截?cái)嗪统朔e的不變?cè)?/h1>
2012-12-04 08:15:48楊金英
吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版) 2012年5期 關(guān)鍵詞：定義
周 蕊, 楊金英
(1. 長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022; 2. 呼倫貝爾學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)
1 預(yù)備知識(shí)
Kn(a)=#{i,Xi∈(Mn-a,Mn]},
從而所有漸近最大值的和為
截?cái)嗪蜑?/p>
(1)
根據(jù)c值的不同, 將F分為3類: 當(dāng)c=0時(shí), 稱F具有重尾分布; 當(dāng)0定理1[9]設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 記μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 變異系數(shù)γ=σ/μ, 則
其中N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量. 文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步得到了部分和乘積的不變?cè)?
定理2[4]設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則
P{Tn(a)=0,n=1,2,…的個(gè)數(shù)有限}=1,
因此可假設(shè)Tn(a)處處不為零. 本文在中尾分布的條件下得到了截?cái)嗪统朔e的不變?cè)?
2 主要結(jié)果
設(shè)C表示正常數(shù), 不同之處可表示不同的值.
引理1設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則在D[0,1]中, 有
(2)
(3)
證明: 式(2)可見文獻(xiàn)[6]中引理2.1的證明; 式(3)可見文獻(xiàn)[4]中第130頁的證明.
定理3設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則在D[0,1]中, 有
(4)
其中{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).
(5)
根據(jù)幾乎處處收斂的定義知: ?δ>0, ?R>0, 使得當(dāng)s>R時(shí), 有
易知存在子列{δm}0及{Rm}∞, 滿足
于是有
顯然Am,n<δm. 對(duì)于Bm,n, 利用Taylor展式
有
其中θk∈(0,1),k=1,2,…,[nt]. 顯然Em,n≤δm. 下面估計(jì)Dm,n.
對(duì)于任意固定的m, 由式(4), 當(dāng)n→∞時(shí), 有
(6)
若Rm≥[nt]-1, 則有
(8)
最后證明
(9)
記
H
易證
注意到
而由引理1可知
從而
進(jìn)一步, 有
于是對(duì)于t∈[,1]一致地有
Yn,(t)=H
最后由式(5)～(9)以及文獻(xiàn)[11]中的定理4.2可知式(1)成立. 證畢.
所以定理2是定理3中t=1的特例, 因此本文推廣了已有的結(jié)果.
[1] Pakes A G, Steutel F W. On the Number of Records Near the Maximum [J]. Austral J Statist, 1997, 39(2): 179-192.
[2] Pakes A G, LI Yun. Limit Laws for the Number of Near Maxima via the Poission Approximation [J]. Statist Probab Lett, 1998, 40(4): 395-401.
[3] HU Zhi-shui, SU Chun. Limit Theorems for the Number and Sum of Near Maxima for Medium Tails [J]. Statist Probab Lett, 2003, 63(3): 229-237.
[4] ZOU Hai-lian, ZHANG Li-xin. Asymptotic Distribution of the Product of Trimmed Sums [J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition, 2007, 34(2): 128-131. (鄒海連, 張立新. 一類截?cái)嗖糠趾统朔e的漸近正態(tài)性 [J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2007, 34(2): 128-131.)
[5] LIU Wei-dong, LIN Zheng-yan. Some LIL Type Results on the Partial Sums and Trimmed Sums with Multidimensional Indices [J]. Electron Comm Probab, 2007, 12: 221-233.
[6] ZANG Qing-pei, LIN Zheng-yan. The Asymptotic Distribution of the Random Product of Trimmed Sums [J]. J Systems Sci Math Sci, 2009, 29(2): 145-152. (臧慶配, 林正炎. 截?cái)嗪碗S機(jī)乘積的漸近性質(zhì) [J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2009, 29(2): 145-152.)
[7] FU Ke-ang, ZHANG Li-xin. A General LIL for Trimmed Sums of Random Fields in Banach Spaces [J]. Acta Math Hungar, 2009, 122(1/2): 91-103.
[8] FU Ke-ang. An Almost Sure Invariance Principle for Trimmed Sums of Random Vectors [J]. Proc Indian Acad Sci Math Sci, 2010, 120(5): 611-618.
[9] Rempala G, Wesolowski J. Asymptotic for Products of Sums and U-Statistics [J]. Electron Comm Probab, 2002, 7(5): 47-54.
