鄒國(guó)輝

(九江學(xué)院理學(xué)院 江西九江 332005)

冪指函數(shù)問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).由于冪指函數(shù)概念在一般教材中不涉及，對(duì)冪指函數(shù)問(wèn)題又分散在各章節(jié)中，被老師同學(xué)忽視，使大多同學(xué)對(duì)冪指函數(shù)的概念模糊不清，又不善于總結(jié)歸納，因此較多同學(xué)在碰到此類問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手，常把它們誤認(rèn)為冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)問(wèn)題處理.

1 冪指函數(shù)的概念及理解[1]

參照基本初等函數(shù)的概念尤其冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的概念，筆者把形如y=u(x)v(x)(u(x)≠0,u(x)≠1)的函數(shù)稱為冪指函數(shù)(如圖1).在教學(xué)

圖1 冪指函數(shù)y=xx的圖象

中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解，特別強(qiáng)調(diào)冪底和指數(shù)均為變量即為冪指的函數(shù)，與冪函數(shù)及指數(shù)函數(shù)均有區(qū)別——冪函數(shù)是底為變量，指數(shù)為常量；指數(shù)函數(shù)是指數(shù)為變量，底為常量.因此,冪指函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù).

2 冪指函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)及特殊積分問(wèn)題

在考研數(shù)學(xué)及各類重要考試中常出現(xiàn)冪指函數(shù)問(wèn)題，在高等數(shù)學(xué)中主要就是冪指函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)及特殊積分問(wèn)題.為便于總結(jié)比較，下面討論的冪指函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)及特殊積分問(wèn)題中，均以冪指函數(shù)y=xx為例.

2.1冪指函數(shù)的極限問(wèn)題

2.2冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題[2]

對(duì)于冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，筆者通過(guò)恒等變形把它化為初等形式，也可以用兩邊取對(duì)數(shù)通過(guò)隱函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行運(yùn)算，以y=xx為例.

y′=(xx)′=(ex ln x)′=ex ln x(xlnx)′=xx(1+lnx)

(1)

先對(duì)等式y(tǒng)=xx兩邊取對(duì)數(shù)：lny=lnxx=xlnx

(2)

(3)

整理就得：y′=y(1+lnx)=xx(1+lnx).

(4)

另外，冪指函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，但另一方面又可說(shuō)冪指函數(shù)是由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)疊加而成的. 按照復(fù)合函數(shù)的理解，那么：對(duì)于冪指函數(shù)，當(dāng)把底看作常數(shù)時(shí)，按照指數(shù)函數(shù)來(lái)求導(dǎo)，同時(shí)當(dāng)把指數(shù)當(dāng)作常數(shù)時(shí)按冪函數(shù)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，也就是把冪指函數(shù)按復(fù)合函數(shù)的疊加來(lái)運(yùn)算，經(jīng)嘗試是成立的.即：

y′=(xx)′=xxx-1+xxlnx=xx(1+lnx)

(5)

2.3 冪指函數(shù)的特殊積分問(wèn)題[3]

此例就可考慮用換元法. 令t=xx，則有l(wèi)nt=xlnx

(6)

(7)

3 結(jié)束語(yǔ)

從上述冪指函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)及特殊積分問(wèn)題求解中可以歸納得出，冪指函數(shù)是初等函數(shù)，因?yàn)槿魏蝺缰负瘮?shù)都可化為初等形式，比如y=xx=ex ln x，符合初等函數(shù)的概念,而對(duì)冪指函數(shù)的問(wèn)題通常都是通過(guò)換元或化為初等形式變?yōu)榇蠹沂熘瘮?shù)進(jìn)行運(yùn)算處理，這也是數(shù)學(xué)處理問(wèn)題的一般方法.對(duì)于一般冪指函數(shù)的問(wèn)題都可采用上述方法靈活解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2007.127.

[2]馬軍等．微積分[M]．上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2010.116.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京：高等教育出版社，2001．3．