熊 希，王尤富

（長江大學(xué) 石油工程學(xué)院，湖北 荊州 434023）①

地面驅(qū)動螺桿泵采油系統(tǒng)中，抽油桿連接地面驅(qū)動裝置和井下螺桿泵。系統(tǒng)在工作時，抽油桿將電機的動力傳遞給螺桿泵，還與油管柱內(nèi)壁發(fā)生碰撞，直接影響到抽油桿柱的運動和受力狀態(tài)［1－5］。判斷抽油桿是否與油管發(fā)生碰撞，需要計算抽油桿各處的位移，考慮到井斜因素的影響，本文采用有限元的方法對問題進行求解。

1 抽油桿有限元分析模型

假設(shè)初始條件為：①抽油桿軸線與油管的軸線重合；②抽油桿柱在啟動時不與油管壁發(fā)生接觸。

整個抽油桿柱可以看作為1條空間曲線，將其劃分成n個相連的又不互相重疊的梁單元，并以其中1個單元為研究對象。任一空間梁單元i、j節(jié)點位移、節(jié)點力分析如圖1所示。

圖1 單元節(jié)點位移和節(jié)點力分析

引入2個坐標系，其中OXYZ是固定坐標系，oxyz是單元局部坐標系［6］。設(shè)單元廣義節(jié)點位移向量為

單元節(jié)點速度向量為

單元廣義節(jié)點力向量為

根據(jù)哈密頓原理和拉格朗日方程，可得到單元的運動方程［7］為

式中，Te為抽油桿單元動能；Ve為抽油桿單元勢能；Re為抽油桿單元的能量耗散。

經(jīng)過進一步整理，得出單元有限元方程為

將單元的各個矩陣進行裝配，可形成系統(tǒng)的整體有限元方程，即

若令K｛d｝＝KL＋KN（｛d｝），由于單元的阻尼系數(shù)很難確定，一般將阻尼矩陣C處理成整體質(zhì)量矩陣M、整體剛度矩陣K（｛d｝）的線性組合，即

式中，a和b為系數(shù)，可由問題的性質(zhì)和相關(guān)實驗確定；M取決于梁單元的長度和密度，在式（6）中可視其為已知的系數(shù)矩陣；K（｛d｝）取決于該方程的解，可以通過迭代的方式求得。真正在求解方程之前需要了解等效節(jié)點載荷向量｛F｝以及約束支反力向量｛R｝，它取決于整個抽油桿在井筒中的受力情況。

2 抽油桿單元節(jié)點力向量

抽油桿單元在井筒中的受力情況如圖2所示，單元受到垂向下方向上的均布載荷q和單位長度上桿、液摩擦力矩Mm。按照右手定則，Mm的方向與局部坐標系中的x方向重合。其中，

設(shè)i節(jié)點的井斜角為αi，j節(jié)點的井斜角為αj，則有

圖2 抽油桿單元均布載荷分析

抽油桿單元的軸向位移函數(shù)u（x）、撓度函數(shù)v（x）、撓度函數(shù)ω（x）、截面轉(zhuǎn)角函數(shù)θ（x）的插值模式［8］為

式中，l為抽油桿單元的長度；x為單元局部坐標系中抽油桿任意截面的位置。

局部坐標系中，y軸方向上的節(jié)點剪切力Qyi、Qyj和平面xoy內(nèi)的彎矩Mzi、Mzj由y方向上的載荷引起；z軸方向上的節(jié)點剪切力Qzi、Qzj和平面xoz內(nèi)的彎矩Myi、Myj由z方向的載荷引起；x軸方向上的軸向力Ni、Nj和扭轉(zhuǎn)力矩Mxi、Mxj由x方向上的載荷引起。載荷q在單元局部坐標系中分解為

