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        Banach空間中相對非擴張映射的強收斂定理

        2012-12-09 07:41:14劉英陳永利
        河北大學學報(自然科學版) 2012年2期
        關(guān)鍵詞:劉英河北大學對偶

        劉英,陳永利

        (1.河北大學數(shù)學與計算機學院,河北保定 071002;2.華北電力大學科技學院,河北保定 071051)

        Banach空間中相對非擴張映射的強收斂定理

        劉英1,陳永利2

        (1.河北大學數(shù)學與計算機學院,河北保定 071002;2.華北電力大學科技學院,河北保定 071051)

        用修正后的Halpern's迭代方法在Banach空間建立了一個迭代序列,證明了這一迭代序列強收斂到2個相對非擴張映射的公共不動點.

        相對非擴張映射;廣義投影;Halpern's迭代;正規(guī)對偶映射

        MSC 2010:47H05

        設E是一個Banach空間,E*是E的對偶空間.〈x,f〉表示f∈E*在x∈E點的函數(shù)值.函數(shù)φ:E×E→R定義為

        其中J表示E到E*的正規(guī)對偶映射.設C是E的一個閉、凸子集,T是從C到自身的一個映射.用F(T)表示T的不動點集.如果{x n}?C使得{x n}弱收斂到p,而且,則稱點p∈C是T的漸進不動點[1].T的漸進不動點的集合表示為^F(T).一映射T:C→C,如果滿足:對所有的x,y∈C,‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,則稱T為非擴張的,關(guān)于非擴張映射的一些研究可參見文獻[2].如果滿足:對所有x∈C和p∈F(T),^F(T)=F(T)且φ(p,Tx)≤φ(p,x),則稱T為相對非擴張的[1].相對非擴張映射的一些漸近性質(zhì)可

        參見文獻[1,3-5].Halpern[5]建立了如下的迭代序列:

        這一迭代序列常常用來逼近非擴張映射T:C→C的不動點.

        當空間E有一些較好性質(zhì)時,迭代序列(1)有下面的一些收斂特點.

        1 預備知識

        定義正規(guī)對偶映射J:E→2E*為

        正規(guī)對偶映射J有下面的性質(zhì):

        如果E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間,那么J是1-1映射,這時J-1是從E*到E的正規(guī)對偶映射,而且也是1-1映射.如果E是一致光滑的,那么J在E的每個有界子集上是一致連續(xù)的.

        用x n→x和x n?x分別表示{x n}強收斂到x,和{x n}弱收斂到x.

        E是一致光滑的當且僅當是連續(xù)、單增的函數(shù),而且(0)=0.E的凸性模δ:(0,2]→ρEE[0,1]定義為

        δE(ε)是連續(xù)單增函數(shù)而且δE(0)=0.E是一致凸的,那么E有K-K性質(zhì).設E是光滑的Banach空間,函數(shù)φ:E×E→R定義為

        注1[1]如果E是嚴格凸、光滑的Banach空間,那么對任意的x,y∈E,φ(y,x)=0當且僅當x=y(tǒng).

        引理1[1]設E是一致凸和光滑的Banach空間,設{y n},{zn}是E中的2個序列,如果φ(y n,zn)→0,而且,{y n}或{zn}是有界的,那么y n-z n→0.

        設C是E的一非空、閉、凸子集,假定E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間,那么,對任意的x∈E,存在一點x0∈C使得

        映射ΠC:E→C定義為ΠCx=x0被稱為廣義投影[1,8,13].

        引理2[9,14]設C是光滑Banach空間E的一非空、閉、凸子集,設x∈E,那么x0=ΠCx當且僅當

        引理3[9,14]設E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間,C是E的一非空、閉、凸子集,設x∈E,那么

        引理4[1]設E是一嚴格凸、光滑的Banach空間,C是E的一非空、閉、凸子集,設T:C→C是一相對非擴張映射,那么F(T)是閉、凸的.

        引理5[15]設E是一致凸的Banach空間,設r>0,那么存在一連續(xù)、嚴格增的凸函數(shù)g:[0,2r]→R使得g(0)=0和

        ‖tx+(1-t)y‖2≤t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)g(‖x-y‖),?x,y∈Br和t∈[0,1],

        其中Br={z∈E:‖z‖≤r}.

        引理6[16]設E是一個一致凸、一致光滑的Banach空間,如果‖x‖≤R,且‖y‖≤R,那么下面的不等式成立:2L-1R2δE(‖x-y‖/4R)≤φ(x,y)≤4LR2ρE(4‖x-y‖/R),其中L是一常數(shù).

        2 主要結(jié)果

        對任意的x0∈C,定義如下的迭代序列{x n}:

        定理1 設E是一致凸和一致光滑的Banach空間,C是E的一非空、閉、凸子集,假定T,S是2個從C到自身的相對非擴張映射以致于F=F(T)∩F(S)≠?,那么由式(5)定義的迭代序列{x n}強收斂到ΠFx0.

        證明 首先表明對每一個n∈N,Cn和Q n是閉凸的.由Cn和Qn的定義,Cn是閉的,Qn是閉凸的;又因

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        Strong convergence theorems for two relatively nonexpansive mappings in a Banach space

        LIU Ying1,CHEN Yong-li2
        (1.College of Mathematics and Computer Science,Hebei University,Baoding 071002,China;2.College of Technology,North China Electric Power University,Baoding 071051,China)

        An iteration sequence is proposed in Banach spaces by using the modified Halpern's iteration method.That the iteration sequence converges strongly a common fixed point of two relatively nonexpansive mapping is proved.

        relatively nonexpansive mapping;generalized projection;Halpern's iteration;normalized duality mapping

        O177.91

        A

        1000-1565(2012)02-0118-06

        2011-04-27

        河北省高等學校自然科學研究青年基金資助項目(2010110);河北省自然科學青年基金資助項目(A2011201053;A2010000191);國家自然科學基金資助項目(11101115)

        劉英(1977-),女,河北邢臺人,河北大學副教授,主要從事非線性泛函分析方面的研究.

        E-mail:ly_cyh2007@yahoo.com.cn

        王蘭英)

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