劉忠志

（廣東白云學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510450）

應(yīng)用型本科《線性代數(shù)》與matlab教學(xué)改革

劉忠志

（廣東白云學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510450）

本文根據(jù)應(yīng)用型本科的特點和《線性代數(shù)》教學(xué)實踐，運用數(shù)學(xué)軟件“matlab”解決《線性代數(shù)》中的計算問題，實行筆算與電腦算相結(jié)合的教學(xué)改革與探討，取得較好的教學(xué)效果，深受學(xué)生歡迎。

應(yīng)用型本科；線性代數(shù)教學(xué)；“matlab”計算；教學(xué)改革

Matlab是數(shù)學(xué)計算軟件，功能非常強大，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，筆算與電腦算相結(jié)合是未來發(fā)展的必然趨勢，光用筆算不行，光用電腦算也不行，為什么呢？因為有些數(shù)學(xué)模型，用筆算很難算出，有的幾乎不可能。但用電腦算（數(shù)學(xué)軟件）很容易算出結(jié)果，來得快。但不能全依賴于電腦，基本計算方法、必要的簡單的筆算能力是要掌握的，有些簡單的問題用筆算還快一點，再則電腦算有它的局限性，它是死算，是機器算，不是人算，過份使用它會失去數(shù)學(xué)的一個重要作用：即邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如：現(xiàn)在經(jīng)商的、或上街買菜算數(shù)都用計算器，很少用筆算，難道叫小學(xué)生不要學(xué)筆算加、減、乘、除了嗎？，專學(xué)用計算器來算，那就麻煩了，將成為機器的奴隸，影響智力的開發(fā)。所以只有筆算和電腦算“兩算”相結(jié)合、互相彌補才是最佳途徑。

學(xué)過線性代數(shù)的人都知道,線性代數(shù)的特點是計算量大,單獨用筆算是很麻煩的,特別在實際應(yīng)用中，更為突出，例如：

案例：某食品廠收到某種食品訂單，要求這種食品由甲、乙、丙、丁四種原料做成，且該食品中含蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物的比例分別為15%、5%和12%，而甲、乙、丙、丁四種原料中含蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物的百分比由下表給出，這四種原料各用多少才配置出滿足要求的食品？

?

解：設(shè)甲、乙、丙、丁占食品的百分比分別為x1、x2、x3、x4

上面方程若用筆算來解，比較麻煩，但用matlab 解只用兩分鐘（電腦輸入過程）就可以解出

具體過程如下:

>>A=[1 1 1 1 1;20 16 10 15 15;3 8 2 5 5;10 25 20 5 12]

>>rref(A) 回車得：

ans = 1.0000 0 0 0 0.1031

0 1.0000 0 0 0.2147

0 0 1.0000 0 0.1460

0 0 0 1.0000 0.5362

注：A是增廣矩陣，rref(A)是計算命令，ans是計算結(jié)果：第一、二、三、四列分別表示x1、x2、x3、x4的位置，最后一列分別是x1、x2、x3、x4的得數(shù)。

用matlab解決數(shù)學(xué)問題是死算，只知其算，不知其理，所以筆算方法要給學(xué)生講清楚。

線性代數(shù)中的計算主要有：行列式的計算、矩陣的運算、解線性方程組、求特征值特征向量、矩陣的正交化，化標(biāo)準(zhǔn)二次型等等，每一個問題都是比較復(fù)雜的計算，用筆算是很繁瑣的，我們的教學(xué)方法模式如下：

案例→基本知識傳授→使用數(shù)學(xué)軟件matlab→應(yīng)用（祥見文[1]）

1、行列式的計算：先引進實用案例，然后介紹行列式的基本知識（定義、性質(zhì)等），再講解二階、三階、簡單四階行列式的筆算方法，對于一般四階或四階以上行列式的計算用電腦matlab軟件來計算，但是對于一般的n階行列式用電腦不一定能算出結(jié)果，應(yīng)采用筆算方法，因為n階行列式計算可以訓(xùn)練大腦思維能力，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。

解法二（電腦算）：

>>A=[2 -5 1 2;-3 7 -1 4;5 -9 2 7;4 -6 1 2];

