韓 芳 陳金甌 柳 青△

醫(yī)學(xué)研究中常涉及用多個指標(biāo)對兩類對象進(jìn)行預(yù)測或判別的問題，logistic回歸是兩分類判別或疾病風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測的常用模型之一。通常用極大似然法估計(jì)logistic回歸的模型參數(shù)，隨著計(jì)算機(jī)功能的日益強(qiáng)大和模型求解方法發(fā)展，有人提出了其他的參數(shù)估計(jì)方法。在以前的應(yīng)用中人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)變量較多而樣本有限時，極大似然法估計(jì)存在過擬合現(xiàn)象，模型外推應(yīng)用時出現(xiàn)較大的泛化誤差。此外當(dāng)變量較多而樣本較小時，極大似然估計(jì)的參數(shù)會出現(xiàn)異常值，例如極大極小的參數(shù)估計(jì)值或極大的標(biāo)準(zhǔn)誤〔1－2〕。本文擬通過模擬比較參數(shù)估計(jì)的遺傳算法和極大似然法的結(jié)果，從理論上考證極大似然法和遺傳算法的適用條件。

遺傳算法是通過不斷的選擇、交叉、變異的計(jì)算程式來得到最優(yōu)解的一種方法，適用范圍很廣，在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域里已有應(yīng)用，如特殊模型遺傳程序設(shè)計(jì)(genetic programming)用于疾病數(shù)據(jù)的分類〔3－5〕;又如疾病相關(guān)基因的遺傳算法搜索〔6〕。在醫(yī)學(xué)分類問題中，通常用分類效能指標(biāo)考察模型的優(yōu)劣〔7〕，而通常評價模型參數(shù)估計(jì)方法時只考察了模型系數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，沒有考察模型的分類效能。本文主要從分類效能和泛化誤差著手，考察極大似然法和遺傳算法用于估計(jì)logistic回歸模型參數(shù)的價值。

數(shù)據(jù)模擬和參數(shù)估計(jì)方法

1.數(shù)據(jù)模擬

建立8個自變量的logistic回歸模型，自變量包括分類變量和數(shù)值變量，數(shù)值變量包括呈正態(tài)分布的變量和偏倚分布變量。模型設(shè)置分別為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置(模型1)、自變量間有相關(guān)(模型2)和自變量間有相關(guān)并且隨機(jī)誤差較大(模型3)。模型表達(dá)式如下:

模型1 logit(p)=0.5+0.8x1－1.2x2+1.3x3+1.5x4－0.7x5+1.7x6－1.5x7－0.7x8+e1

模型2 logit(p)=1.5－0.9x1+0.8x3+0.8x2x4－1.2x5－0.6x6－0.6x7+0.8x8x1+e2

模型3 logit(p)=1.5－0.3x1+0.2x3+0.2x2x4－0.4x5－0.2x6－0.2x7+0.2x8x1+e3

其中x1，x4為兩分類變量，x2，x3為有序3分類變量，x8為有序5分類變量，x5，x6為正態(tài)分布數(shù)值變量，x7為偏倚分布數(shù)值變量。e為隨機(jī)誤差項(xiàng)，e1服從均數(shù)為0，方差為3的正態(tài)分布;e2和e3服從均數(shù)為0，方差為7的正態(tài)分布。模型2中，x3與x1、x2有相關(guān):m3=1.2x1+0.6x2+e，x3為分類變量，所以由m3轉(zhuǎn)換產(chǎn)生;x6與 x4、x5有相關(guān)，x6=0.4x4+0.6x5+e;并且x2與x4，x1與x8之間存在交互作用項(xiàng)。模型3的自變量設(shè)置、變量間相關(guān)、交互作用項(xiàng)與模型2相同，但模型中各自變量的系數(shù)值減少，與預(yù)測變量的關(guān)聯(lián)減弱。

根據(jù)模型1、2和3分別模擬一份例數(shù)為1 000的數(shù)據(jù)作為總體，從中抽取200份樣本(包括訓(xùn)練集100份和驗(yàn)證集100份)，訓(xùn)練集的樣本量分別為800、200、80和40;驗(yàn)證集的樣本量不變，均為200。分別根據(jù)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)用極大似然法和遺傳算法兩種參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)模型參數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)的模型參數(shù)分別做訓(xùn)練集和驗(yàn)證集數(shù)據(jù)的判別，考察這兩種參數(shù)估計(jì)方法建立模型的分類效能，分類效能的指標(biāo)為靈敏度、特異度和正確度。

