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        核實(shí)數(shù)據(jù)下的遞歸核密度估計(jì)

        2012-12-04 08:16:06宇世航趙世舜
        關(guān)鍵詞:密度估計(jì)樣本容量估計(jì)量

        宇世航, 趙世舜

        (1. 齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

        基于替代數(shù)據(jù)和核實(shí)樣本推斷的研究目前已有許多結(jié)果[1-10]. Sepanski等[1]研究了基于核實(shí)數(shù)據(jù)的非線性EV模型; Wolvreton等[11]提出了f(x)的遞歸型核密度估計(jì):

        由于遞歸型核密度估計(jì)在添加樣本點(diǎn)時(shí), 不必重新計(jì)算所有項(xiàng), 只需計(jì)算添加項(xiàng), 因此使計(jì)算更方便. 基于此, 本文考慮借助于核實(shí)數(shù)據(jù), 構(gòu)造一遞歸型概率密度估計(jì)量, 并研究其漸近正態(tài)性.

        1 主要結(jié)果

        于是在一些正則條件下,f(x)可被如下遞歸核估計(jì)量一致估計(jì):

        定義

        AppendixA條件:

        (A·f):f(x)是k階有界可導(dǎo)的;

        (A·K):K(·)在有界支撐集上是k階非負(fù)有界的核函數(shù);

        定理1在AppendixA條件下, 有

        證明:

        (3)

        這里C為任意常數(shù), 且在不同處可取不同的值. 于是, 由式(3)~(6)有

        從而

        其中

        及條件(A·bn,ηn), 可得

        (8)

        同理, 有

        (10)

        于是由式(2)~(10), 有

        (11)

        同理, 由(A·f),(A·K),(A·hj), 得

        (13)

        綜上所述, 有

        由條件(A·K)和(A·h), 有

        由式(15)~(17), 顯然有

        I1→N(0,θ1σ2(x)),

        (18)

        I2→N(0,θ2σ2(x)),

        (19)

        故結(jié)合式(15),(18)~(20)可得

        2 模擬結(jié)果

        (n,N)=(20,100),(50,100),(50,300),(100,300),

        圖1 n=20, N=100時(shí)的模擬結(jié)果Fig.1 Simulation result for n=20, N=100

        圖2 n=50, N=100時(shí)的模擬結(jié)果Fig.2 Simulation result for n=50, N=100

        圖3 n=50, N=300時(shí)的模擬結(jié)果Fig.3 Simulation result for n=50, N=300

        圖4 n=100, N=300時(shí)的模擬結(jié)果Fig.4 Simulation result for n=100, N=300

        由圖1~圖4可見, 給定樣本總數(shù)N的情況下, 模擬效果隨核實(shí)數(shù)據(jù)樣本容量n的增加而漸好; 當(dāng)固定核實(shí)數(shù)據(jù)樣本容量n時(shí), 頂部隨樣本總量N的增加模擬效果漸好, 尾部變差; 如果同時(shí)增大N和n, 模擬結(jié)果更趨近于f(x), 并且也更平滑.

        [1] Sepanski J H, Lee L F. Semiparametric Estimation of Nonlinear Error-in-Variables Models with Validation Study [J]. J Nonparametric Statist, 1995, 4: 365-394.

        [2] WANG Qi-hua. Estimation of Partial Linear Error-in-Variables Model with Validation Data [J]. J Multivaiate Anal, 1999, 69: 30-64.

        [3] WANG Qi-hua. Estimation of Linear Error-in-Covariables Models with Validation Data under Random Censorship [J]. J Multivariate Anal, 2000, 74(2): 245-266.

        [4] WANG Qi-hua, Rao J N K. Empirical Likelihood-Based Inference in Linear Error-in-Corariables Models with Validation Data [J]. Bioraetrika, 2002, 89(2): 345-358.

        [6] WANG Qi-hua, YU Ke-ming. Likelihood-Based Kernel Estimation in Semiparametric Errors-in-Covariables Models with Validation Data [J]. Journal of Multivariate Analysis, 2007, 98(3): 455-480.

        [7] XUE Liu-gen. Empirical Likelihood Inference in Nonlinear Semiparanetric EV Models with Validation Data [J]. Acta Mathematica Sinica: Chinese Series, 2006, 49(1): 145-154. (薛留根. 核實(shí)數(shù)據(jù)下非線性半?yún)?shù)EV模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào): 中文版, 2006, 49(1): 145-154.)

        [8] DAI Peng-jie, SUN Zhi-hua, WANG Peng. Model Checking for General Linear Error-in-Covariables Model with Validation Data [J]. Acta Mathematica Sinica, 2010, 23(6): 1153-1166.

        [9] WANG Qi-hua. Dimension Reduction in Partly Linear Error-in-Response Models with Validation Data [J]. Journal of Multivariate Analysis, 2003, 85(2): 234-252.

        [10] DU Li-lun, ZOU Chang-liang, WANG Zhao-jun. Nonparmetric Regression Function Estimation for Errors-in-Variables Models with Validation Data [J]. Statistica Sinica, 2011, 21: 1093-1113.

        [11] Wolvreton C T, Wagner T J. Asymptotically Optimal Discriminant Functions for Pattern Classification [J]. IEEE Trans, 1969, 15(2): 258-265.

        [12] Rao B L S P. Nonparametric Functional Estimation [M]. London: Academic Press, 1983.

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