>>det(A) 回車得：

ans = -9

提問學(xué)生：哪種方法好？百分之百的學(xué)生贊同電腦算好，但筆算的道理還是要給學(xué)生講清楚。

2、矩陣的運算：教學(xué)方法同上，特別指出的是，矩陣的乘法、矩陣的乘方和求逆矩陣主要以電腦計算為主，三階或三階以下矩陣的乘法、乘方（乘方三次以下）運算用筆算，

案例：某城市的總?cè)丝谑枪潭ǖ?開始時有30%的居民住在市區(qū),70%的住在郊區(qū).由于搬遷變化,每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住,而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)來住.問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口的比例是多少? 30年、50年、60年呢？

>>A=[0.94 0.02;0.06 0.98];

>> x0=[0.3 0.7]'; x10=A^10*x0, x50=A^50*x0，x60=A^60*x0 回車得：

所以10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口的比例是0.2717:0.7283;

30年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口的比例是0.2541:0.7459;

50年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口的比例是0.2508:0.7492。

60年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口的比例是0.2503:0.7497。

案例教學(xué)主要突出應(yīng)用。

3、逆矩陣的教學(xué)方法：首先介紹逆矩陣的定義、性質(zhì)、筆算求逆矩陣方法：

以及給學(xué)生講清楚為什么這樣求逆矩陣的道理之后，舉例如下：

解法一（筆算）:

解法二（電腦算）：

>> A=[1 2 3;2 1 2;1 3 4];

>> A^(-1) 回車得：

ans = -2.0000 1.0000 1.0000

-6.0000 1.0000 4.0000

5.0000 -1.0000 -3.0000

提問學(xué)生：哪種方法好？百分之百的學(xué)生贊同電腦算好。

這樣使學(xué)生既懂得了用筆算求逆矩陣方法，也懂得了用電腦求逆矩陣的方法，供學(xué)生選擇最佳方法。

4、解線性方程組（以解齊次線性方程組為例，非齊方程組前面已有例）：

（x3,x4為自由未知量）

解法二：（電腦算）

>>A=[1 -1 5 -1;1 1 -2 3;3 -1 8 1;1 3 -9 7];

>> D=null(A,’r’) 回車得：齊通的有理解基

D =-1.5000 -1.0000

3.5000 -2.0000

1.0000 0

0 1.0000

注:若不加’r’，用D=null(A)，得出兩個“單位正交向量”非有理數(shù).

5、求特征值、特征向量：

若用筆算求特征值、特征向量是相當(dāng)麻煩的一件事，筆算方法及其原理一定告訴學(xué)生，但在實際應(yīng)用中一般用電腦算。在下例中，只介紹用電腦求解：

解法一（筆算）：略。

解法二（電腦算）

>>A=[0 1 1;1 0 1;1 1 0]; >> [P,D]=eig(A) （P：特征列向量，D：對角陣特證值），

回車得：

P =－0.7152 0.3938 0.5774

0.0166 －0.8163 0.5774

0.6987 0.4225 0.5774

（特征向量為小數(shù)，主要是單位正交化了。正交矩陣定義：P'*P = E ）

我們知道用施密特方法把向量組正交化是相當(dāng)麻煩的，而電腦給出的結(jié)果直接是正交化了的向量組，真是太好了，這在實際應(yīng)用中有很大幫助。

線性代數(shù)中還有很多復(fù)雜的計算問題，用以上方法教學(xué)，會收到事半功倍的效果，深受學(xué)生歡迎，這里就不再一一舉例了。這樣教學(xué)還可以節(jié)約較多的課時，用于講解難點內(nèi)容（如線性相關(guān)、線性變換、向量空間等內(nèi)容）。

微積分教學(xué)特別是一元微積分教學(xué)應(yīng)等到期末再講matlab計算，否則，學(xué)生傾向matlab電腦計算，影響筆算能力的培養(yǎng)。作為現(xiàn)代大學(xué)生掌握運用matlab數(shù)學(xué)軟件計算很有必要，但必要的筆算能力是要具備的。

[1]劉忠志.應(yīng)用型本科高等數(shù)學(xué)教學(xué)與“CDIO”教學(xué)改革初探[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報,2011,(4).

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A

1673-2219（2012）08-0007-06

2012－04－21

第二批院級教學(xué)成果培育項目“應(yīng)用型本科《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)改革研究與實踐”。

劉忠志（1959－），男，湖南永州人，廣東白云學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部副教授，研究方向為高等數(shù)學(xué)教育研究。

（責(zé)任編校：何俊華）