閆麗娜 覃 婷 王 彤△

通過揭露癌癥死亡等終點事件發(fā)生的時間和基因表達譜數(shù)據(jù)之間的關(guān)系來研究不同患者的預(yù)后從而改進治療策略，故而基于基因資料的生存分析越來越得到重視。生存資料的經(jīng)典方法是Cox比例風(fēng)險回歸模型，該模型要求自變量之間相互獨立，且樣本量大于預(yù)測變量，但在基因表達譜資料中，預(yù)測變量遠遠大于樣本含量且各變量之間常具有強相關(guān)，呈現(xiàn)高維度和共線性，此時傳統(tǒng)Cox模型就不再適用。本文介紹的LASSO就是在系數(shù)的絕對值之和上增加一個約束條件來對高維資料進行降維〔1〕，可得到更好的擬合效果。

基本思想與原理介紹

LASSO(the least absolute shrinkage and selection operator)由 Tibshirani〔2〕提出，由于它是對系數(shù)的絕對值而非系數(shù)的平方項進行懲罰，也叫L1懲罰，它是在回歸系數(shù)的絕對值之和小于等于一個常數(shù)λ的約束條件下，使logL(β)達到最大來產(chǎn)生某些嚴(yán)格等于0的回歸系數(shù)，從而得到參數(shù)估計值。即:

調(diào)整參數(shù)λ的估計

該模型的復(fù)雜性主要在于確定最優(yōu)調(diào)整參數(shù)λ，調(diào)整參數(shù)λ的估計一般有三種方法:交叉驗證法，廣義交叉驗證法和無偏估計的風(fēng)險分析。其中最常用的交叉驗證法〔4〕由 Verweij和 van Houwelingen提出，之后他們又提出的留一法是交叉驗證法的特例，要求K=n，方法是輪流將其中的一個研究對象作為驗證集，剩下的n－1個研究對象作為訓(xùn)練集，用訓(xùn)練集擬合得到預(yù)測模型，把預(yù)測模型用到驗證集中對該研究對象進行預(yù)報評價，重復(fù)K(K=n)次。Cox模型中應(yīng)用交叉驗證法決定最優(yōu)調(diào)整參數(shù)λ是以log L(β)為基礎(chǔ)的〔5〕，每一個研究對象對 log L(β)的貢獻為 l指所有研究對象在內(nèi)估計得到的log L(β)，l(－i)(f)是當(dāng)?shù)?i個對象作為驗證集后估計的 log L(β)，i=1，2，3，…，n，^f(－i)(λ)是第i個研究對象作為驗證集取出后剩下的數(shù)據(jù)資料中調(diào)整參數(shù)取λ時LASSO程序運行得到的得分函數(shù)估計值。每一個對象i對log L(β)的貢獻和就是交叉驗證 偏 似 然 值 CVL， CVL(λ) =，CVL取最大值時所對應(yīng)的值就是該模型的最優(yōu)調(diào)整參數(shù)〔5〕。

算 法

Tibshirani提出了LASSO程序的兩種計算方法，均以二次規(guī)劃為基礎(chǔ)，這兩種計算都是迭代的過程且涉及到重復(fù)的最小二乘求解問題，需要經(jīng)過p到2p的迭代，p是自變量的個數(shù)。為求解上式^β=arg max，就是把牛頓迭代(Newton-Raphson update)表達為迭代再加權(quán)最小二乘(IRLS)，然后用帶有限制條件的加權(quán)最小二乘程序取代了加權(quán)最小二乘程序。X表示變量的設(shè)計矩陣，且η =Xβ'，令 μ = ?l/?η，A= － ?2l/?ηηT，z= η +A－1μ。l(β)=log L(β)形式為:(z－ η)TA(z－ η)，由于 A 里面每一行或每一列的所有元素加起來為0，A很顯然是一個奇異矩陣，可以利用它的廣義逆，Tibshirani提出了用一個對角矩陣D代替設(shè)計矩陣A，兩矩陣含有相同的對角元素。在許多應(yīng)用中，n一般較小，且廣義逆的計算可以實現(xiàn)。LASSO實現(xiàn)程序包括以下步驟〔2〕:

(3)在限制條件∑|βj|≤λ下最大化(z－β'X)TA(z－ β'X)，估計出 β'。

(4)重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，直到β'不再變化。

模擬研究

模擬生成高維、高度相關(guān)的微陣列基因數(shù)據(jù)，分別采用Cox比例風(fēng)險回歸模型(逐步法)與L1懲罰Cox回歸模型對模擬數(shù)據(jù)進行變量篩選與模型擬合。

1．協(xié)變量矩陣X的生成

真實的微陣列數(shù)據(jù)在一次實驗時可以得到數(shù)千至上萬個基因〔6〕，為了計算的方便，我們僅模擬設(shè)置了1000個基因，并設(shè)樣本含量為100，保證協(xié)變量數(shù)量遠遠大于樣本含量，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)高維性。100×1000的基因協(xié)變量矩陣中，每一行表示一條記錄，每一列表示一個基因，協(xié)變量矩陣服從均數(shù)為零的多元正態(tài)分布。將數(shù)據(jù)分成十塊等大小的基因塊，每塊包括100個基因變量，令它們的方差協(xié)方差矩陣的對角元素為1，非對角元素為0.8。10個基因塊對應(yīng)于基因表達的10個不同類別，不同類別的基因表達是獨立的，但是在同一個類別中的基因表達是兩兩相關(guān)的。

2．參數(shù)的設(shè)定

每個回歸系數(shù)對應(yīng)于它對應(yīng)變量的影響。在本文中，回歸系數(shù)參數(shù)的設(shè)定如下:當(dāng) 1≤j≤100，βj=0.01;當(dāng)101≤j≤200，βj從 －0.50 到 0.05;當(dāng) 201≤j≤1000，βj=0。表示在模擬基因矩陣數(shù)據(jù)中，只有少數(shù)協(xié)變量與應(yīng)變量有關(guān)，大部分協(xié)變量都是無關(guān)的。

3.生存時間變量的設(shè)定

首先生成服從(0，1)均勻分布的隨機數(shù) S，令S(t)=S，利用產(chǎn)生相應(yīng)的生存時間t，因此每個個體所對應(yīng)的生存時間為:，其中l(wèi)(·)表示對數(shù)似然函數(shù)。R2越大，則表示協(xié)變量所能解釋的那部分變異所占的百分比越大，模型擬合也越好。

模擬數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示，對于高緯度、強相關(guān)的基因模擬數(shù)據(jù)，采用逐步法進行變量篩選，篩選出的自變量個數(shù)42大于LASSO選出的11，而模型評價指標(biāo)顯示逐步法Cox模型決定系數(shù)僅為0.3078，低于LASSO的0.6456，說明LASSO方法在將許多沒有意義的解釋變量壓縮為0之后，模型反而更優(yōu)，在Cox模型中進行變量篩選用LASSO方法要比逐步篩選更具有競爭力。=1，2，…，p;xi=xi1，xi2，…，xip;i=1，2，…，n

4．刪失指示變量的設(shè)定

產(chǎn)生一列服從二項分布的隨機變量，發(fā)生1的概率為80%，即截尾比例為20%。

5．模擬數(shù)據(jù)分析及結(jié)果

按照以上步驟產(chǎn)生模擬微陣列數(shù)據(jù)，重復(fù)模擬50次，用逐步法擬合Cox比例風(fēng)險回歸模型，變量入選標(biāo)準(zhǔn)為α=0.05，剔除標(biāo)準(zhǔn)為α=0.10。同時對每一數(shù)據(jù)集擬合基于LASSO的Cox回歸，調(diào)整參數(shù)的選擇采用交叉驗證法，CV(λ)值最大時，即對應(yīng)最優(yōu)的調(diào)整參數(shù)λ。

模型評價比較采用Nagelkerke給出的一個可以用在刪失生存數(shù)據(jù)條件下的R2統(tǒng)計量，計算如下:R2=1

表1 模擬數(shù)據(jù)Cox逐步回歸與LASSO變量篩選個數(shù)表

表2 模擬數(shù)據(jù)Cox回歸與LASSO方法模型評價(R2)

