.

ZHANG Lijuan，CHEN Junmin.Weak and strong convergence of a scheme with errors for three nonexpansive mappings［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2007，27（3）：238－240.

［3］BUTNARIU D，REICH S，ZASLAVSKI A J.Asymptotic behavior of relatively nonexpansive operators in Banach spaces［J］.J Appl Anal，2001，7：151－174.

［4］BUTNARIU D，REICH S，ZASLAVSKI A J.Weak convergence of orbits of nonlinear operators in reflexive Banach spaces［J］.Numer Funct Anal Optim，2003，24：489－508.

［5］CENSOR Y，REICH S.Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization［J］.Optimization，1996，37：323－339.

［6］H ALPERN B.Fixed points of nonexpanding maps［J］.Bull Amer Math Soc，1967，73：957－961.

［7］ISHIKAWA S.Fixed points by a new iteration method［J］.Proc Amer Math Soc，1974，44：147－150.

［8］WITTMANN R.Approximation of fixed points of nonexpansive mappings［J］.Arch Math.1992，58：486－491.

［9］ALBER Y I，REICH S.An iterative method for solving a class of nonlinear operator equations in Banach spaces［J］.Panamer Math J，1994，4：39－54.

［10］SHIOJI N，TAKAHASHI W.Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces［J］.Proc Amer Math Soc，1997，125：3641－3645.

［11］XU Hongkun.Iterative algorithms for nonlinear operators［J］.J London Math Soc，2002，66：240－256.

［12］MARTINEZ C Y，XU Hongkun.Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes［J］.Nonl Anal，2006，64：2400－2411.

［13］QIN Xiaolong，SU Yongfu.Strong convergence theorems for relatively nonexpansive mappings in a Banach space［J］.Nonl Anal，2007，67：1958－1965.

［14］KAMIMURA S，TAKAHASHI W.Strong convergence of a proximal－type algorithm in a Banach space［J］.SIAM J Optim，2002，13：938－945.

［15］XU Hongkun.Inequalities in Banach spaces with applications［J］.Nonl Anal，1991，16：1127－1138.

［16］CHIDUME C E，KHUMALO M，ZEGEYEH.Generalized projection and qpproximation of fixed points of nonself maps［J］.J Approx Theory，2003，120：242－252.

Strong convergence theorems for two relatively nonexpansive mappings in a Banach space

LIU Ying1，CHEN Yong－li2
（1.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Technology，North China Electric Power University，Baoding 071051，China）

An iteration sequence is proposed in Banach spaces by using the modified Halpern's iteration method.That the iteration sequence converges strongly a common fixed point of two relatively nonexpansive mapping is proved.

relatively nonexpansive mapping；generalized projection；Halpern's iteration；normalized duality mapping

O177.91

A

1000－1565（2012）02－0118－06

2011－04－27

河北省高等學校自然科學研究青年基金資助項目（2010110）；河北省自然科學青年基金資助項目（A2011201053；A2010000191）；國家自然科學基金資助項目（11101115）

劉英（1977－），女，河北邢臺人，河北大學副教授，主要從事非線性泛函分析方面的研究.

E－mail：ly＿cyh2007＠yahoo.com.cn

王蘭英）