2.遺傳算法的參數(shù)設(shè)置

本研究中遺傳算法的目的就是要搜索出一組模型參數(shù)，使模型的分類效能達(dá)到最大。選入logistic回歸和遺傳算法的初始變量均是x1～x8，logistic回歸通過P值是否小于0.05來篩選最終模型的變量，而遺傳算法通過設(shè)定系數(shù)來篩選變量，例如a1b1x1項(xiàng)，系數(shù)a采用二進(jìn)制編碼，取值為1或0，系數(shù)b采用實(shí)數(shù)編碼，取值范圍為(－∞，+∞)或者根據(jù)實(shí)際意義加以限定［－2，2］，當(dāng)a1=1時表示模型選入x1變量，b1就是x1的系數(shù)值，相反當(dāng)a1=0時表示模型不選入x1變量，b1無意義。

另外遺傳算法本身運(yùn)算過程需要設(shè)定一些參數(shù)，為了得到遺傳算法的最好結(jié)果，通常以不同的參數(shù)試驗(yàn)，經(jīng)過多次試驗(yàn)，選擇針對問題的最佳參數(shù)〔8〕。本次分析中設(shè)置初始參數(shù):種群大小為20，交叉概率為0.6，變異概率為0.005，最大進(jìn)化代數(shù)為100，自變量系數(shù)的范圍為［－2，2］。通過程序運(yùn)行的情況以及結(jié)果的合理性情況調(diào)整程序的參數(shù)。

本程序采用的最終參數(shù)如下:種群大小為100，交叉概率為0.6，變異概率為0.01，自變量系數(shù)的范圍為［－2，2］，最大進(jìn)化代數(shù)為300，目標(biāo)函數(shù)值超過50代沒有改善則程序停止，表示當(dāng)前代中的最優(yōu)個體為最終結(jié)果。使用的統(tǒng)計(jì)軟件為SAS 8.1、SPSS 13.0和MATLAB 7.0。

結(jié) 果

1.標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)設(shè)置的模擬結(jié)果

標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)設(shè)置指自變量獨(dú)立性較好，自變量之間不存在相關(guān)，并且無交互作用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在800、200、80和40四種樣本量下，極大似然法估計(jì)的模型分類效能在訓(xùn)練集和驗(yàn)證集均高于遺傳算法估計(jì)的模型，如表1所示。但在樣本量為40的情況下，兩份樣本的模型參數(shù)極大似然法估計(jì)不收斂。觀察四種樣本量情況下的兩種參數(shù)估計(jì)方法的效能，發(fā)現(xiàn)隨著樣本量的減小，極大似然法在驗(yàn)證集中的分類效能逐漸下降，說明極大似然法的泛化誤差隨著樣本量的減小而增大。而隨著樣本量的減小，遺傳算法在驗(yàn)證集中的分類效能下降不如極大似然法明顯，但遺傳算法在訓(xùn)練集中的分類效能有一個逐漸增長的趨勢，提示隨著樣本量的減小遺傳算法的過擬合現(xiàn)象越來越明顯。在樣本量為40時，兩種方法在訓(xùn)練集中的分類效能差異已無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表1 兩種方法不同樣本量下(模型1)在訓(xùn)練集和驗(yàn)證集中的分類效能(ˉX±S)

2.存在變量相關(guān)和交互作用參數(shù)設(shè)置的模擬結(jié)果

當(dāng)自變量間存在相關(guān)，并且有交互作用項(xiàng)時，考察兩種參數(shù)估計(jì)方法在不同樣本量下的效能。在樣本量為800和200時，極大似然法估計(jì)的模型分類效能在訓(xùn)練集和驗(yàn)證集仍然高于遺傳算法估計(jì)的模型，如表2所示，但在樣本量為80和40時，極大似然法和遺傳算法估計(jì)的模型分類效能差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，說明數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時極大似然法估計(jì)模型參數(shù)的分類效能降低。同樣的，在樣本量為40的情況下，五份樣本的模型參數(shù)極大似然法估計(jì)不收斂，說明復(fù)雜的自變量間關(guān)系影響了極大似然法的參數(shù)估計(jì)效能。

