程 昀, 楊印生, 盛學(xué)之

(1. 吉林大學(xué) 管理學(xué)院, 長春 130025； 2. 山東大學(xué)威海分校 機(jī)電與信息工程學(xué)院, 山東 威海 264209；3. 密歇根州立大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 美國 東蘭辛 48823)

網(wǎng)絡(luò)DEA[1]主要針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)相對(duì)有效性(簡稱效率)的求解問題. 常見的復(fù)雜系統(tǒng)有鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)、 環(huán)型結(jié)構(gòu)和復(fù)合結(jié)構(gòu), 分別如圖1～圖3所示. 這些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 求解其效率的DEA方法統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)DEA方法. 文獻(xiàn)[2-6]以供應(yīng)鏈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為主, 構(gòu)建了串型系統(tǒng)DEA效率評(píng)價(jià)模型； 文獻(xiàn)[7-10]針對(duì)并型獨(dú)立子系統(tǒng)提出了一系列DEA效率評(píng)價(jià)模型; 文獻(xiàn)[11]基于靜態(tài)情形, 得到了以效率區(qū)間表示的環(huán)型系統(tǒng)效率. 但對(duì)于如圖3所示的不同階段、 不同層次的子系統(tǒng)都存在投入產(chǎn)出關(guān)系, 每個(gè)子系統(tǒng)還存在外部投入產(chǎn)出關(guān)系, 系統(tǒng)之間構(gòu)成很多環(huán)型結(jié)構(gòu)的這類復(fù)合系統(tǒng), 目前對(duì)其提出具體的網(wǎng)絡(luò)DEA模型報(bào)道較少.

圖3所示的系統(tǒng)內(nèi)部縱橫交錯(cuò), 類似多維矩陣的形式, 該類系統(tǒng)稱為矩陣型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng). 基于生命周期評(píng)價(jià)(LCA)的供應(yīng)鏈管理系統(tǒng)、 投入產(chǎn)出系統(tǒng)等均為此類結(jié)構(gòu)形式. 對(duì)于3個(gè)子系統(tǒng)的矩陣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), Amatatsu等[12]在SBM模型[13-14]的基礎(chǔ)上, 提出一個(gè)網(wǎng)絡(luò)DEA模型, 但未對(duì)該模型解的存在性及性質(zhì)進(jìn)行討論. 本文針對(duì)圖3所示的n個(gè)子系統(tǒng)的矩陣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析, 提出了求解其效率的網(wǎng)絡(luò)DEA模型, 證明了新模型解的存在性, 給出了決策單元弱DEA有效性的定義, 并討論了決策單元的弱DEA有效性與相應(yīng)多目標(biāo)規(guī)劃弱Parteo解的關(guān)系.

圖1 鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的串型結(jié)構(gòu)(A)和并型結(jié)構(gòu)(B)Fig.1 Serial stucture (A) and parallel stucture (B) of chain stucture

圖2 環(huán)型結(jié)構(gòu)Fig.2 Ring structure

圖3 復(fù)合結(jié)構(gòu)Fig.3 Composite structure

1 矩陣型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)DEA模型及其對(duì)偶

(1)

易得矩陣型網(wǎng)絡(luò)DEA模型(1)的對(duì)偶模型如下：

(2)

顯然, 矩陣型網(wǎng)絡(luò)DEA模型及其對(duì)偶模型均為線性規(guī)劃模型.

2 矩陣型網(wǎng)絡(luò)DEA模型解的存在性

(3)

(4)

將不等式(3)中的l=1,2,…,m累加, 得

整理可得

(5)

由對(duì)偶理論可知, 模型(1)與對(duì)偶模型(2)的最優(yōu)值相同, 即

3 矩陣型網(wǎng)絡(luò)DEA模型解的性質(zhì)

考慮如下多目標(biāo)規(guī)劃：

(6)

其中

為矩陣型網(wǎng)絡(luò)DEA模型(1)的生產(chǎn)可能集.

定義2設(shè)(X*,Y*)∈T, 若不存在(X,Y)∈T, 使得F(X,Y)

引理1設(shè)(X0,Y0)為多目標(biāo)規(guī)劃(6)對(duì)應(yīng)的線性加權(quán)問題

的最優(yōu)解, 若(ω0T,μ0T)≥0, 則(X0,Y0)為多目標(biāo)規(guī)劃(6)的弱Pareto解.

定理2若決策單元DMUj 0是弱DEA有效的, 則(X0,Y0)必為多目標(biāo)規(guī)劃(6)的弱Pareto解.