根據(jù)虛功原理，單元中廣義節(jié)點力所做的功與外部載荷q、M所做的功相等，即

則單元等效節(jié)點載荷為

現(xiàn)場鉆井中，實測井眼的數(shù)據(jù)為不同井深處的井斜角和井眼方位角，利用這些數(shù)據(jù)和三次樣條插值［9］的數(shù)值方法，可以求出任意井深處的井斜角和井眼方位角。

3 整體剛度矩陣裝配過程

單元質(zhì)量矩陣Me、單元線性剛度矩陣、單元非線性剛度矩陣顯然都為12×12的矩陣，所以可設(shè)

假設(shè)整個抽油桿柱劃分為n個單元，由于各抽油桿單元是首尾相接且整個系統(tǒng)是一個非閉合的系統(tǒng)，那么單元裝配成整體過程為

對于單元位移向量｛d｝e的裝配是按單元順序?qū)⑺泄?jié)點的位移排列在同一個向量里，即

4 約束支反力向量的計算

求解式（6）還需知道約束的支反力向量｛R｝，而抽油桿在沒有安裝扶正器的情況下，約束只存在于抽油桿的頂部和抽油桿底部。抽油桿在其頂部與光桿連接，因此受到向上的軸向力Fa；光桿向抽油桿傳遞輸出軸的動力，所以抽油桿頂部受到地面驅(qū)動扭矩T，而地面驅(qū)動扭矩會隨著時間發(fā)生變化，因此記

抽油桿帶動井下螺桿泵的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，需要克服轉(zhuǎn)子與定子摩擦產(chǎn)生的扭矩，其計算公式為

式中，Mμ為轉(zhuǎn)子、定子間的摩擦力矩，N·m；δ0為轉(zhuǎn)子、定子間的初始過盈量，mm；n為螺桿泵的轉(zhuǎn)速，r／min。

螺桿泵轉(zhuǎn)子克服泵進出口壓差做功，將機械能轉(zhuǎn)化為井液的勢能，能量轉(zhuǎn)化關(guān)系式為

式中，Mp為螺桿泵工作壓差產(chǎn)生的力矩，N·m；qth為轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)的排量，m3；Δp為螺桿泵工作壓差，Pa。

抽油桿受到的軸向力主要由抽油桿自身重力、抽油桿在采出液中受到的浮力、螺桿泵工作壓差作用在轉(zhuǎn)子上的力引起。如果可以忽略井斜，則抽油桿頂部軸向載荷為

式中，F(xiàn)1為抽油桿自身產(chǎn)生的重力，N；F2為螺桿泵工作壓差產(chǎn)生的軸向力，作用于抽油桿的底部，N；F3為抽油桿所受到的浮力，N。

式中，L為抽油桿下入深度，m；e為轉(zhuǎn)子偏心距，m；R為轉(zhuǎn)子截圓半徑，m。

如果將整個抽油桿柱由下往上劃分為n個單元，并且井口光桿扭矩已經(jīng)測出，那么約束的支反力向量為

式中，αn為最后一個抽油桿節(jié)點處的井斜角。

5 結(jié)論

1）螺桿泵抽油桿各個單元由于重力和桿、井液摩擦力矩的作用，在井筒中承受著分布均勻的載荷。利用有限元方法分析抽油桿的受力和運動狀態(tài)時，需要將均布的載荷轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點載荷，才能計算出各個節(jié)點不同方向上的位移和截面轉(zhuǎn)角。

2）利用抽油桿單元不同方向上的位移插值函數(shù)，根據(jù)虛功原理，可以求解出各節(jié)點的等效載荷。

3）由于各抽油桿單元是首尾相接且整個系統(tǒng)是一個非閉合的系統(tǒng)，整體剛度矩陣是按順序?qū)⑸弦粏卧獎偠染仃嚨挠蚁陆?×6子矩陣和下一單元剛度矩陣的左上角6×6子矩陣相疊加形成的，對于單元位移向量｛d｝e的裝配是按單元順序?qū)⑺泄?jié)點的位移排列在同一個向量里。

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