[10] ZHANG Li-xin, HUANG Wei. A Note on the Invariance of Principle of the Product of Sums of Random Variables [J]. Electron Comm Probab, 2007, 12: 51-56.
[11] Billingsley P. Convergence of Probability Measures [M]. New York: Wiley, 1968.
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(1)
根據(jù)c值的不同, 將F分為3類: 當(dāng)c=0時(shí), 稱F具有重尾分布; 當(dāng)0 定理1[9]設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 記μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 變異系數(shù)γ=σ/μ, 則 其中N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量. 文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步得到了部分和乘積的不變?cè)? 定理2[4]設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則 P{Tn(a)=0,n=1,2,…的個(gè)數(shù)有限}=1, 因此可假設(shè)Tn(a)處處不為零. 本文在中尾分布的條件下得到了截?cái)嗪统朔e的不變?cè)? 設(shè)C表示正常數(shù), 不同之處可表示不同的值. 引理1設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則在D[0,1]中, 有 (2) (3) 證明: 式(2)可見文獻(xiàn)[6]中引理2.1的證明; 式(3)可見文獻(xiàn)[4]中第130頁的證明. 定理3設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的正平方可積隨機(jī)變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則在D[0,1]中, 有 (4) 其中{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng). (5) 根據(jù)幾乎處處收斂的定義知: ?δ>0, ?R>0, 使得當(dāng)s>R時(shí), 有 易知存在子列{δm}0及{Rm}∞, 滿足 于是有 顯然Am,n<δm. 對(duì)于Bm,n, 利用Taylor展式 有 其中θk∈(0,1),k=1,2,…,[nt]. 顯然Em,n≤δm. 下面估計(jì)Dm,n. 對(duì)于任意固定的m, 由式(4), 當(dāng)n→∞時(shí), 有 (6) 若Rm≥[nt]-1, 則有 (8) 最后證明 (9) 記 H 易證 注意到 而由引理1可知 從而 進(jìn)一步, 有 于是對(duì)于t∈[,1]一致地有 Yn,(t)=H 最后由式(5)～(9)以及文獻(xiàn)[11]中的定理4.2可知式(1)成立. 證畢. 所以定理2是定理3中t=1的特例, 因此本文推廣了已有的結(jié)果. [1] Pakes A G, Steutel F W. On the Number of Records Near the Maximum [J]. Austral J Statist, 1997, 39(2): 179-192. [2] Pakes A G, LI Yun. Limit Laws for the Number of Near Maxima via the Poission Approximation [J]. Statist Probab Lett, 1998, 40(4): 395-401. [3] HU Zhi-shui, SU Chun. Limit Theorems for the Number and Sum of Near Maxima for Medium Tails [J]. Statist Probab Lett, 2003, 63(3): 229-237. [4] ZOU Hai-lian, ZHANG Li-xin. Asymptotic Distribution of the Product of Trimmed Sums [J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition, 2007, 34(2): 128-131. (鄒海連, 張立新. 一類截?cái)嗖糠趾统朔e的漸近正態(tài)性 [J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2007, 34(2): 128-131.) [5] LIU Wei-dong, LIN Zheng-yan. Some LIL Type Results on the Partial Sums and Trimmed Sums with Multidimensional Indices [J]. Electron Comm Probab, 2007, 12: 221-233. [6] ZANG Qing-pei, LIN Zheng-yan. The Asymptotic Distribution of the Random Product of Trimmed Sums [J]. J Systems Sci Math Sci, 2009, 29(2): 145-152. (臧慶配, 林正炎. 截?cái)嗪碗S機(jī)乘積的漸近性質(zhì) [J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2009, 29(2): 145-152.) [7] FU Ke-ang, ZHANG Li-xin. A General LIL for Trimmed Sums of Random Fields in Banach Spaces [J]. Acta Math Hungar, 2009, 122(1/2): 91-103. [8] FU Ke-ang. An Almost Sure Invariance Principle for Trimmed Sums of Random Vectors [J]. Proc Indian Acad Sci Math Sci, 2010, 120(5): 611-618. [9] Rempala G, Wesolowski J. Asymptotic for Products of Sums and U-Statistics [J]. Electron Comm Probab, 2002, 7(5): 47-54. [10] ZHANG Li-xin, HUANG Wei. A Note on the Invariance of Principle of the Product of Sums of Random Variables [J]. Electron Comm Probab, 2007, 12: 51-56. [11] Billingsley P. Convergence of Probability Measures [M]. New York: Wiley, 1968.2 主要結(jié)果
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