另外觀察四種樣本量情況下的兩種參數(shù)估計(jì)方法的模型分類效能，發(fā)現(xiàn)和標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置同樣的趨勢，極大似然法的泛化誤差隨著樣本量的減小而增大;遺傳算法的過擬合隨著樣本量的減小而增大。

表2 兩種方法不同樣本量下(模型2)在訓(xùn)練集和驗(yàn)證集中的分類效能(ˉX±S)

3.隨機(jī)誤差增大模型模擬結(jié)果

當(dāng)自變量間關(guān)系復(fù)雜而隨機(jī)誤差增大時，數(shù)據(jù)變異程度增加。在這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)下，自變量對因變量的影響受到干擾比較大，在這種情況評價兩種參數(shù)估計(jì)方法的分類效能。在訓(xùn)練集樣本量為80的情況下，100份訓(xùn)練集樣本中有64份樣本極大似然法不收斂，訓(xùn)練集樣本量200時，仍有39份樣本極大似然法不收斂(表3)。提示當(dāng)數(shù)據(jù)不理想時，極大似然法受樣本量限制比較大，而遺傳算法不受影響。撇開極大似然法不收斂的那些樣本，模型3的兩種方法估計(jì)模型參數(shù)的分類效能與模型2相似，故不重復(fù)。

表3 極大似然法無法估計(jì)參數(shù)的樣本數(shù)

討 論

本文通過模擬研究發(fā)現(xiàn):遺傳算法在數(shù)據(jù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不復(fù)雜的情況下能達(dá)到較高的分類效能，如模型1里面遺傳算法的分類效能在0.7～0.8之間，但其分類效能并沒有超越logistic回歸方法。而logistic回歸參數(shù)的極大似然法估計(jì)是常規(guī)的方法，已經(jīng)有相當(dāng)長時間的應(yīng)用。因此，一般情況下極大似然法仍屬首選參數(shù)估計(jì)方法。但是模擬結(jié)果也提示:當(dāng)樣本量較小，自變量關(guān)系復(fù)雜，自變量與因變量關(guān)系較弱時，模型參數(shù)的極大似然法估計(jì)可能不收斂，這時遺傳算法可能成為理想的替代方法。

有文獻(xiàn)報(bào)道遺傳算法做logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)〔9〕，效果更好，但該文獻(xiàn)為單個自變量的logistic曲線模型。本文模擬結(jié)果顯示遺傳算法還不能替代極大似然法用于logistic回歸參數(shù)估計(jì)，僅在小樣本復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)情況，有一定的價值。

樣本量小或自變量與因變量關(guān)聯(lián)較弱的情況在基因突變與疾病關(guān)聯(lián)分析中比較常見，這時極大似然法可能無法完成logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)，而遺傳算法可能發(fā)揮其優(yōu)勢。此外遺傳算法在模型搜索方面更具有優(yōu)勢，遺傳算法搜索出的模型相對簡單，能從大量的自變量中搜索出對應(yīng)變量有影響的自變量，簡化模型，因此模擬遺傳算法搜索不同結(jié)構(gòu)logistic回歸模型及估計(jì)參數(shù)的效果，值得進(jìn)一步探索。

1．馮國雙，陳景武，周春蓮．logistic回歸應(yīng)用中容易忽視的幾個問題．中華流行病學(xué)雜志，2004，25:544-545．

2．陳彬，李從珠．基于選擇抽樣下的Logistic回歸．北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，18:86-90．

3．Cornelis J，Biesheuvel，Ivar S．Genetic programming outperformed multivariable logistic regression in diagnosing pulmonary embolism．Journal of Clinical Epidemiology，2004，57:551-560．

4．Ivar S，Maarten K．Genetic programming as a method to develop powerful predictive models for clinical diagnosis．GECCO'05 2005，June，164-166．

5．Milo E，Jeffrey AK．Use of genetic programming to diagnose venous thromboembolism in the emergency department．GenetProgram Evolvable，2008，9:39-51．

6．Li L，Jiang W，Li X．A robust hybrid between genetic algorithm and support vector machine for extracting an optimal feature gene subset．Genomics，2005，85:16-23．

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8．Michalewicz Z，Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs．Berlin:Germany Springer，1989．

9．蔡煜東．運(yùn)用遺傳算法擬合 Logistic曲線的研究．生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1995，10:59-63．