實例分析

本實例來自于Van't Veer(2002)〔7〕等學(xué)者乳腺癌研究數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集共包括259例乳腺癌患者，25000個微陣列基因數(shù)據(jù)。我們從中選擇沒有發(fā)生淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移的乳腺癌患者78例，基因4751個。觀察事件的結(jié)局為乳腺癌是否發(fā)生遠端轉(zhuǎn)移，其中44例沒有發(fā)生遠端轉(zhuǎn)移，平均隨訪期為8.7年;34例在5年內(nèi)發(fā)生遠端轉(zhuǎn)移，平均隨訪期為2.5年，截尾比例為56.4%。

上述實例資料顯示所研究變量個數(shù)4751遠遠大于樣本量78，存在高維度現(xiàn)象，提示不符合經(jīng)典Cox比例風(fēng)險回歸模型的條件。

(1)首先采用SAS 9.2中PHREG語句，對該數(shù)據(jù)擬合Cox比例風(fēng)險回歸模型(逐步法)，變量入選標(biāo)準(zhǔn)為α=0.05，剔除標(biāo)準(zhǔn)為α=0.10，擬合結(jié)果見表3。

表3 乳腺癌數(shù)據(jù)Cox逐步回歸模型變量篩選結(jié)果

表3結(jié)果顯示應(yīng)用逐步法進行變量篩選，4751個基因中與乳腺癌發(fā)生遠端轉(zhuǎn)移有關(guān)的基因有17個，且根據(jù)擬合模型的評價標(biāo)準(zhǔn)R2統(tǒng)計量R2=1－exp{－得出R2為0.1947。

(2)進行基于LASSO的生存分析，調(diào)整參數(shù)λ的選擇采用交叉驗證法得到圖1，2。

圖1和圖2分別為LASSO方法決定最優(yōu)調(diào)整參數(shù)λ和和篩選變量過程，結(jié)果顯示CVL(λ)取得最大值時為－167.8447，對應(yīng)的λ為5.95。在最優(yōu)調(diào)整參數(shù)λ為5.95時，LASSO篩選變量為13個，具體見表4。

圖1 調(diào)整參數(shù)λ與交叉驗證CVL(λ)值變化圖

圖2 調(diào)整參數(shù)λ與LASSO篩選自變量變化圖

表4 乳腺癌數(shù)據(jù)LASSO變量篩選結(jié)果

表4結(jié)果顯示應(yīng)用LASSO進行變量篩選，4751個基因中與乳腺癌發(fā)生遠端轉(zhuǎn)移有意義的基因有13個，且根據(jù)擬合模型的評價標(biāo)準(zhǔn)R2統(tǒng)計量R2=1－得出R2為0.3923。

討 論

在腫瘤和其他疾病研究中，微陣列數(shù)據(jù)和其他的高通量檢測技術(shù)得到的數(shù)據(jù)正逐漸地用于診斷疾病的結(jié)果〔6〕。知道病人的病變轉(zhuǎn)移(或死亡)的風(fēng)險信息對于成功地處理癌癥是很有必要的。因此如果能夠揭露死亡時間(或者其他終點事件的時間)和基因表達譜之間的關(guān)系就有可能得到更精確的診斷和改進治療策略。本文介紹的LASSO方法是處理基因表達譜等高維數(shù)據(jù)生存分析的眾多方法中的一種〔8〕。通過Van't Veer等的乳腺癌數(shù)據(jù)，研究乳腺癌是否發(fā)生遠端轉(zhuǎn)移與檢測到的4751個基因的關(guān)系。采用逐步法進行變量篩選篩出有意義的自變量個數(shù)17大于LASSO篩出的13，而模型評價指標(biāo)Cox模型的決定系數(shù)R2僅為0.1947，低于LASSO的0.3923，LASSO模型優(yōu)于Cox模型，說明LASSO方法在將一些沒有意義或者意義很小的解釋變量系數(shù)壓縮為0之后，模型反而更優(yōu)。無疑證明LASSO模型是通過將一些無意義或者意義很小的自變量的系數(shù)壓縮為0而對高維數(shù)據(jù)進行降維，而得到的一個更為穩(wěn)定科學(xué)且容易解釋的模型，適合于基因數(shù)據(jù)的生存資料分析。

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