且k≠l,

(11)

則由式(8)可知

(12)

進(jìn)一步整理不等式(12)左邊后兩項(xiàng)可得

再結(jié)合不等式(11)可得

(13)

則

(14)

因此, 對(duì)?(X,Y)∈T, 結(jié)合式(14)有

即(X0,Y0)為多目標(biāo)問題(6)相應(yīng)于以ω*,μ*≥0為權(quán)的如下線性加權(quán)和問題的最優(yōu)解:

從而由引理1知, (X0,Y0)為多目標(biāo)問題(6)的弱Pareto解.

綜上, 本文通過建立矩陣型網(wǎng)絡(luò)DEA模型解決了矩陣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的效率評(píng)價(jià)問題. 新模型的性質(zhì)表明, 新模型在矩陣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的效率評(píng)價(jià)方面可行、 有效.

[1] Fare R, Grosskopf S. Network DEA [J]. Socio-Economic Planning Sciences, 2000, 34(1): 35-49.

[2] Sexton T R, Lewis H F. Two-Stage DEA: An Application to Major League Baseball [J]. Journal of Productivity Analysis, 2003, 19(2/3): 227-249.

[3] CHEN Yao, LIANG Liang, YANG Feng, et al. Evaluation of Information Technology Investment: A Data Envelopment Analysis Approach [J]. Computers & Operations Research, 2006, 33(5): 1368-1379.

[4] BI Gong-bing, LIANG Liang, YANG Feng. A DEA-Based Efficiency-Measuring Model for a Two Stage Production System [J]. Chinese Journal of Management Science, 2007, 15(2): 92-96. (畢功兵, 梁樑, 楊鋒. 兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)的DEA效率評(píng)價(jià)模型 [J]. 中國管理科學(xué), 2007, 15(2): 92-96.)

[5] WEI Quan-ling, PANG Li-yong. The Chain Network with Stages’Final Output DEA Models [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2010, 40(10): 53-60. (魏權(quán)齡, 龐立永. 具有階段最終產(chǎn)出的鏈?zhǔn)骄W(wǎng)絡(luò)DEA模型 [J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2010, 40(10): 53-60.)

[6] KAO Chiang, HWANG Shiuh-nan. Efficiency Decomposition in Two-Stage Data Envelopment Analysis: An Application to Non-life Insurance Companies in Taiwan [J]. European Journal of Operational Research, 2008, 185(1): 418-429.

[7] YANG Ying-sheng, MA Ben-jiang, Koike M. Efficiency-Measuring DEA Model for Production System withkIndependent Subsystems [J]. Journal of the Operations Research Society of Japan, 2000, 43(3): 343-354.

[8] DUAN Yong-rui, TIAN Peng, ZHANG Wei-ping. DEA Models with Independent Subsystems and Their Application [J]. Journal of Industrial Engineering/Engineering Management, 2006, 20(1): 27-31. (段永瑞, 田澎, 張衛(wèi)平. 具有獨(dú)立子系統(tǒng)的DEA模型及其應(yīng)用 [J]. 管理工程學(xué)報(bào), 2006, 20(1)： 27-31.)

[9] KAO Chiang. Efficiency Measurement for Parallel Production Sysytems [J]. European Journal of Operational Research, 2009, 196(3): 1107-1112.

[10] YANG Feng, LIANG Liang, LING Liu-yi, et al. DEA Efficiency Evaluationg Models for DMUs with Parallel Structure [J]. Chinese Journal of Management Science, 2009, 17(6): 157-162. (楊鋒, 梁樑, 凌六一, 等. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)決策單元的DEA效率評(píng)價(jià)研究 [J]. 中國管理科學(xué), 2009, 17(6): 157-162.)

[11] YANG Feng. Efficiency Evaluation of DMUS with Multiple Subsystems [D]: [Ph D Thesis]. Hefei: University of Science and Technology of China, 2006. (楊鋒. 含有多個(gè)子系統(tǒng)的決策單元的DEA效率評(píng)估研究 [D]: [博士學(xué)位論文]. 合肥： 中國科技大學(xué), 2006.)

[12] Amatatsu H, Ueda T. Input-Output Tables and Network DEA: Efficiencies of the 47 Prefectures of Japan [C]//DEA Symposium 2009. Osaka: Osaka University, 2009: 91-97.

[13] Tone K. A Slacks-Based Measure of Super-Efficiency in Data Envelopment Analysis [J]. European Journal of Operational Research, 2002, 143(1): 32-41.

[14] Tone K, Tsutsui M. Network DEA: A Slacks-Based Measure Approach [J]. European Journal of Operational Research, 2009, 197(1): 243-252.